O co właściwie chodzi?
Ten wzorek wszyscy znamy:
Tylko bardzo dociekliwi ludzie dumali by nad tym, skąd i po co komu ta wartość bezwzględna w argumencie logarytmu.
Chyba lepiej w ramach zdrowego nie dokładania sobie problemów po prostu zawsze ją przepisywać w odpowiedziach (wariant optymistyczny), albo po prostu pomijać i pisać sobie (wariant pesymistyczny).
Spójrzmy zresztą na Wolframa:
Tak, wygląda na to, że wszystko jest O.K. i można na przykład robić tak:
Czy rzeczywiście?
Pojawiają się problemy
Weź trochę trudniejszą całkę:
Licząc rozkładem na ułamki proste (jak to się dokładnie robi możesz sprawdzić w moim Kursie Video) masz:
No i w sumie pozamiatane, sprawdzasz tylko w Wolframie…
…?
I co my tu mamy?
Jakim cudem Twój wynik (prawidłowy): ma się zgadzać w wynikiem Wolframa (prawidłowym):
?
Ano, zgadza się. Dla x-sów w określonej dziedzinie.
Skąd wartość bezwzględna we wzorze
Zacznę od podstaw, czyli skąd się wzięła ta wartość bezwzględna we wzorze:
Jak pamiętasz, jakaś funkcja np. była „całką” innej funkcji np.
wtedy, kiedy pochodna z niej dawała tą funkcję, tzn. wtedy, gdy:
.
Pochodna z funkcji daje faktycznie funkcję
, czyli prawdą jest (jak twierdzi Wolfram), że
– ale tylko dla x dodatnich ! Ten wzór obowiązuje tylko dla
należących do przedziału
, bo tylko w tym przedziale możesz w ogóle policzyć pochodną z
(ze względu na to, że argumentem logarytmu nie może być liczba ujemna).
A co, jeśli x będą ujemne? Ile równa będzie całka ? Dla x-sów ujemnych oczywiście:
Jeżeli x-sy są ujemne, to jest dodatnie (czyli logarytm istnieje) i pochodna z niego:
Czyli faktycznie – dla x ujemnych !
Masz więc:
No a teraz korzystając z prostej definicji wartości bezwzględnej masz:
dla x-sów różnych od zera.
Podsumowanie
Jeśli w rozwiązywanej przez Ciebie całce wyjdzie Ci w wyniku na przykład , a w odpowiedziach będzie
, to znaczy, że masz dobrze, ponieważ w pewnych przedziałach x
. Odpowiedź
jest zastrzeżona właśnie do tych przedziałów.
A całkowania jako takiego nauczysz się najlepiej z mojego Kursu Całek Nieoznaczonych , w którym powoli pokazuję i tłumaczę, jak liczyć całki na konkretnych przykładach.
Karol napisał
Mam pytanie: jak obliczyć całkę z x+1 i to wszystko w wartości bezwzględnej?
Dobre pytanie, rozumiem, że chodzi tu o całkę nieoznaczoną
?
No więc postępować trzeba tak jak w szkole średniej: rozbić zadanie na dwa przypadki.
1 przypadek – wyrażenie, z którego liczona jest wartość bezwzględna jest większe lub równe zero:
, czyli dla 
W tym przedziale i dla tych x-sów:
2 przypadek – wyrażenie, z którego liczona jest wartość bezwzględna jest mniejsze od zera:
, czyli dla 
W tym przedziale i dla tych x-sów:
Podsumowując, wynikiem jest rodzina funkcji pierwotnych:
pati napisał
a jak bedzie to calka oznaczona?
A w jakich granicach?
Piotr napisał
Całość (tę na dole) można pomnożyć razy sgn(x-1).
Jerzy napisał
Czy mógłby Pan wytłumaczyć, jak obliczyć całkę (1+cos(x)^2)^(0.5) długość łuku sinusoidy?
pati napisał
od 2 do 0
A przypadkiem nie od -2 do 0 ?
Piotr napisał
A to akurat proste podstawiasz w zależności od wartości granicy do właściwego wzoru
Kalina napisał
A całka z |1-x| w granicach od 0 do 2? Czy jest równa 1?
Napisałem posta na ten temat, zapraszam:
Jak poradzić sobie z wartościami bezwzględnymi w całkach (i nie tylko)
Edyta napisał
A jaki będzie wynik
a) całka xe^-x dx
b)całka 2x ln x dx
Szymon napisał
pierwsze e^-x*(-x-1) a 2 policz sobie przez czesci.
Dawid napisał
Witam
Mam prośbę nie wychodzi mo to zadanie czy może mi Pan pomóc
całka( 4- 2x)^2 xdx
Chodzi o całkę:
Rozpisuję wzór skróconego mnożenia oraz porządkuję wyrażenie pod całką, a same całki wyliczam z wzoru
Paula napisał
Hej moglbys mi rozpisac jak obliczyc calke 1/cosx bo mam problem i mi wychodzi kompletnie cos innego . Z góry dziekuje i pozdrawiam
Przykład wygląda na prosty, a naprawdę to wymaga wyciągnięcia dosyć ciężkiej artylerii, czyli np. „podstawień uniwersalnych”, które pokazałem tutaj.
Jedziemy. Podstawienia biorę sobie z tabelki.
Na tą całkę mamy już gotowy wzór:
KONIEC
Całą metodę na innych przykładach pokazuję w moim Kursie Całki Nieoznaczone, zapraszam!