In unbestimmten Integralen ist die Grundlage aller Grundlagen und der Großteil der Berechnung die Substitutionsmethode. Im Allgemeinen geht es darum, das unbestimmte Integral einer Variablen, z. B. 
, in das unbestimmte Integral einer anderen Variablen, z. B. 
, umzuwandeln, wobei letzteres natürlich leichter zu berechnen sein sollte.
Das ewige Problem dabei ist: Was soll ich für einsetzen? Welche Substitution soll ich verwenden?
Die Antwort ist nicht ermutigend…
Wenn du gerade erst mit unbestimmten Integralen beginnst, habe ich eine schlechte Nachricht für dich. Die Nachricht lautet: Es gibt kein Schema.
Die Regel ist, dass es keine Regel gibt. Es gibt keine Schlüssel wie: „ersetze mit dem, was unter der Wurzel oder im Nenner steht“ oder „wenn es so ist, mache ich das, wenn es anders ist, mache ich etwas anderes“.
Akzeptiere das.
Erst nachdem du etwa 20 Integrale gelöst hast, wirst du eine gewisse Intuition und ein Gefühl dafür entwickeln, und dann kommt die Zeit, zu überlegen, „was ich nehmen muss, damit die Ableitung dies einschließt, was unter dem Integralzeichen steht“ usw.
Raten, raten, raten…
Was solltest du tun, wenn du diese 20 unbestimmten Integrale noch nicht gelöst hast? Es ist einfach. Du musst raten und prüfen, ob die Substitution passt. Unbedingt auf Papier!!!! Nicht im Kopf und nicht aus dem Gedächtnis!!! Passt die Substitution nicht? Schade, streiche sie durch und versuche eine andere.
Es gibt nichts Schlimmeres, als auf ein unbestimmtes Integral zu starren, sich anzustrengen – ohne auch nur einen Stift in die Hand zu nehmen – und dann resigniert den Kopf zu schütteln und zu sagen: „Ich weiß nicht, was ich hier einsetzen soll“.
Schreibe stattdessen sofort und rate verschiedene Substitutionen, die dir in den Sinn kommen. Niemand will dir schaden, also solltest du nicht lange warten müssen, um die richtige Substitution zu finden, nämlich eine, die alle Variablen durch Variablen ersetzt.
Viele Beispiele, wie du anfangen kannst, findest du in meinem Kurs zu unbestimmten Integralen.
Viel Glück!
