Granice ciągu z sumą kwadratów lub sumą sześcianów
Krystian Karczyński
Założyciel i szef serwisu eTrapez.
Magister matematyki Politechniki Poznańskiej. Korepetytor matematyki z wieloletnim stażem. Twórca Kursów eTrapez, które zdobyły ogromną popularność wśród studentów w całej Polsce.
Mieszka w Szczecinie. Lubi spacery po lesie, plażowanie i kajaki.
W granicach ciągów bywa czasami tak:
a czasami nawet tak:
[pmath]{lim}under{n{right}infty}{1+2^3+3^3+…+n^3}/n^4[/pmath]
Co wtedy?
Odpowiedź jest prosta:
wzory na sumę kwadratów i na sumę sześcianów kolejnych liczb naturalnych.
Szły one tak:
[pmath]1^2+2^2+3^2+…+n^2={n(n+1)(2n+1)}/6[/pmath]
[pmath]1^3+2^3+3^3+…+n^3=(n(n+1)/2)^2[/pmath]
Wzory – jak to wzory – do wyuczenia na pamięć. O ile miałeś podobne przykłady i ich rzeczywiście potrzebujesz.
Znając wzorki policzenie naszych granic staje się banalne:
[pmath]{lim}under{n{right}infty}{1+2^2+3^2+…+n^2}/n^3={lim}under{n{right}infty}{{n(n+1)(2n+1)}/6}/n^3={lim}under{n{right}infty}{n(n+1)(2n+1)}/{6n^3}=[/pmath]
[pmath]={lim}under{n{right}infty}{n*n(1+1/n)n(2+1/n)}/{6n^3}=2/6=1/3[/pmath]
Kolejna granica:
[pmath]{lim}under{n{right}infty}{1+2^3+3^3+…+n^3}/n^4={lim}under{n{right}infty}(n(n+1)/2)^2/n^4={lim}under{n{right}infty}{{n^2}(n+1)^2/4}/n^4=[/pmath]
[pmath]{lim}under{n{right}infty}{{n^2}{{n^2}(1+1/n)^2}/4}/n^4=1/4[/pmath]
Dowody indukcyjne dla wzorów
Prawdziwości wzorów można dosyć łatwo dowieść indukcyjne (przynajmniej jeszcze parenaście lat temu był to zupełny standard w szkole średniej). Zrobię to dla wzoru:
1. [pmath]1^2+2^2+3^2+…+n^2={n(n+1)(2n+1)}/6[/pmath]
1 Krok indukcyjny
Sprawdzamy prawdziwość wzoru dla n=1:
[pmath]1^2={1(1+1)(2*1+1)}/6[/pmath]
[pmath]1=1[/pmath]
Zgadza się
2 Krok indukcyjny
Przyjmujemy założenie, że dla pewnego naturalnego n:
[pmath]1^2+2^2+3^2+…+n^2={n(n+1)(2n+1)}/6[/pmath]
3 Krok indukcyjny
Wykazujemy tezę (korzystając z przyjętego założenia), że dla n+1 wzór także zachodzi, tzn:
[pmath]1^2+2^2+3^2+…+n^2+(n+1)^2={(n+1)(n+1+1)(2(n+1)+1)}/6[/pmath]
Po lewej stronie zamiast [pmath]1^2+2^2+3^2+…+n^2[/pmath] wstawiam formułę z założenia, po prawej po prostu porządkuję:
[pmath]{n(n+1)(2n+1)}/6+(n+1)^2={(n+1)(n+2)(2n+3)}/6[/pmath]
I dalej zamiast smarować na siłę działam trochę subtelniej:
[pmath]{n(n+1)(2n+1)}/6+(n+1)^2={(n+1)(n+2)(2n+3)}/6[/pmath] /[pmath]*6[/pmath]
[pmath]n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^2=(n+1)(n+2)(2n+3)[/pmath] /:[pmath](n+1)[/pmath]
[pmath]n(2n+1)+6(n+1)=(n+2)(2n+3)[/pmath]
[pmath]2n^2+n+6n+6=2n^2+7n+6[/pmath]
[pmath]2n^2+7n+6=2n^2+7n+6[/pmath]
Czyli teza wykazana. Wzór wykazany indukcyjnie.
Was zapraszam do indukcyjnego wykazania drugiego wzoru, na sumę sześcianów:
[pmath]1^3+2^3+3^3+…+n^3=(n(n+1)/2)^2[/pmath]
Jedna z wielu opinii o naszych Kursach...
Nigdy nie spotkałem się z tak łopatologicznym (i skutecznym) tłumaczeniem Królowy Nauk. Nie jeden z moich towarzyszy niedoli na polibudzie chwalił te kursy (każdy, który z nich skorzystał). Nie jeden uważa, że za ects powinno się Panu Krystianowi postawić pomnik na kampusie. Kursy ogląda się z wielką przyjemnością gdyż po kilku porażkach nauki z pomocą dydaktyczną z ćwiczeń i wykładów człowiek tracił wiarę w siebie. Jednak po każdej minucie z e-trapezem odzyskuje się wiarę w siebie gdyż wszystko staje się jasne. Polecam!Szukasz korepetycji z matematyki na poziomie studiów lub szkoły średniej? A może potrzebujesz kursu, który przygotuje Cię do matury?
Jesteśmy ekipą eTrapez. Uczymy matematyki w sposób jasny, prosty i bardzo dokładny - trafimy nawet do najbardziej opornego na wiedzę.
Stworzyliśmy tłumaczone zrozumiałym językiem Kursy video do pobrania na komputer, tablet czy telefon. Włączasz nagranie, oglądasz i słuchasz, jak na korepetycjach. O dowolnej porze dnia i nocy.
