fbpx
blog

Granice ciągu z sumą kwadratów lub sumą sześcianów

Krystian Karczyński

Założyciel i szef serwisu eTrapez.

Magister matematyki Politechniki Poznańskiej. Korepetytor matematyki z wieloletnim stażem. Twórca Kursów eTrapez, które zdobyły ogromną popularność wśród studentów w całej Polsce.

Mieszka w Szczecinie. Lubi spacery po lesie, plażowanie i kajaki.


W granicach ciągów bywa czasami tak:

Granica ciągu z sumą kwadratów w liczniku

 

 

a czasami nawet tak:

[pmath]{lim}under{n{right}infty}{1+2^3+3^3+…+n^3}/n^4[/pmath]

 

Co wtedy?

Odpowiedź jest prosta:

wzory na sumę kwadratów i na sumę sześcianów kolejnych liczb naturalnych.

Szły one tak:

[pmath]1^2+2^2+3^2+…+n^2={n(n+1)(2n+1)}/6[/pmath]

[pmath]1^3+2^3+3^3+…+n^3=(n(n+1)/2)^2[/pmath]

Wzory – jak to wzory – do wyuczenia na pamięć. O ile miałeś podobne przykłady i ich rzeczywiście potrzebujesz.

Znając wzorki policzenie naszych granic staje się banalne:

[pmath]{lim}under{n{right}infty}{1+2^2+3^2+…+n^2}/n^3={lim}under{n{right}infty}{{n(n+1)(2n+1)}/6}/n^3={lim}under{n{right}infty}{n(n+1)(2n+1)}/{6n^3}=[/pmath]

[pmath]={lim}under{n{right}infty}{n*n(1+1/n)n(2+1/n)}/{6n^3}=2/6=1/3[/pmath]

Kolejna granica:

[pmath]{lim}under{n{right}infty}{1+2^3+3^3+…+n^3}/n^4={lim}under{n{right}infty}(n(n+1)/2)^2/n^4={lim}under{n{right}infty}{{n^2}(n+1)^2/4}/n^4=[/pmath]

[pmath]{lim}under{n{right}infty}{{n^2}{{n^2}(1+1/n)^2}/4}/n^4=1/4[/pmath]

 

Dowody indukcyjne dla wzorów

Prawdziwości wzorów można dosyć łatwo dowieść indukcyjne (przynajmniej jeszcze parenaście lat temu był to zupełny standard w szkole średniej). Zrobię to dla wzoru:

1. [pmath]1^2+2^2+3^2+…+n^2={n(n+1)(2n+1)}/6[/pmath]

1 Krok indukcyjny

Sprawdzamy prawdziwość wzoru dla n=1:

[pmath]1^2={1(1+1)(2*1+1)}/6[/pmath]

[pmath]1=1[/pmath]

Zgadza się

2 Krok indukcyjny

Przyjmujemy założenie, że dla pewnego naturalnego n:

[pmath]1^2+2^2+3^2+…+n^2={n(n+1)(2n+1)}/6[/pmath]

3 Krok indukcyjny

Wykazujemy tezę (korzystając z przyjętego założenia), że dla n+1 wzór także zachodzi, tzn:

[pmath]1^2+2^2+3^2+…+n^2+(n+1)^2={(n+1)(n+1+1)(2(n+1)+1)}/6[/pmath]

Po lewej stronie zamiast [pmath]1^2+2^2+3^2+…+n^2[/pmath] wstawiam formułę z założenia, po prawej po prostu porządkuję:

[pmath]{n(n+1)(2n+1)}/6+(n+1)^2={(n+1)(n+2)(2n+3)}/6[/pmath]

I dalej zamiast smarować na siłę działam trochę subtelniej:

[pmath]{n(n+1)(2n+1)}/6+(n+1)^2={(n+1)(n+2)(2n+3)}/6[/pmath]       /[pmath]*6[/pmath]

[pmath]n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^2=(n+1)(n+2)(2n+3)[/pmath]      /:[pmath](n+1)[/pmath]
[pmath]n(2n+1)+6(n+1)=(n+2)(2n+3)[/pmath]

[pmath]2n^2+n+6n+6=2n^2+7n+6[/pmath]

[pmath]2n^2+7n+6=2n^2+7n+6[/pmath]

Czyli teza wykazana. Wzór wykazany indukcyjnie.

 

Was zapraszam do indukcyjnego wykazania drugiego wzoru, na sumę sześcianów:

[pmath]1^3+2^3+3^3+…+n^3=(n(n+1)/2)^2[/pmath]

Jedna z wielu opinii o naszych Kursach...

Nigdy nie spotkałem się z tak łopatologicznym (i skutecznym) tłumaczeniem Królowy Nauk. Nie jeden z moich towarzyszy niedoli na polibudzie chwalił te kursy (każdy, który z nich skorzystał). Nie jeden uważa, że za ects powinno się Panu Krystianowi postawić pomnik na kampusie. Kursy ogląda się z wielką przyjemnością gdyż po kilku porażkach nauki z pomocą dydaktyczną z ćwiczeń i wykładów człowiek tracił wiarę w siebie. Jednak po każdej minucie z e-trapezem odzyskuje się wiarę w siebie gdyż wszystko staje się jasne. Polecam!

Szukasz korepetycji z matematyki na poziomie studiów lub szkoły średniej? A może potrzebujesz kursu, który przygotuje Cię do matury?

Jesteśmy ekipą eTrapez. Uczymy matematyki w sposób jasny, prosty i bardzo dokładny - trafimy nawet do najbardziej opornego na wiedzę.

Stworzyliśmy tłumaczone zrozumiałym językiem Kursy video do pobrania na komputer, tablet czy telefon. Włączasz nagranie, oglądasz i słuchasz, jak na korepetycjach. O dowolnej porze dnia i nocy.

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *

Twój komentarz będzie dostępny publicznie na naszej stronie razem z powyższym podpisem. Adres email nie będzie dostępny publicznie. Komentarz możesz zmienić, lub usunąć w każdej chwili. Dane osobowe zawarte w komentarzu i podpisie traktujemy zgodnie z naszą polityką prywatności.