Ale W Odpowiedziach Jest Inaczej (Całki Nieoznaczone)

1 sierpnia 2012 przez Krystian Karczyński 17 komentarzy

O co właściwie chodzi?

Ten wzorek wszyscy znamy:

$\int{\frac{1}{x}dx}=\ln \left| x \right|+C$

Tylko bardzo dociekliwi ludzie dumali by nad tym, skąd i po co komu ta wartość bezwzględna w argumencie logarytmu.

Chyba lepiej w ramach zdrowego nie dokładania sobie problemów po prostu zawsze ją przepisywać w odpowiedziach (wariant optymistyczny), albo po prostu pomijać i pisać sobie $\int{\frac{1}{x}dx}=\ln \left( x \right)+C$ (wariant pesymistyczny).

Spójrzmy zresztą na Wolframa:

Tak, wygląda na to, że wszystko jest O.K. i można na przykład robić tak:

$\int{\frac{1}{x-1}dx}=\left| \begin{matrix} t=x-1\\ dt=dx\\ \end{matrix} \right|=\int{\frac{1}{t}dt}=\ln t+C=\ln \left( x-1 \right)+C$

Czy rzeczywiście?

Pojawiają się problemy

Weź trochę trudniejszą całkę:

$\int{\frac{1}{{{x}^{2}}-3x+2}dx}$

Licząc rozkładem na ułamki proste (jak to się dokładnie robi możesz sprawdzić w moim Kursie Video) masz:

$\int{\frac{1}{{{x}^{2}}-3x+2}dx}=\int{\frac{1}{\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)}dx}=\int{\frac{1}{x-2}dx}-\int{\frac{1}{x-1}dx}=\ln \left| x-2 \right|-\ln \left| x-1 \right|+C$

No i w sumie pozamiatane, sprawdzasz tylko w Wolframie…

…?

I co my tu mamy?

Jakim cudem Twój wynik (prawidłowy): $\ln \left| x-2 \right|-\ln \left| x-1 \right|+C$ ma się zgadzać w wynikiem Wolframa (prawidłowym): $\ln \left( 2-x \right)-\ln \left( 1-x \right)+C$ ?

Ano, zgadza się. Dla x-sów w określonej dziedzinie.

Skąd wartość bezwzględna we wzorze

Zacznę od podstaw, czyli skąd się wzięła ta wartość bezwzględna we wzorze:

$\int{\frac{1}{x}dx}=\ln \left| x \right|+C$

Jak pamiętasz, jakaś funkcja np. $F(x)$ była „całką” innej funkcji np. $f(x)$ wtedy, kiedy pochodna z niej dawała tą funkcję, tzn. wtedy, gdy: ${F}'\left( x \right)=f\left( x \right)$ .

Pochodna z funkcji $lnx$ daje faktycznie funkcję $\frac{1}{x}$ , czyli prawdą jest (jak twierdzi Wolfram), że $\int{\frac{1}{x}dx}=\ln x+C$ – ale tylko dla x dodatnich ! Ten wzór obowiązuje tylko dla $x$ należących do przedziału $(0,\infty)$ , bo tylko w tym przedziale możesz w ogóle policzyć pochodną z $lnx$ (ze względu na to, że argumentem logarytmu nie może być liczba ujemna).

A co, jeśli x będą ujemne? Ile równa będzie całka $\int{\frac{1}{x}dx}$ ? Dla x-sów ujemnych oczywiście:

$\int{\frac{1}{x}dx}=\ln \left( -x \right)+C$

Jeżeli x-sy są ujemne, to $-x$ jest dodatnie (czyli logarytm istnieje) i pochodna z niego:

${{\left( \ln \left( -x \right) \right)}^{\prime }}=\frac{1}{-x}\cdot {{\left( -x \right)}^{\prime }}=\frac{1}{-x}\cdot \left( -1 \right)=\frac{1}{x}$

Czyli faktycznie $\int{\frac{1}{x}dx}=\ln \left( -x \right)+C$ – dla x ujemnych !

Masz więc:

No a teraz korzystając z prostej definicji wartości bezwzględnej masz:

$\int{\frac{1}{x}dx}=\ln \left| x \right|+C$

dla x-sów różnych od zera.

Podsumowanie

Jeśli w rozwiązywanej przez Ciebie całce wyjdzie Ci w wyniku na przykład $\ln \left| x-2 \right|$ , a w odpowiedziach będzie $\ln \left( 2-x \right)$ , to znaczy, że masz dobrze, ponieważ w pewnych przedziałach x $\left| x-2 \right|=-\left( x-2 \right)=-x+2=2-x$ . Odpowiedź $\ln \left( 2-x \right)$ jest zastrzeżona właśnie do tych przedziałów.

A całkowania jako takiego nauczysz się najlepiej z mojego Kursu Całek Nieoznaczonych , w którym powoli pokazuję i tłumaczę, jak liczyć całki na konkretnych przykładach.

Komentarze

Karol napisał

5 lutego 2013 at 19:32

Mam pytanie: jak obliczyć całkę z x+1 i to wszystko w wartości bezwzględnej?

Odpowiedz
- Krystian Karczyński napisał
  
  6 lutego 2013 at 10:30
  
  Dobre pytanie, rozumiem, że chodzi tu o całkę nieoznaczoną $\int{\left| x+1 \right|dx}$ ?
  
  No więc postępować trzeba tak jak w szkole średniej: rozbić zadanie na dwa przypadki.
  
  1 przypadek – wyrażenie, z którego liczona jest wartość bezwzględna jest większe lub równe zero:
  $x+1\ge 0$ , czyli dla $x\ge -1$
  
  W tym przedziale i dla tych x-sów:
  
  $\int{\left| x+1 \right|dx}=\int{\left( x+1 \right)dx}=\int{xdx}+\int{dx}=\frac{1}{2}{{x}^{2}}+x+C$
  
  2 przypadek – wyrażenie, z którego liczona jest wartość bezwzględna jest mniejsze od zera:
  $x+1<0$ , czyli dla $x<-1$
  
  W tym przedziale i dla tych x-sów:
  
  $\int{\left| x+1 \right|dx}=\int{\left[ -\left( x+1 \right) \right]dx}=-\int{xdx}-\int{dx}=-\frac{1}{2}{{x}^{2}}-x+C$
  
  Podsumowując, wynikiem jest rodzina funkcji pierwotnych:
  
  $\int{\left| x+1 \right|dx}=\left\{ \begin{matrix} & -\frac{1}{2}{{x}^{2}}-x+C\quad dla\ x<-1 \\ & \frac{1}{2}{{x}^{2}}+x+C\quad dla\ x\ge -1 \\ \end{matrix} \right.$
  
  Odpowiedz
  - pati napisał
    
    6 lutego 2013 at 10:50
    
    a jak bedzie to calka oznaczona?
    
    Odpowiedz
    - Krystian Karczyński napisał
      
      6 lutego 2013 at 11:02
      
      A w jakich granicach?
      
      Odpowiedz
  - Piotr napisał
    
    6 lutego 2013 at 16:56
    
    Całość (tę na dole) można pomnożyć razy sgn(x-1).
    
    Odpowiedz
- Jerzy napisał
  
  9 marca 2016 at 00:35
  
  Czy mógłby Pan wytłumaczyć, jak obliczyć całkę (1+cos(x)^2)^(0.5) długość łuku sinusoidy?
  
  Odpowiedz
pati napisał

6 lutego 2013 at 12:05

od 2 do 0

Odpowiedz
- Krystian Karczyński napisał
  
  6 lutego 2013 at 12:20
  
  A przypadkiem nie od -2 do 0 ?
  
  Odpowiedz
Piotr napisał

6 lutego 2013 at 12:44

A to akurat proste podstawiasz w zależności od wartości granicy do właściwego wzoru

Odpowiedz
Kalina napisał

6 lutego 2013 at 18:07

A całka z |1-x| w granicach od 0 do 2? Czy jest równa 1?

Odpowiedz
- Krystian Karczyński napisał
  
  13 lutego 2013 at 12:14
  
  Napisałem posta na ten temat, zapraszam:
  
  Jak poradzić sobie z wartościami bezwzględnymi w całkach (i nie tylko)
  
  Odpowiedz
Edyta napisał

11 lutego 2013 at 19:20

A jaki będzie wynik
a) całka xe^-x dx
b)całka 2x ln x dx

Odpowiedz
- Szymon napisał
  
  23 lutego 2013 at 02:29
  
  pierwsze e^-x*(-x-1) a 2 policz sobie przez czesci.
  
  Odpowiedz
Dawid napisał

30 czerwca 2014 at 19:26

Witam

Mam prośbę nie wychodzi mo to zadanie czy może mi Pan pomóc
całka( 4- 2x)^2 xdx

Odpowiedz
- Joanna Grochowska napisał
  
  9 marca 2016 at 13:07
  
  Chodzi o całkę: $\displaystyle \int{{{{{(4-2x)}}^{2}}xdx}}$
  
  Rozpisuję wzór skróconego mnożenia oraz porządkuję wyrażenie pod całką, a same całki wyliczam z wzoru
  
  $\displaystyle \int{{{{x}^{n}}dx=\frac{1}{{n+1}}{{x}^{{n+1}}}}}+C$
  
  $\displaystyle \int{{{{{(4-2x)}}^{2}}xdx}}=\int{{(16-2\cdot 4\cdot 2x+4{{x}^{2}})\cdot xdx=}}\int{{\left( {16x-16{{x}^{2}}+4{{x}^{3}}} \right)dx=}}$
  $\displaystyle 16\int{{xdx-16\int{{{{x}^{2}}dx}}+4\int{{{{x}^{3}}}}dx=}}16\cdot \frac{1}{2}{{x}^{2}}-16\cdot \frac{1}{3}{{x}^{3}}+4\cdot \frac{1}{4}{{x}^{4}}+C=$
  $\displaystyle 8{{x}^{2}}-\frac{{16}}{3}{{x}^{3}}+{{x}^{4}}+C$
  
  Odpowiedz
Paula napisał

3 września 2018 at 13:47

Hej moglbys mi rozpisac jak obliczyc calke 1/cosx bo mam problem i mi wychodzi kompletnie cos innego . Z góry dziekuje i pozdrawiam

Odpowiedz
- Krystian Karczyński napisał
  
  6 września 2018 at 11:15
  
  Przykład wygląda na prosty, a naprawdę to wymaga wyciągnięcia dosyć ciężkiej artylerii, czyli np. „podstawień uniwersalnych”, które pokazałem tutaj.
  
  Jedziemy. Podstawienia biorę sobie z tabelki.
  
  $integral fraction numerator 1 over denominator cos x end fraction d x equals open vertical bar table row cell t equals t g x over 2 end cell row cell cos x equals fraction numerator 1 minus t squared over denominator 1 plus t squared end fraction end cell row cell d x equals fraction numerator 2 d t over denominator 1 plus t squared end fraction end cell end table close vertical bar equals integral fraction numerator 1 over denominator fraction numerator 1 minus t squared over denominator 1 plus t squared end fraction end fraction fraction numerator begin display style 2 d t end style over denominator begin display style 1 plus t squared end style end fraction equals 2 integral fraction numerator d t over denominator 1 minus t squared end fraction equals 2 integral fraction numerator d t over denominator negative open parentheses t squared minus 1 close parentheses end fraction equals negative 2 integral fraction numerator d t over denominator t squared minus 1 squared end fraction equals$
  
  Na tą całkę mamy już gotowy wzór:
  
  $horizontal ellipsis equals negative 2 integral fraction numerator d t over denominator t squared minus 1 squared end fraction equals negative 2 times fraction numerator 1 over denominator 2 times 1 end fraction ln open vertical bar fraction numerator t minus 1 over denominator t plus 1 end fraction close vertical bar plus C equals negative ln open vertical bar fraction numerator t minus 1 over denominator t plus 1 end fraction plus C close vertical bar equals negative ln open vertical bar fraction numerator t g begin display style x over 2 end style minus 1 over denominator t g x over 2 plus 1 end fraction close vertical bar plus C$
  
  KONIEC
  
  Całą metodę na innych przykładach pokazuję w moim Kursie Całki Nieoznaczone, zapraszam!
  
  Odpowiedz