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Algunas cosas que deberías aprender bien en la escuela secundaria, pero nadie te lo dijo – Parte 3: Función Cuadrática
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Krystian Karczyński
Fundador y jefe del servicio eTrapez.
Maestro en Matemáticas por la Universidad Tecnológica de Poznań (Polonia). Tutor de matemáticas con muchos años de experiencia. Creador de los primeros Cursos eTrapez, que se han vuelto enormemente populares entre estudiantes de toda Polonia.
Vive en Szczecin (Polonia). Le gusta caminar por el bosque, ir a la playa y hacer kayak.
Esta publicación es ya la tercera consecutiva en la que quiero llamar tu atención sobre cosas que vale la pena repasar al comienzo de tus estudios de matemáticas en la universidad. Una rápida revisión de ellos te facilitará mucho la vida en la universidad. En publicaciones anteriores, traté los temas de:
Interpretación geométrica del valor absoluto
Hoy le toca al función cuadrática.
¿Función cuadrática? Pero creo que estuvimos dos meses con eso…
El tema de la función cuadrática es, por supuesto, muy amplio y no me refiero en absoluto a que tomes un libro de texto de la escuela secundaria y repases todo el capítulo de principio a fin.
Centrámonos solo en algunos detalles importantes, matices y trampas.
Función cuadrática vs. ecuación cuadrática
Función cuadrática es, por supuesto, algo como esto:
o:
Donde
y así…
El concepto de función cuadrática debe diferenciarse del concepto de ecuación cuadrática, por ejemplo:
y así…
¡¡¡No es lo mismo!!!!
No distinguir entre función y ecuación a menudo lleva a…
Error macabro número 1
Al calcular, por ejemplo, derivadas y tener una función dada:
Las personas a menudo hacen algo como esto:
…y siguen calculando lo que sea necesario.
Se equivocan porque recuerdan que podían hacer algo similar con ecuaciones:
…y con ecuaciones, todo está bien, puedes dividir ambos lados, 0 en el lado derecho dividido por 2 realmente da 0 y las ecuaciones son equivalentes (tienen las mismas soluciones).
Pero no puedes hacer esto con funciones – tendrías que dividir también ese y en el lado izquierdo, etc. ¡Al dividir simplemente el valor de la función por 2, obtendrás una función diferente!
¿Qué necesitas repasar de las funciones?
No mucho. En realidad, solo dos formas de la función: canónica y factorizada.
La forma canónica de la función cuadrática
Asumo que ya tenemos la forma general de la función cuadrática:
Su forma canónica es:
Es decir:
Qué son a, b y
Incluso se puede notar que si factorizamos
…lo que a veces puede ser útil y a veces no necesariamente.
Si aprendiste esto calculando las coordenadas del vértice (generalmente como
¡Recuerda
La forma factorizada de la función cuadrática (su factorización):
Volviendo ahora a nuestra función cuadrática general:
A menudo necesitaremos “factorizarla”, usando la forma factorizada de la función cuadrática:
Donde
Aquí también debes recordar
También nota que estos
¿Qué necesitas repasar de las ecuaciones cuadráticas?
Con las ecuaciones cuadráticas, supongo que las cosas no están tan mal. Por lo general, podemos resolver la ecuación general:
Por ejemplo:
Simplemente calculamos:
Luego, si Δ es no negativo, soluciones de la ecuación:
Recuerda que en el denominador hay
Sin embargo, me gustaría detenerme en un caso particular de la ecuación:
Aquí ocurren muchos errores. Por ejemplo:
Error macabro número 2
¿Cuál es el error exactamente? El número 2 es, de hecho, una solución de la ecuación
Las soluciones negativas solo se pueden ignorar en geometría (porque la distancia no puede ser negativa).
Otro problema con la ecuación en la forma:
Error macabro número 3
Lo cual es, por supuesto, una tontería, porque 2 al cuadrado no da -4. De hecho, nada al cuadrado da -4 (aquellos que ya han estudiado números complejos, manténganse en silencio). La ecuación:
…no tiene soluciones.
Así que debes estar alerta. La ecuación
Te invito a repasar tranquilamente todo lo dicho hasta ahora y, por supuesto, a hacer preguntas en los comentarios.
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