Blog eTrapez

Matematyka na studiach i w szkole średniej

logo
Główna / Funkcje Wielu Zmiennych / Kalkulator do Pochodnych Cząstkowych

Kalkulator do Pochodnych Cząstkowych

przez 21 komentarze

Do istniejących już na blogu kalkulatorów dodałem kalkulator do pochodnych cząstkowych I-go rzędu (po x i po y) z funkcji dwóch zmiennych f(x,y):

Zasada działania jest prosta: wpisujemy funkcję, klikamy na „Oblicz” i mamy wyliczone dwie pochodne cząstkowe po x i po y, przedzielone przecinkiem.

Funkcje wpisujemy zgodnie z ogólną instrukcją wpisywania formuł matematycznych.

Lista moich pozostałych kalkulatorów na blogu to:

Kalkulator do pochodnych

Kalkulator do całek nieoznaczonych

Kalkulator do całek podwójnych

Kalkulator do całek potrójnych

Kalkulator do równań różniczkowych

Kalkulator do szeregów

Reader Interactions

Komentarze

    • Trzeba obliczyć pochodną z pochodnej z pochodnej z pochodnej funkcji.

    • sec(x) to jest tzw secans (sekans) – odwrotność cosinusa, czyli

      \displaystyle \sec x=\frac{1}{{\cos x}}

      Stąd \displaystyle {{\sec }^{2}}x=\frac{1}{{{{{\cos }}^{2}}x}}

  5. Witam mam pytanie dlaczego pochodna cząstkowa z f(x,y)= (2x+x^2) (4y-y^2) dla pochodnej po x wynosi -2 (x+1) (y-4) y, a dla pochodnej po y -2 x (x+2) (y-2). Skąd jest ten minus ?? I jak potem obliczyć układ równań z tych pochodnych?

    Odpowiedz

    • f \left parenthesis x comma y right parenthesis equals open parentheses 2 x plus x squared close parentheses open parentheses 4 y minus y squared close parentheses

      Powyższą funkcję można również zapisać w postaci f \left parenthesis x comma y right parenthesis equals open parentheses x squared plus 2 x close parentheses open parentheses negative y squared plus 4 y close parentheses.

      Obliczymy teraz pochodne cząstkowe I-go rzędu po x i po y.

      Wzór funkcji zapisany jest w postaci dwóch czynników, z których jeden składa się z wyrażeń zależnych tylko od zmiennej x, a drugi z wyrażeń zależnych tylko od zmiennej y. Przy obliczaniu pochodnej po x drugi nawias potraktujemy więc jak stałą, przy obliczaniu pochodnej po y pierwszy nawias potraktujemy jak stałą. Następnie uporządkujemy otrzymane wyrażenia wyciągając przed nawias wspólne czynniki.

      fraction numerator \partial differential f over denominator \partial differential x end fraction \left parenthesis x comma y right parenthesis equals open parentheses 2 x plus 2 close parentheses open parentheses negative y squared plus 4 y close parentheses equals 2 open parentheses x plus 1 close parentheses open parentheses negative y close parentheses open parentheses y minus 4 close parentheses equals negative 2 open parentheses x plus 1 close parentheses open parentheses y minus 4 close parentheses y

      fraction numerator \partial differential f over denominator \partial differential y end fraction \left parenthesis x comma y right parenthesis equals open parentheses x squared plus 2 x close parentheses open parentheses negative 2 y plus 4 close parentheses equals x open parentheses x plus 2 close parentheses open parentheses negative 2 close parentheses open parentheses y minus 2 close parentheses equals negative 2 x open parentheses x plus 2 close parentheses open parentheses y minus 2 close parentheses

      Aby znaleźć punkty podejrzane o ekstremum, rozwiążemy następujący układ równań:

      open curly brackets table attributes columnalign \left end attributes row cell negative 2 open parentheses x plus 1 close parentheses open parentheses y minus 4 close parentheses y equals 0 end cell row cell negative 2 x open parentheses x plus 2 close parentheses open parentheses y minus 2 close parentheses equals 0 end cell end table close

      open curly brackets table attributes columnalign \left end attributes row cell x plus 1 equals 0 space logical or space y minus 4 equals 0 space logical or space y equals 0 end cell row cell x equals 0 space logical or space x plus 2 equals 0 space logical or space y minus 2 equals 0 end cell end table close

      open curly brackets table attributes columnalign \left end attributes row cell x equals negative 1 space logical or space y equals 4 space logical or space y equals 0 end cell row cell x equals 0 space logical or space x equals negative 2 space logical or space y equals 2 end cell end table close

      x equals negative 1 colon space minus 2 times open parentheses negative 1 close parentheses open parentheses negative 1 plus 2 close parentheses open parentheses y minus 2 close parentheses equals 0 rightwards double arrow y equals 2
      y equals 4 colon space minus 2 x open parentheses x plus 2 close parentheses open parentheses 4 minus 2 close parentheses equals 0 space rightwards double arrow space x equals 0 space logical or space x equals negative 2
      y equals 0 colon space minus 2 x open parentheses x plus 2 close parentheses open parentheses 0 minus 2 close parentheses equals 0 space rightwards double arrow space x equals 0 space logical or space x equals negative 2

      x equals 0 colon space minus 2 open parentheses 0 plus 1 close parentheses open parentheses y minus 4 close parentheses y equals 0 space rightwards double arrow space y equals 4 space logical or y equals 0x equals negative 2 colon space minus 2 open parentheses negative 2 plus 1 close parentheses open parentheses y minus 4 close parentheses y equals 0 space rightwards double arrow space y equals 4 space logical or y equals 0
      y equals 2 colon space minus 2 open parentheses x plus 1 close parentheses open parentheses 2 minus 4 close parentheses 2 equals 0 space rightwards double arrow space x equals negative 1

      Zatem punkty podejrzane o ekstremum to: open parentheses negative 1 comma 2 close parentheses comma space open parentheses 0 comma 4 close parentheses comma space open parentheses negative 2 comma 4 close parentheses comma space open parentheses 0 comma 0 close parentheses comma space open parentheses negative 2 comma 0 close parentheses. 

    • f \left parenthesis x comma y right parenthesis equals open parentheses x cubed minus y squared close parentheses ln 2

      ln 2 to stała, która nie będzie miała wpływu na pochodną. Można również zapisać wzór funkcji następująco: f \left parenthesis x comma y right parenthesis equals ln 2 times x cubed minus ln 2 times y \squared – wtedy może lepiej będzie widać, że jest to stały czynnik.

      Mamy zatem sumę dwóch wyrażeń: ln 2 times x cubed i open parentheses negative ln 2 times y squared close parentheses. Pierwsze jest zależne tylko od zmiennej x, a drugie tylko od zmiennej y. Pochodne obliczymy więc następująco:

      fraction numerator \partial differential f over denominator \partial differential x end fraction \left parenthesis x comma y right parenthesis equals ln 2 times 3 x squared equals 3 ln 2 times x squared equals ln space 2 cubed times x squared equals ln 8 times x \squared

      fraction numerator \partial differential f over denominator \partial differential y end fraction \left parenthesis x comma y right parenthesis equals negative ln 2 times 2 y equals negative 2 ln 2 times y equals negative ln 2 squared times y equals negative ln 4 times y

  9. Witam, jak rozwiązać taki układ równań (do liczenia ektremum funkcji dwóch zmiennych…):9x^2+6xy-15=03x^2-3y^2=0Proszę o pomoc 🙂

    Odpowiedz

  10. Cześć, potrzebuję obliczyć Ln(x+lny)

    Obliczyło mi super 🙂 ale potrzebuje step by step i nie działa.

    potzrebuje jakiegoś specjlnego konta?

     

    Odpowiedz

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *