Blog eTrapez

Matematyka na studiach i w szkole średniej

logo
Główna / Całki / Ale W Odpowiedziach Jest Inaczej (Całki Nieoznaczone)

Ale W Odpowiedziach Jest Inaczej (Całki Nieoznaczone)

przez 17 komentarze

O co właściwie chodzi?

Ten wzorek wszyscy znamy:

\int{\frac{1}{x}dx}=\ln \left| x \right|+C

Tylko bardzo dociekliwi ludzie dumali by nad tym, skąd i po co komu ta wartość bezwzględna w argumencie logarytmu.

Chyba lepiej w ramach zdrowego nie dokładania sobie problemów po prostu zawsze ją przepisywać w odpowiedziach (wariant optymistyczny), albo po prostu pomijać i pisać sobie  \int{\frac{1}{x}dx}=\ln \left( x \right)+C(wariant pesymistyczny).

Spójrzmy zresztą na Wolframa:

Wzór na całkę z 1/x w Wolframie

Tak, wygląda na to, że wszystko jest O.K. i można na przykład robić tak:

\int{\frac{1}{x-1}dx}=\left| \begin{matrix}t=x-1\\dt=dx\\\end{matrix} \right|=\int{\frac{1}{t}dt}=\ln t+C=\ln \left( x-1 \right)+C

Czy rzeczywiście?

Pojawiają się problemy

Weź trochę trudniejszą całkę:

\int{\frac{1}{{{x}^{2}}-3x+2}dx}

Licząc rozkładem na ułamki proste (jak to się dokładnie robi możesz sprawdzić w moim Kursie Video) masz:

\int{\frac{1}{{{x}^{2}}-3x+2}dx}=\int{\frac{1}{\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)}dx}=\int{\frac{1}{x-2}dx}-\int{\frac{1}{x-1}dx}=\ln \left| x-2 \right|-\ln \left| x-1 \right|+C

No i w sumie pozamiatane, sprawdzasz tylko w Wolframie…

Całka wymierna z 1/(x^2-3x+2) w Wolframie

…?

I co my tu mamy?

Jakim cudem Twój wynik (prawidłowy): \ln \left| x-2 \right|-\ln \left| x-1 \right|+Cma się zgadzać w wynikiem Wolframa (prawidłowym): \ln \left( 2-x \right)-\ln \left( 1-x \right)+C?

Ano, zgadza się. Dla x-sów w określonej dziedzinie.

Skąd wartość bezwzględna we wzorze

Zacznę od podstaw, czyli skąd się wzięła ta wartość bezwzględna we wzorze:

\int{\frac{1}{x}dx}=\ln \left| x \right|+C

Jak pamiętasz, jakaś funkcja np. F(x) była „całką” innej funkcji np. f(x) wtedy, kiedy pochodna z niej dawała tą funkcję, tzn. wtedy, gdy:  {F}'\left( x \right)=f\left( x \right).

Pochodna z funkcji lnx daje faktycznie funkcję \frac{1}{x}, czyli prawdą jest (jak twierdzi Wolfram), że \int{\frac{1}{x}dx}=\ln x+C– ale tylko dla x dodatnich ! Ten wzór obowiązuje tylko dla xnależących do przedziału (0,\infty), bo tylko w tym przedziale możesz w ogóle policzyć pochodną z lnx (ze względu na to, że argumentem logarytmu nie może być liczba ujemna).

A co, jeśli x będą ujemne? Ile równa będzie całka \int{\frac{1}{x}dx}? Dla x-sów ujemnych oczywiście:

\int{\frac{1}{x}dx}=\ln \left( -x \right)+C

Jeżeli x-sy są ujemne, to -xjest dodatnie (czyli logarytm istnieje) i pochodna z niego:

{{\left( \ln \left( -x \right) \right)}^{\prime }}=\frac{1}{-x}\cdot {{\left( -x \right)}^{\prime }}=\frac{1}{-x}\cdot \left( -1 \right)=\frac{1}{x}

Czyli faktycznie \int{\frac{1}{x}dx}=\ln \left( -x \right)+C– dla x ujemnych !

Masz więc:

Całka z 1/x rozbita na dwa przypadki

No a teraz korzystając z prostej definicji wartości bezwzględnej Definicja wartości bezwzględnejmasz:

\int{\frac{1}{x}dx}=\ln \left| x \right|+C

dla x-sów różnych od zera.

 Podsumowanie

Jeśli w rozwiązywanej przez Ciebie całce wyjdzie Ci w wyniku na przykład \ln \left| x-2 \right|, a w odpowiedziach będzie \ln \left( 2-x \right), to znaczy, że masz dobrze, ponieważ w pewnych przedziałach x \left| x-2 \right|=-\left( x-2 \right)=-x+2=2-x. Odpowiedź \ln \left( 2-x \right)jest zastrzeżona właśnie do tych przedziałów.

 

 

A całkowania jako takiego nauczysz się najlepiej z mojego Kursu Całek Nieoznaczonych , w którym powoli pokazuję i tłumaczę, jak liczyć całki na konkretnych przykładach.

W kategorii: Całki, Całki nieoznaczone, Studia

Darmowe konto na eTrapez

Uzyskaj dostęp do 22 Lekcji Video i poznaj podstawy edukacji matematycznej na studiach i w szkole średniej.

Otrzymuj powiadomienia o nowych materiałach eTrapez, a także kody rabatowe i promocje.

[wppb-register]

Reader Interactions

Komentarze

    • Dobre pytanie, rozumiem, że chodzi tu o całkę nieoznaczoną \int{\left| x+1 \right|dx}?

      No więc postępować trzeba tak jak w szkole średniej: rozbić zadanie na dwa przypadki.

      1 przypadek – wyrażenie, z którego liczona jest wartość bezwzględna jest większe lub równe zero:
      x+1\ge 0, czyli dla x\ge -1

      W tym przedziale i dla tych x-sów:

      \int{\left| x+1 \right|dx}=\int{\left( x+1 \right)dx}=\int{xdx}+\int{dx}=\frac{1}{2}{{x}^{2}}+x+C

      2 przypadek – wyrażenie, z którego liczona jest wartość bezwzględna jest mniejsze od zera:
      x+1<0, czyli dla x<-1

      W tym przedziale i dla tych x-sów:

      \int{\left| x+1 \right|dx}=\int{\left[ -\left( x+1 \right) \right]dx}=-\int{xdx}-\int{dx}=-\frac{1}{2}{{x}^{2}}-x+C

      Podsumowując, wynikiem jest rodzina funkcji pierwotnych:

      \int{\left| x+1 \right|dx}=\left\{ \begin{matrix}
      & -\frac{1}{2}{{x}^{2}}-x+C\quad dla\ x<-1 \\
      & \frac{1}{2}{{x}^{2}}+x+C\quad dla\ x\ge -1 \\
      \end{matrix} \right.

    • Czy mógłby Pan wytłumaczyć, jak obliczyć całkę (1+cos(x)^2)^(0.5) długość łuku sinusoidy?

    • Chodzi o całkę: \displaystyle \int{{{{{(4-2x)}}^{2}}xdx}}

      Rozpisuję wzór skróconego mnożenia oraz porządkuję wyrażenie pod całką, a same całki wyliczam z wzoru

      \displaystyle \int{{{{x}^{n}}dx=\frac{1}{{n+1}}{{x}^{{n+1}}}}}+C

      \displaystyle \int{{{{{(4-2x)}}^{2}}xdx}}=\int{{(16-2\cdot 4\cdot 2x+4{{x}^{2}})\cdot xdx=}}\int{{\left( {16x-16{{x}^{2}}+4{{x}^{3}}} \right)dx=}}
      \displaystyle 16\int{{xdx-16\int{{{{x}^{2}}dx}}+4\int{{{{x}^{3}}}}dx=}}16\cdot \frac{1}{2}{{x}^{2}}-16\cdot \frac{1}{3}{{x}^{3}}+4\cdot \frac{1}{4}{{x}^{4}}+C=
      \displaystyle 8{{x}^{2}}-\frac{{16}}{3}{{x}^{3}}+{{x}^{4}}+C

  7. Hej moglbys mi rozpisac jak obliczyc calke 1/cosx  bo mam problem i mi wychodzi kompletnie cos innego . Z góry dziekuje i pozdrawiam

    Odpowiedz

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *