DODAJ SOBIE SKRZYDEŁ NA SESJI - ZGARNIJ DWUPAKA RED BULLA!
Razem z każdym zakupem Kursów studenckich otrzymujesz kod na odbiór darmowych Red Bulli.

blog

Granice ciągu z sumą kwadratów lub sumą sześcianów

Krystian Karczyński

W granicach ciągów bywa czasami tak:

Granica ciągu z sumą kwadratów w liczniku

 

 

a czasami nawet tak:

{lim}under{n{right}infty}{1+2^3+3^3+...+n^3}/n^4

 

Co wtedy?

Odpowiedź jest prosta:

wzory na sumę kwadratów i na sumę sześcianów kolejnych liczb naturalnych.

Szły one tak:

1^2+2^2+3^2+...+n^2={n(n+1)(2n+1)}/6

1^3+2^3+3^3+...+n^3=(n(n+1)/2)^2

Wzory – jak to wzory – do wyuczenia na pamięć. O ile miałeś podobne przykłady i ich rzeczywiście potrzebujesz.

Znając wzorki policzenie naszych granic staje się banalne:

{lim}under{n{right}infty}{1+2^2+3^2+...+n^2}/n^3={lim}under{n{right}infty}{{n(n+1)(2n+1)}/6}/n^3={lim}under{n{right}infty}{n(n+1)(2n+1)}/{6n^3}=

={lim}under{n{right}infty}{n*n(1+1/n)n(2+1/n)}/{6n^3}=2/6=1/3

Kolejna granica:

{lim}under{n{right}infty}{1+2^3+3^3+...+n^3}/n^4={lim}under{n{right}infty}(n(n+1)/2)^2/n^4={lim}under{n{right}infty}{{n^2}(n+1)^2/4}/n^4=

{lim}under{n{right}infty}{{n^2}{{n^2}(1+1/n)^2}/4}/n^4=1/4

 

Dowody indukcyjne dla wzorów

Prawdziwości wzorów można dosyć łatwo dowieść indukcyjne (przynajmniej jeszcze parenaście lat temu był to zupełny standard w szkole średniej). Zrobię to dla wzoru:

1. 1^2+2^2+3^2+...+n^2={n(n+1)(2n+1)}/6

1 Krok indukcyjny

Sprawdzamy prawdziwość wzoru dla n=1:

1^2={1(1+1)(2*1+1)}/6

1=1

Zgadza się

2 Krok indukcyjny

Przyjmujemy założenie, że dla pewnego naturalnego n:

1^2+2^2+3^2+...+n^2={n(n+1)(2n+1)}/6

3 Krok indukcyjny

Wykazujemy tezę (korzystając z przyjętego założenia), że dla n+1 wzór także zachodzi, tzn:

1^2+2^2+3^2+...+n^2+(n+1)^2={(n+1)(n+1+1)(2(n+1)+1)}/6

Po lewej stronie zamiast 1^2+2^2+3^2+...+n^2 wstawiam formułę z założenia, po prawej po prostu porządkuję:

{n(n+1)(2n+1)}/6+(n+1)^2={(n+1)(n+2)(2n+3)}/6

I dalej zamiast smarować na siłę działam trochę subtelniej:

{n(n+1)(2n+1)}/6+(n+1)^2={(n+1)(n+2)(2n+3)}/6       /*6

n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^2=(n+1)(n+2)(2n+3)      /:(n+1)
n(2n+1)+6(n+1)=(n+2)(2n+3)

2n^2+n+6n+6=2n^2+7n+6

2n^2+7n+6=2n^2+7n+6

Czyli teza wykazana. Wzór wykazany indukcyjnie.

 

Was zapraszam do indukcyjnego wykazania drugiego wzoru, na sumę sześcianów:

1^3+2^3+3^3+...+n^3=(n(n+1)/2)^2

Jedna z wielu opinii o naszych Kursach...

Wszystkie poruszone zagadnienia zostały BARDZO przejrzyście wytłumaczone. Myślę, że dla znacznej większości studentów kurs powinien być wystarczający. (Dla tych, dla których te 7 lekcji nie wyczerpie tematu, na pewno kurs będzie dobrą bazą do dalszej nauki). Polecam!

Wojciech Trojak

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *

Twój komentarz będzie dostępny publicznie na naszej stronie razem z powyższym podpisem. Adres email nie będzie dostępny publicznie. Komentarz możesz zmienić, lub usunąć w każdej chwili. Dane osobowe zawarte w komentarzu i podpisie traktujemy zgodnie z naszą polityką prywatności.