blog

Ale W Odpowiedziach Jest Inaczej (Całki Nieoznaczone)

Krystian

Założyciel i szef serwisu eTrapez.

Magister matematyki Politechniki Poznańskiej. Korepetytor matematyki z wieloletnim stażem. Twórca Kursów eTrapez, które zdobyły ogromną popularność wśród studentów w całej Polsce.

Mieszka koło Szczecina. Lubi spacery po lesie, plażowanie i piłkę nożną.


O co właściwie chodzi?

Ten wzorek wszyscy znamy:

\int{\frac{1}{x}dx}=\ln \left| x \right|+C

Tylko bardzo dociekliwi ludzie dumali by nad tym, skąd i po co komu ta wartość bezwzględna w argumencie logarytmu.

Chyba lepiej w ramach zdrowego nie dokładania sobie problemów po prostu zawsze ją przepisywać w odpowiedziach (wariant optymistyczny), albo po prostu pomijać i pisać sobie  \int{\frac{1}{x}dx}=\ln \left( x \right)+C (wariant pesymistyczny).

Spójrzmy zresztą na Wolframa:

Wzór na całkę z 1/x w Wolframie

Tak, wygląda na to, że wszystko jest O.K. i można na przykład robić tak:

\int{\frac{1}{x-1}dx}=\left| \begin{matrix}t=x-1\\dt=dx\\\end{matrix} \right|=\int{\frac{1}{t}dt}=\ln t+C=\ln \left( x-1 \right)+C

Czy rzeczywiście?

Pojawiają się problemy

Weź trochę trudniejszą całkę:

\int{\frac{1}{{{x}^{2}}-3x+2}dx}

Licząc rozkładem na ułamki proste (jak to się dokładnie robi możesz sprawdzić w moim Kursie Video) masz:

\int{\frac{1}{{{x}^{2}}-3x+2}dx}=\int{\frac{1}{\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)}dx}=\int{\frac{1}{x-2}dx}-\int{\frac{1}{x-1}dx}=\ln \left| x-2 \right|-\ln \left| x-1 \right|+C

No i w sumie pozamiatane, sprawdzasz tylko w Wolframie

Całka wymierna z 1/(x^2-3x+2) w Wolframie

…?

I co my tu mamy?

Jakim cudem Twój wynik (prawidłowy): \ln \left| x-2 \right|-\ln \left| x-1 \right|+C ma się zgadzać w wynikiem Wolframa (prawidłowym): \ln \left( 2-x \right)-\ln \left( 1-x \right)+C?

Ano, zgadza się. Dla x-sów w określonej dziedzinie.

Skąd wartość bezwzględna we wzorze

Zacznę od podstaw, czyli skąd się wzięła ta wartość bezwzględna we wzorze:

\int{\frac{1}{x}dx}=\ln \left| x \right|+C

Jak pamiętasz, jakaś funkcja np. F(x) była “całką” innej funkcji np. f(x) wtedy, kiedy pochodna z niej dawała tą funkcję, tzn. wtedy, gdy:  {F}'\left( x \right)=f\left( x \right).

Pochodna z funkcji lnx daje faktycznie funkcję \frac{1}{x}, czyli prawdą jest (jak twierdzi Wolfram), że \int{\frac{1}{x}dx}=\ln x+C – ale tylko dla x dodatnich ! Ten wzór obowiązuje tylko dla x należących do przedziału (0,\infty), bo tylko w tym przedziale możesz w ogóle policzyć pochodną z lnx (ze względu na to, że argumentem logarytmu nie może być liczba ujemna).

A co, jeśli x będą ujemne? Ile równa będzie całka \int{\frac{1}{x}dx}? Dla x-sów ujemnych oczywiście:

\int{\frac{1}{x}dx}=\ln \left( -x \right)+C

Jeżeli x-sy są ujemne, to -x jest dodatnie (czyli logarytm istnieje) i pochodna z niego:

{{\left( \ln \left( -x \right) \right)}^{\prime }}=\frac{1}{-x}\cdot {{\left( -x \right)}^{\prime }}=\frac{1}{-x}\cdot \left( -1 \right)=\frac{1}{x}

Czyli faktycznie \int{\frac{1}{x}dx}=\ln \left( -x \right)+C – dla x ujemnych !

Masz więc:

Całka z 1/x rozbita na dwa przypadki

No a teraz korzystając z prostej definicji wartości bezwzględnej Definicja wartości bezwzględnejmasz:

\int{\frac{1}{x}dx}=\ln \left| x \right|+C

dla x-sów różnych od zera.

 Podsumowanie

Jeśli w rozwiązywanej przez Ciebie całce wyjdzie Ci w wyniku na przykład \ln \left| x-2 \right|, a w odpowiedziach będzie \ln \left( 2-x \right), to znaczy, że masz dobrze, ponieważ w pewnych przedziałach x \left| x-2 \right|=-\left( x-2 \right)=-x+2=2-x. Odpowiedź \ln \left( 2-x \right) jest zastrzeżona właśnie do tych przedziałów.

 

 

A całkowania jako takiego nauczysz się najlepiej z mojego Kursu Całek Nieoznaczonych , w którym powoli pokazuję i tłumaczę, jak liczyć całki na konkretnych przykładach.

Jedna z wielu opinii o naszych Kursach...

Zakupiłem cały pakiet kursów mimo, że już dobijam do wieku emerytalnego i jestem po studiach technicznych. Nie znaczy to jednak , że zainteresowanie matematyką osłabło. Wręcz przeciwnie! Jestem w trakcie ich „konsumowania”. Mogę stwierdzić jedno – to co robicie jest fantastyczne. Pomoc dla wszystkich, czy to uczniów szkół ponadpodstawowych czy też dla studentów. To nie są pieniądze wyrzucone w błoto!

Aleksander M.

Szukasz korepetycji z matematyki na poziomie studiów lub szkoły średniej? A może potrzebujesz kursu, który przygotuje Cię do matury?

Jesteśmy ekipą eTrapez. Uczymy matematyki w sposób jasny, prosty i bardzo dokładny - trafimy nawet do najbardziej opornego na wiedzę.

Stworzyliśmy tłumaczone zrozumiałym językiem Kursy video do pobrania na komputer, tablet czy telefon. Włączasz nagranie, oglądasz i słuchasz, jak na korepetycjach. O dowolnej porze dnia i nocy.

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *

Twój komentarz będzie dostępny publicznie na naszej stronie razem z powyższym podpisem. Adres email nie będzie dostępny publicznie. Komentarz możesz zmienić, lub usunąć w każdej chwili. Dane osobowe zawarte w komentarzu i podpisie traktujemy zgodnie z naszą polityką prywatności.

  1. Paula pisze:

    Hej moglbys mi rozpisac jak obliczyc calke 1/cosx  bo mam problem i mi wychodzi kompletnie cos innego . Z góry dziekuje i pozdrawiam

    1. Przykład wygląda na prosty, a naprawdę to wymaga wyciągnięcia dosyć ciężkiej artylerii, czyli np. “podstawień uniwersalnych”, które pokazałem tutaj.

      Jedziemy. Podstawienia biorę sobie z tabelki.

      integral fraction numerator 1 over denominator cos x end fraction d x equals open vertical bar table row cell t equals t g x over 2 end cell row cell cos x equals fraction numerator 1 minus t squared over denominator 1 plus t squared end fraction end cell row cell d x equals fraction numerator 2 d t over denominator 1 plus t squared end fraction end cell end table close vertical bar equals \integral fraction numerator 1 over denominator fraction numerator 1 minus t squared over denominator 1 plus t squared end fraction end fraction fraction numerator \begin display style 2 d t end style over denominator \begin display style 1 plus t squared end style end fraction equals 2 \integral fraction numerator d t over denominator 1 minus t squared end fraction equals 2 \integral fraction numerator d t over denominator negative open parentheses t squared minus 1 close parentheses end fraction equals negative 2 \integral fraction numerator d t over denominator t squared minus 1 squared end fraction equals

      Na tą całkę mamy już gotowy wzór:

      horizontal ellipsis equals negative 2 \integral fraction numerator d t over denominator t squared minus 1 squared end fraction equals negative 2 times fraction numerator 1 over denominator 2 times 1 end fraction ln open vertical bar fraction numerator t minus 1 over denominator t plus 1 end fraction close vertical bar plus C equals negative ln open vertical bar fraction numerator t minus 1 over denominator t plus 1 end fraction plus C close vertical bar equals negative ln open vertical bar fraction numerator t g \begin display style x over 2 end style minus 1 over denominator t g x over 2 plus 1 end fraction close vertical bar plus C

      KONIEC

      Całą metodę na innych przykładach pokazuję w moim Kursie Całki Nieoznaczone, zapraszam!
       

  2. Dawid pisze:

    Witam

    Mam prośbę nie wychodzi mo to zadanie czy może mi Pan pomóc
    całka( 4- 2x)^2 xdx

    1. Joanna Grochowska pisze:

      Chodzi o całkę: \displaystyle \int{{{{{(4-2x)}}^{2}}xdx}}

      Rozpisuję wzór skróconego mnożenia oraz porządkuję wyrażenie pod całką, a same całki wyliczam z wzoru

      \displaystyle \int{{{{x}^{n}}dx=\frac{1}{{n+1}}{{x}^{{n+1}}}}}+C

      \displaystyle \int{{{{{(4-2x)}}^{2}}xdx}}=\int{{(16-2\cdot 4\cdot 2x+4{{x}^{2}})\cdot xdx=}}\int{{\left( {16x-16{{x}^{2}}+4{{x}^{3}}} \right)dx=}}
      \displaystyle 16\int{{xdx-16\int{{{{x}^{2}}dx}}+4\int{{{{x}^{3}}}}dx=}}16\cdot \frac{1}{2}{{x}^{2}}-16\cdot \frac{1}{3}{{x}^{3}}+4\cdot \frac{1}{4}{{x}^{4}}+C=
      \displaystyle 8{{x}^{2}}-\frac{{16}}{3}{{x}^{3}}+{{x}^{4}}+C

  3. Edyta pisze:

    A jaki będzie wynik
    a) całka xe^-x dx
    b)całka 2x ln x dx

    1. Szymon pisze:

      pierwsze e^-x*(-x-1) a 2 policz sobie przez czesci.

  4. Kalina pisze:

    A całka z |1-x| w granicach od 0 do 2? Czy jest równa 1?

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Napisałem posta na ten temat, zapraszam:

      Jak poradzić sobie z wartościami bezwzględnymi w całkach (i nie tylko)

  5. Piotr pisze:

    A to akurat proste podstawiasz w zależności od wartości granicy do właściwego wzoru

  6. pati pisze:

    od 2 do 0

    1. Krystian Karczyński pisze:

      A przypadkiem nie od -2 do 0 ?

  7. Karol pisze:

    Mam pytanie: jak obliczyć całkę z x+1 i to wszystko w wartości bezwzględnej?

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Dobre pytanie, rozumiem, że chodzi tu o całkę nieoznaczoną \int{\left| x+1 \right|dx}?

      No więc postępować trzeba tak jak w szkole średniej: rozbić zadanie na dwa przypadki.

      1 przypadek – wyrażenie, z którego liczona jest wartość bezwzględna jest większe lub równe zero:
      x+1\ge 0, czyli dla x\ge -1

      W tym przedziale i dla tych x-sów:

      \int{\left| x+1 \right|dx}=\int{\left( x+1 \right)dx}=\int{xdx}+\int{dx}=\frac{1}{2}{{x}^{2}}+x+C

      2 przypadek – wyrażenie, z którego liczona jest wartość bezwzględna jest mniejsze od zera:
      x+1<0, czyli dla x<-1

      W tym przedziale i dla tych x-sów:

      \int{\left| x+1 \right|dx}=\int{\left[ -\left( x+1 \right) \right]dx}=-\int{xdx}-\int{dx}=-\frac{1}{2}{{x}^{2}}-x+C

      Podsumowując, wynikiem jest rodzina funkcji pierwotnych:

      \int{\left| x+1 \right|dx}=\{ \begin{matrix}
      & -\frac{1}{2}{{x}^{2}}-x+C\quad dla x<-1 \\
      & \frac{1}{2}{{x}^{2}}+x+C\quad dla x\ge -1 \end{matrix}

    2. pati pisze:

      a jak bedzie to calka oznaczona?

    3. Krystian Karczyński pisze:

      A w jakich granicach?

    4. Piotr pisze:

      Całość (tę na dole) można pomnożyć razy sgn(x-1).

    5. Jerzy pisze:

      Czy mógłby Pan wytłumaczyć, jak obliczyć całkę (1+cos(x)^2)^(0.5) długość łuku sinusoidy?