Sustituciones de Euler del Tercer Tipo – Resumen

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Sustituciones de Euler de los Tipos I, II, III – No se Necesita Más

En publicaciones anteriores, mostré cómo usar las sustituciones de Euler en integrales del tipo:

• Sustituciones de Euler de Primer Tipo (cuando a>0)
• Sustituciones de Euler de Segundo Tipo (cuando c>0)

En esta publicación, nos ocuparemos del tercer y último tipo de sustituciones de Euler, que podemos usar cuando en la integral:

el polinomio cuadrático , tiene dos raíces distintas , es decir, cuando su , es decir, cuando se puede escribir en forma factorizada: .

Pero antes de llegar a los hechos, notemos que estos tres casos:

• Primer tipo, cuando a>0
• Segundo tipo, cuando c>0
• Tercer tipo, cuando hay dos raíces distintas

nos permitirán resolver cualquier integral del tipo:

De hecho, incluso solo el primer y tercer tipo son suficientes.

¿Por qué?

El caso cuando podemos ignorarlo, porque el polinomio cuadrático simplemente se convierte en una forma lineal , que podemos resolver con sustituciones más simples que las de Euler.

¿Pero qué pasa con el caso cuando a<0 (no encaja con el primer tipo) y el polinomio cuadrático tiene una o ninguna raíz en absoluto (no encaja con el tercer tipo)?

Entonces su gráfico se vería así (recordemos de la escuela – brazos hacia abajo):

o, si no tuviera ninguna raíz, así:

¿Qué conclusión podemos sacar? Que en ambos casos el polinomio cuadrático tomaría valores negativos (excepto como máximo un punto), y les recuerdo que estamos calculando la integral:

Es decir, en la función bajo la integral, el polinomio cuadrático está bajo la raíz, y esta no se puede calcular a partir de valores negativos (obviamente, estamos trabajando con números reales). Es decir, el dominio de dicha función sería como máximo un punto, lo que no tiene sentido, y ciertamente no obtendremos un ejemplo así. A menos que el profesor esté realmente muy cansado al preparar los ejemplos para el examen.

Entonces, el caso cuando a<0 y el polinomio cuadrático no tiene dos raíces se puede ignorar, y ahora es claro que los tipos I y III de sustituciones de Euler se ajustan a cualquier integral del tipo:

Entonces, vamos a proceder con el tercer tipo de sustituciones de Euler.

Sustituciones de Euler de Tercer Tipo

Tenemos una integral:

,

donde tiene , es decir, se puede escribir como:

,

donde son sus raíces.

La sustitución que usamos aquí es:

Cuadramos ambos lados de esta sustitución, escribimos el polinomio cuadrático en el lado izquierdo en forma factorizada (sabemos que se puede), dividimos ambos lados por y continuamos como en los tipos anteriores de sustituciones, determinando en secuencia:

Finalmente, sustituimos todo en la integral original y terminamos con una integral racional – generalmente tediosa.

Vamos a empezar.

Ejemplo

Nuestro (es decir, a<0, por lo tanto no usaremos sustituciones de primer tipo), nuestro (es decir, c<0, por lo tanto no usaremos sustituciones de segundo tipo), pero nuestro , es decir, podemos usar sustituciones de tercer tipo.

Calculamos primero :

Usamos la sustitución de Euler de tercer tipo:

Cuadramos ambos lados:

Escribimos el polinomio cuadrático en el lado izquierdo en forma factorizada (recuerden aquí!!!):

Dividimos ambos lados por :

Determinamos :

Tenemos determinado usando la variable . Ahora determinamos .

Volviendo a nuestra primera sustitución, tenemos que:

Sustituimos lo determinado , y tenemos:

Tenemos determinado bastante bien. Ahora solo falta , que calculamos encontrando la derivada de :

Así que hemos determinado:

, todo usando la variable . Ponemos esto en la integral:

Simplificamos:

Como era de esperar, llegamos a una integral racional bastante tediosa, que no voy a calcular.

Finalmente, vale la pena señalar que…

Nota sobre las Sustituciones de Euler

Tenemos una integral:

  ,

donde:

• Primer tipo, cuando a>0
• Segundo tipo, cuando c>0
• Tercer tipo cuando hay dos raíces distintas

Es obvio que a menudo se puede resolver usando una de las dos sustituciones de Euler, o incluso cualquiera de ellas (cuando a>0, c>0 y al mismo tiempo ).

No hay problema, aunque por facilidad de cálculo recomendaría usar primero el primer tipo, si eso no funciona, luego el segundo, y si eso tampoco funciona, finalmente el tercer tipo.

Eso es todo sobre el uso de las sustituciones de Euler, espero que les sea útil en sus estudios, y como siempre, siéntanse libres de comentar debajo de la publicación.