• Skip to primary navigation
  • Skip to content
  • Skip to primary sidebar
  • Skip to footer
  • Główna
  • Sklep
    • Darmowe
    • Kursy
    • Cennik
  • Akademia
    • Darmowe
    • Wybór Kursu
    • Kalkulatory
    • Forum
  • Blog
  • O nas
  • Moje konto

Blog eTrapez

Matematyka na studiach i w szkole średniej

Polityka Prywatności & Cookies: Ta strona używa cookies (tzw. "ciasteczek"). Są to informacje o Twoim komputerze i o Tobie. Jeśli nie zgadzasz się na to, opuść naszą stronę. Jeśli zostaniesz na naszej stronie, wyrażasz tym samym zgodę na związane z tym przetwarzanie Twoich danych osobowych.
Aby dowiedzieć się więcej o zakresie, w jakich wykorzystujemy cookies ("ciasteczka"), kliknij tutaj: Polityka Prywatności Bloga eTrapez
  • Studia
  • Szkoła średnia
Główna / Granice / Granica ciągu / Granice ciągu z sumą kwadratów lub sumą sześcianów

Granice ciągu z sumą kwadratów lub sumą sześcianów

27 stycznia 2012 przez Krystian Karczyński Zostaw komentarz

Print Friendly, PDF & EmailDrukuj

W granicach ciągów bywa czasami tak:

Granica ciągu z sumą kwadratów w liczniku

 

 

a czasami nawet tak:

{lim}under{n{right}infty}{1+2^3+3^3+...+n^3}/n^4

 

Co wtedy?

Odpowiedź jest prosta:

wzory na sumę kwadratów i na sumę sześcianów kolejnych liczb naturalnych.

Szły one tak:

1^2+2^2+3^2+...+n^2={n(n+1)(2n+1)}/6

1^3+2^3+3^3+...+n^3=(n(n+1)/2)^2

Wzory – jak to wzory – do wyuczenia na pamięć. O ile miałeś podobne przykłady i ich rzeczywiście potrzebujesz.

Znając wzorki policzenie naszych granic staje się banalne:

{lim}under{n{right}infty}{1+2^2+3^2+...+n^2}/n^3={lim}under{n{right}infty}{{n(n+1)(2n+1)}/6}/n^3={lim}under{n{right}infty}{n(n+1)(2n+1)}/{6n^3}=

={lim}under{n{right}infty}{n*n(1+1/n)n(2+1/n)}/{6n^3}=2/6=1/3

Kolejna granica:

{lim}under{n{right}infty}{1+2^3+3^3+...+n^3}/n^4={lim}under{n{right}infty}(n(n+1)/2)^2/n^4={lim}under{n{right}infty}{{n^2}(n+1)^2/4}/n^4=

{lim}under{n{right}infty}{{n^2}{{n^2}(1+1/n)^2}/4}/n^4=1/4

 

Dowody indukcyjne dla wzorów

Prawdziwości wzorów można dosyć łatwo dowieść indukcyjne (przynajmniej jeszcze parenaście lat temu był to zupełny standard w szkole średniej). Zrobię to dla wzoru:

1. 1^2+2^2+3^2+...+n^2={n(n+1)(2n+1)}/6

1 Krok indukcyjny

Sprawdzamy prawdziwość wzoru dla n=1:

1^2={1(1+1)(2*1+1)}/6

1=1

Zgadza się

2 Krok indukcyjny

Przyjmujemy założenie, że dla pewnego naturalnego n:

1^2+2^2+3^2+...+n^2={n(n+1)(2n+1)}/6

3 Krok indukcyjny

Wykazujemy tezę (korzystając z przyjętego założenia), że dla n+1 wzór także zachodzi, tzn:

1^2+2^2+3^2+...+n^2+(n+1)^2={(n+1)(n+1+1)(2(n+1)+1)}/6

Po lewej stronie zamiast 1^2+2^2+3^2+...+n^2 wstawiam formułę z założenia, po prawej po prostu porządkuję:

{n(n+1)(2n+1)}/6+(n+1)^2={(n+1)(n+2)(2n+3)}/6

I dalej zamiast smarować na siłę działam trochę subtelniej:

{n(n+1)(2n+1)}/6+(n+1)^2={(n+1)(n+2)(2n+3)}/6       /*6

n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^2=(n+1)(n+2)(2n+3)      /:(n+1)
n(2n+1)+6(n+1)=(n+2)(2n+3)

2n^2+n+6n+6=2n^2+7n+6

2n^2+7n+6=2n^2+7n+6

Czyli teza wykazana. Wzór wykazany indukcyjnie.

 

Was zapraszam do indukcyjnego wykazania drugiego wzoru, na sumę sześcianów:

1^3+2^3+3^3+...+n^3=(n(n+1)/2)^2

  • Tweet
  • WhatsApp

Dołącz do ponad 7 200 użytkowników na Akademii eTrapez

Zarejestruj darmowe konto i uzyskaj natychmiastowy dostęp do 21 Lekcji Video.
Poznaj podstawy matematyczne na studiach. Za darmo. We własnym domu.

Zarejestruj darmowe konto

W kategorii:Granica ciągu, Granice, Studia

Autor – Krystian Karczyński

Założyciel i szef serwisu eTrapez.

Magister matematyki Politechniki Poznańskiej. Korepetytor matematyki z wieloletnim stażem. Twórca Kursów eTrapez, które zdobyły ogromną popularność wśród studentów w całej Polsce.

Mieszka koło Szczecina. Lubi spacery po lesie, plażowanie i piłkę nożną. Więcej o mnie…

Krystian Karczyński: Zobacz moje posty

Reader Interactions

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *

Pierwszy Sidebar

Strach przed matematyką

Stres przed matematyką?

Sprawdź nasze darmowe Lekcje dla szkół średnich i studentów

Footer

Jesteśmy także na:

  • Facebook
  • YouTube
  • Instagram

Matura

Matura z matematyki zakres podstawowy7 maja 2019
1834 godziny pozostały.

eTrapez © 2019. Wszystkie prawa zastrzeżone. · Polityka prywatności i regulamin Bloga eTrapez · RODO: Klauzule dotyczące danych osobowych · Współpraca · Kontakt