Komplexe Polynomgleichungen, die auf quadratische Gleichungen reduziert werden können
Krystian Karczyński
Gründer und Chef des Dienstes eTrapez.
Master of Mathematics der Technischen Universität Pozen (Polen). Mathematik-Nachhilfelehrer mit langjähriger Erfahrung. Schöpfer der ersten eTrapez-Kurse, die bei Studenten in ganz Polen große Beliebtheit erlangten.
Lebt in Stettin (Polen). Mag Waldspaziergänge, Strandtage und Kajakfahren.
Reduzieren von einigen vierten Grades Gleichungen auf quadratische Gleichungen
Viele polynomiale Gleichungen vierten Grades können mit einem bekannten Highschool-Trick, der hier beschrieben wird, in quadratische Gleichungen umgewandelt werden:
Reduzieren auf eine quadratische Gleichung
Dies funktioniert natürlich auch für Polynome in komplexen Zahlen.
Zur Erinnerung, was wir tun haben wir die Gleichung:
{{z}^{4}}+3{{z}^{2}}+2=0Wir setzen: {{z}^{2}}=t
Und wir erhalten eine quadratische Gleichung:
{{t}^{2}}+3{t}+2=0Dann lösen wir sie mit dem üblichen Delta und so weiter, wir erhalten Lösungen 
, wobei wir daran denken, dass 
wir daraus zwei neue Gleichungen bilden:
oder 
Wir lösen sie und haben vier Lösungen: 
.
Reduzieren von einigen höheren Grades Gleichungen auf quadratische Gleichungen
Es gibt absolut nichts, was dagegen spricht, diese Methode auf Gleichungen höheren Grades als 4 auszudehnen (wenn sie natürlich durch Substitution auf quadratische reduziert werden können).
Also haben wir:
2{{z}^{6}}-5{{z}^{3}}+4=0Man kann auch feststellen, dass es gleichwertig ist:
2{( {z}^{3})^{2}}-5{{z}^{3}}+4=0Und nach dem Einsetzen: 
Erhalten wir eine quadratische Gleichung:
2{{t}^{2}}-5t+4=0In der Gleichung:
{{x}^{10}}-3{{x}^{5}}+1=0Nach dem Einsetzen: 
Haben wir:
{{t}^{2}}-3t+1=0Und so weiter, und so weiter…
Beispiel
Nehmen wir die Gleichung:
z^6+(1-i)z^3-i=0Wir setzen z^2=t und haben:
t^2+(1-i)t-i=0Dann rechnen wir:
Wir berechnen diese Wurzeln mit den Methoden, die aus komplexen Zahlen bekannt sind (zum Beispiel in meinem Kurs gezeigt).
Wir haben 
oder 
Das heißt:
Denken Sie daran, dass dies noch keine Lösungen sind, da z^3=t
Also haben wir die Gleichungen zu lösen:
z^3=-1Und:
z^3=iWir transformieren sie zu:
und 
Und wieder mit den bekannten Methoden berechnet, haben wir drei Wurzeln aus der ersten Gleichung:
Und drei Wurzeln aus der zweiten Gleichung:
Gelöst 🙂
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