W granicach ciągów bywa czasami tak:
a czasami nawet tak:
Co wtedy?
Odpowiedź jest prosta:
wzory na sumę kwadratów i na sumę sześcianów kolejnych liczb naturalnych.
Szły one tak:
Wzory – jak to wzory – do wyuczenia na pamięć. O ile miałeś podobne przykłady i ich rzeczywiście potrzebujesz.
Znając wzorki policzenie naszych granic staje się banalne:
Kolejna granica:
Dowody indukcyjne dla wzorów
Prawdziwości wzorów można dosyć łatwo dowieść indukcyjne (przynajmniej jeszcze parenaście lat temu był to zupełny standard w szkole średniej). Zrobię to dla wzoru:
1. 
1 Krok indukcyjny
Sprawdzamy prawdziwość wzoru dla n=1:
Zgadza się
2 Krok indukcyjny
Przyjmujemy założenie, że dla pewnego naturalnego n:
3 Krok indukcyjny
Wykazujemy tezę (korzystając z przyjętego założenia), że dla n+1 wzór także zachodzi, tzn:
Po lewej stronie zamiast 
wstawiam formułę z założenia, po prawej po prostu porządkuję:
I dalej zamiast smarować na siłę działam trochę subtelniej:
Czyli teza wykazana. Wzór wykazany indukcyjnie.
Was zapraszam do indukcyjnego wykazania drugiego wzoru, na sumę sześcianów:
