fbpx
blog

Granice ciągu z sumą kwadratów lub sumą sześcianów

Krystian Karczyński

Założyciel i szef serwisu eTrapez.

Magister matematyki Politechniki Poznańskiej. Korepetytor matematyki z wieloletnim stażem. Twórca pierwszych Kursów eTrapez, które zdobyły ogromną popularność wśród studentów w całej Polsce.

Mieszka w Szczecinie. Lubi spacery po lesie, plażowanie i kajaki.


W granicach ciągów bywa czasami tak:

Granica ciągu z sumą kwadratów w liczniku

a czasami nawet tak:

Co wtedy?

Odpowiedź jest prosta:

wzory na sumę kwadratów i na sumę sześcianów kolejnych liczb naturalnych.

Szły one tak:

Wzory – jak to wzory – do wyuczenia na pamięć. O ile miałeś podobne przykłady i ich rzeczywiście potrzebujesz.

Znając wzorki policzenie naszych granic staje się banalne:

Kolejna granica:

Dowody indukcyjne dla wzorów

Prawdziwości wzorów można dosyć łatwo dowieść indukcyjne (przynajmniej jeszcze parenaście lat temu był to zupełny standard w szkole średniej). Zrobię to dla wzoru:

1.

1 Krok indukcyjny

Sprawdzamy prawdziwość wzoru dla n=1:

Zgadza się

2 Krok indukcyjny

Przyjmujemy założenie, że dla pewnego naturalnego n:

3 Krok indukcyjny

Wykazujemy tezę (korzystając z przyjętego założenia), że dla n+1 wzór także zachodzi, tzn:

Po lewej stronie zamiast wstawiam formułę z założenia, po prawej po prostu porządkuję:

I dalej zamiast smarować na siłę działam trochę subtelniej:

Czyli teza wykazana. Wzór wykazany indukcyjnie.

Was zapraszam do indukcyjnego wykazania drugiego wzoru, na sumę sześcianów:

Bestsellery

Kurs Mechanika - Statyka

Studia / Autor: mgr inż. Adam Kasprzak

39,00 

Kurs Statystyka

Studia / Autor: mgr Krystian Karczyński

39,00 

Kurs Mechanika - Kinematyka

Studia / Autor: mgr inż. Adam Kasprzak

39,00 

Kurs Macierze

Studia / Autor: mgr Krystian Karczyński

39,00 

Zobacz wszystkie Kursy eTrapez

Szukasz korepetycji z matematyki na poziomie studiów lub szkoły średniej? A może potrzebujesz kursu, który przygotuje Cię do matury?

Jesteśmy ekipą eTrapez. Uczymy matematyki w sposób jasny, prosty i bardzo dokładny - trafimy nawet do najbardziej opornego na wiedzę.

Stworzyliśmy tłumaczone zrozumiałym językiem Kursy video do pobrania na komputer, tablet czy telefon. Włączasz nagranie, oglądasz i słuchasz, jak na korepetycjach. O dowolnej porze dnia i nocy.

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *

Twój komentarz będzie dostępny publicznie na naszej stronie razem z powyższym podpisem. Komentarz możesz zmienić, lub usunąć w każdej chwili. Administratorem danych osobowych podanych w tym formularzu jest eTrapez Usługi Edukacyjne E-Learning Krystian Karczyński. Zasady przetwarzania danych oraz Twoje uprawnienia z tym związane opisane są w Polityce Prywatności.