Ale W Odpowiedziach Jest Inaczej (Całki Nieoznaczone)

Krystian Karczyński

Założyciel i szef serwisu eTrapez.

Magister matematyki Politechniki Poznańskiej. Korepetytor matematyki z wieloletnim stażem. Twórca Kursów eTrapez, które zdobyły ogromną popularność wśród studentów w całej Polsce.

Mieszka koło Szczecina. Lubi spacery po lesie, plażowanie i piłkę nożną.

O co właściwie chodzi?

Ten wzorek wszyscy znamy:

\int{\frac{1}{x}dx}=\ln \left| x \right|+C

Tylko bardzo dociekliwi ludzie dumali by nad tym, skąd i po co komu ta wartość bezwzględna w argumencie logarytmu.

Chyba lepiej w ramach zdrowego nie dokładania sobie problemów po prostu zawsze ją przepisywać w odpowiedziach (wariant optymistyczny), albo po prostu pomijać i pisać sobie $\int{\frac{1}{x}dx}=\ln \left( x \right)+C$ (wariant pesymistyczny).

Spójrzmy zresztą na Wolframa:

Tak, wygląda na to, że wszystko jest O.K. i można na przykład robić tak:

\int{\frac{1}{x-1}dx}=\left| \begin{matrix}t=x-1\\dt=dx\\\end{matrix} \right|=\int{\frac{1}{t}dt}=\ln t+C=\ln \left( x-1 \right)+C

Czy rzeczywiście?

Pojawiają się problemy

Weź trochę trudniejszą całkę:

\int{\frac{1}{{{x}^{2}}-3x+2}dx}

Licząc rozkładem na ułamki proste (jak to się dokładnie robi możesz sprawdzić w moim Kursie Video) masz:

\int{\frac{1}{{{x}^{2}}-3x+2}dx}=\int{\frac{1}{\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)}dx}=\int{\frac{1}{x-2}dx}-\int{\frac{1}{x-1}dx}=\ln \left| x-2 \right|-\ln \left| x-1 \right|+C

No i w sumie pozamiatane, sprawdzasz tylko w Wolframie…

…?

I co my tu mamy?

Jakim cudem Twój wynik (prawidłowy): $\ln \left| x-2 \right|-\ln \left| x-1 \right|+C$ ma się zgadzać w wynikiem Wolframa (prawidłowym): $\ln \left( 2-x \right)-\ln \left( 1-x \right)+C$ ?

Ano, zgadza się. Dla x-sów w określonej dziedzinie.

Skąd wartość bezwzględna we wzorze

Zacznę od podstaw, czyli skąd się wzięła ta wartość bezwzględna we wzorze:

\int{\frac{1}{x}dx}=\ln \left| x \right|+C

Jak pamiętasz, jakaś funkcja np. $F(x)$ była “całką” innej funkcji np. $f(x)$ wtedy, kiedy pochodna z niej dawała tą funkcję, tzn. wtedy, gdy: ${F}'\left( x \right)=f\left( x \right)$ .

Pochodna z funkcji $lnx$ daje faktycznie funkcję $\frac{1}{x}$ , czyli prawdą jest (jak twierdzi Wolfram), że $\int{\frac{1}{x}dx}=\ln x+C$ – ale tylko dla x dodatnich ! Ten wzór obowiązuje tylko dla $x$ należących do przedziału $(0,\infty)$ , bo tylko w tym przedziale możesz w ogóle policzyć pochodną z $lnx$ (ze względu na to, że argumentem logarytmu nie może być liczba ujemna).

A co, jeśli x będą ujemne? Ile równa będzie całka $\int{\frac{1}{x}dx}$ ? Dla x-sów ujemnych oczywiście:

\int{\frac{1}{x}dx}=\ln \left( -x \right)+C

Jeżeli x-sy są ujemne, to $-x$ jest dodatnie (czyli logarytm istnieje) i pochodna z niego:

{{\left( \ln \left( -x \right) \right)}^{\prime }}=\frac{1}{-x}\cdot {{\left( -x \right)}^{\prime }}=\frac{1}{-x}\cdot \left( -1 \right)=\frac{1}{x}

Czyli faktycznie $\int{\frac{1}{x}dx}=\ln \left( -x \right)+C$ – dla x ujemnych !

Masz więc:

Całka z 1/x rozbita na dwa przypadki

No a teraz korzystając z prostej definicji wartości bezwzględnej masz:

\int{\frac{1}{x}dx}=\ln \left| x \right|+C

dla x-sów różnych od zera.

Podsumowanie

Jeśli w rozwiązywanej przez Ciebie całce wyjdzie Ci w wyniku na przykład $\ln \left| x-2 \right|$ , a w odpowiedziach będzie $\ln \left( 2-x \right)$ , to znaczy, że masz dobrze, ponieważ w pewnych przedziałach x $\left| x-2 \right|=-\left( x-2 \right)=-x+2=2-x$ . Odpowiedź $\ln \left( 2-x \right)$ jest zastrzeżona właśnie do tych przedziałów.

A całkowania jako takiego nauczysz się najlepiej z mojego Kursu Całek Nieoznaczonych , w którym powoli pokazuję i tłumaczę, jak liczyć całki na konkretnych przykładach.

Jedna z wielu opinii o naszych Kursach...

Kurs z pewnością godny polecenia, po obejrzeniu kilku kursów stwierdzam, że zostanę z eTrapezem na dłużej! Wszystko wytłumaczone w sposób prosty, zadania domowe zoptymalizowane w taki sposób, że zaczynamy od zadań podstawowych a kończymy na tych trudniejszych.

Konrad

Szukasz korepetycji z matematyki na poziomie studiów lub szkoły średniej? A może potrzebujesz kursu, który przygotuje Cię do matury?

Jesteśmy ekipą eTrapez. Uczymy matematyki w sposób jasny, prosty i bardzo dokładny - trafimy nawet do najbardziej opornego na wiedzę.

Stworzyliśmy tłumaczone zrozumiałym językiem Kursy video do pobrania na komputer, tablet czy telefon. Włączasz nagranie, oglądasz i słuchasz, jak na korepetycjach. O dowolnej porze dnia i nocy.

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Paula pisze:

3 września 2018 o 13:47

Hej moglbys mi rozpisac jak obliczyc calke 1/cosx bo mam problem i mi wychodzi kompletnie cos innego . Z góry dziekuje i pozdrawiam

Odpowiedz
1. Krystian Karczyński pisze:
  
  6 września 2018 o 11:15
  
  Przykład wygląda na prosty, a naprawdę to wymaga wyciągnięcia dosyć ciężkiej artylerii, czyli np. “podstawień uniwersalnych”, które pokazałem tutaj.
  
  Jedziemy. Podstawienia biorę sobie z tabelki.
  
  $integral fraction numerator 1 over denominator cos x end fraction d x equals open vertical bar table row cell t equals t g x over 2 end cell row cell cos x equals fraction numerator 1 minus t squared over denominator 1 plus t squared end fraction end cell row cell d x equals fraction numerator 2 d t over denominator 1 plus t squared end fraction end cell end table close vertical bar equals integral fraction numerator 1 over denominator fraction numerator 1 minus t squared over denominator 1 plus t squared end fraction end fraction fraction numerator begin display style 2 d t end style over denominator begin display style 1 plus t squared end style end fraction equals 2 integral fraction numerator d t over denominator 1 minus t squared end fraction equals 2 integral fraction numerator d t over denominator negative open parentheses t squared minus 1 close parentheses end fraction equals negative 2 integral fraction numerator d t over denominator t squared minus 1 squared end fraction equals$
  
  Na tą całkę mamy już gotowy wzór:
  
  $horizontal ellipsis equals negative 2 integral fraction numerator d t over denominator t squared minus 1 squared end fraction equals negative 2 times fraction numerator 1 over denominator 2 times 1 end fraction ln open vertical bar fraction numerator t minus 1 over denominator t plus 1 end fraction close vertical bar plus C equals negative ln open vertical bar fraction numerator t minus 1 over denominator t plus 1 end fraction plus C close vertical bar equals negative ln open vertical bar fraction numerator t g begin display style x over 2 end style minus 1 over denominator t g x over 2 plus 1 end fraction close vertical bar plus C$
  
  KONIEC
  
  Całą metodę na innych przykładach pokazuję w moim Kursie Całki Nieoznaczone, zapraszam!
  48/df/46c5d3a3fd017569f7b49b400bcb.png” alt=”straight real numbers” align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi mathvariant=¨normal¨»§#8477;«/mi»«/math»” />, ponieważ można obliczyć pierwiastek nieparzystego stopnia również z liczby ujemnej. Jednak definiuje się czasem, że dziedziną wyrażenia $x to the power of begin inline style 1 third end style end exponent$ jest zbiór $straight real numbers subscript plus union left curly bracket 0 right curly bracket$ , ze względu na postać ułamkową wykładnika. Tak też liczą dziedzinę niektóre algorytmy.
  
  Zapewne powyższy kalkulator wziął pod uwagę warunki: $2 minus x greater or equal than 0$ oraz $x squared plus x minus 6 not equal to 0$ . Otrzymujemy $open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell x less or equal than 2 end cell row cell x not equal to negative 3 logical and x not equal to 2 end cell end table close$ , czyli $D equals open parentheses negative infinity comma negative 3 close parentheses union open parentheses negative 3 comma 2 close parentheses$ .
  
  Gdybyśmy brali pod uwagę faktyczne własności pierwiastka nieparzystego stopnia, ograniczymy się do warunku $x squared plus x minus 6 not equal to 0$ i otrzymamy dziedzinę $D equals straight real numbers backslash left curly bracket negative 3 comma 2 right curly bracket$ .
  
  Trzeba przyznać, że jest to zagadnienie wyjątkowo nieprecyzyjne, jak na matematykę 😉
  
  07/74/4cde70440796ab21c77a684f4eb8.png” alt=”open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell x plus 1 equals 0 space logical or space y minus 4 equals 0 space logical or space y equals 0 end cell row cell x equals 0 space logical or space x plus 2 equals 0 space logical or space y minus 2 equals 0 end cell end table close” align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfenced open=¨{¨ close=¨¨»«mtable columnalign=¨left¨»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8744;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8744;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8744;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8744;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/math»” />
  
  $open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell x equals negative 1 space logical or space y equals 4 space logical or space y equals 0 end cell row cell x equals 0 space logical or space x equals negative 2 space logical or space y equals 2 end cell end table close$
  
  $x equals negative 1 colon space minus 2 times open parentheses negative 1 close parentheses open parentheses negative 1 plus 2 close parentheses open parentheses y minus 2 close parentheses equals 0 rightwards double arrow y equals 2$
  $y equals 4 colon space minus 2 x open parentheses x plus 2 close parentheses open parentheses 4 minus 2 close parentheses equals 0 space rightwards double arrow space x equals 0 space logical or space x equals negative 2$
  $y equals 0 colon space minus 2 x open parentheses x plus 2 close parentheses open parentheses 0 minus 2 close parentheses equals 0 space rightwards double arrow space x equals 0 space logical or space x equals negative 2$
  
  $x equals 0 colon space minus 2 open parentheses 0 plus 1 close parentheses open parentheses y minus 4 close parentheses y equals 0 space rightwards double arrow space y equals 4 space logical or y equals 0$ $x equals negative 2 colon space minus 2 open parentheses negative 2 plus 1 close parentheses open parentheses y minus 4 close parentheses y equals 0 space rightwards double arrow space y equals 4 space logical or y equals 0$
  $y equals 2 colon space minus 2 open parentheses x plus 1 close parentheses open parentheses 2 minus 4 close parentheses 2 equals 0 space rightwards double arrow space x equals negative 1$
  
  Zatem punkty podejrzane o ekstremum to: $open parentheses negative 1 comma 2 close parentheses comma space open parentheses 0 comma 4 close parentheses comma space open parentheses negative 2 comma 4 close parentheses comma space open parentheses 0 comma 0 close parentheses comma space open parentheses negative 2 comma 0 close parentheses$ .
Dawid pisze:

30 czerwca 2014 o 19:26

Witam

Mam prośbę nie wychodzi mo to zadanie czy może mi Pan pomóc
całka( 4- 2x)^2 xdx

Odpowiedz
1. Joanna Grochowska pisze:
  
  9 marca 2016 o 13:07
  
  Chodzi o całkę: $\displaystyle \int{{{{{(4-2x)}}^{2}}xdx}}$
  
  Rozpisuję wzór skróconego mnożenia oraz porządkuję wyrażenie pod całką, a same całki wyliczam z wzoru
  
  $\displaystyle \int{{{{x}^{n}}dx=\frac{1}{{n+1}}{{x}^{{n+1}}}}}+C$
  
  $\displaystyle \int{{{{{(4-2x)}}^{2}}xdx}}=\int{{(16-2\cdot 4\cdot 2x+4{{x}^{2}})\cdot xdx=}}\int{{\left( {16x-16{{x}^{2}}+4{{x}^{3}}} \right)dx=}}$
  $\displaystyle 16\int{{xdx-16\int{{{{x}^{2}}dx}}+4\int{{{{x}^{3}}}}dx=}}16\cdot \frac{1}{2}{{x}^{2}}-16\cdot \frac{1}{3}{{x}^{3}}+4\cdot \frac{1}{4}{{x}^{4}}+C=$
  $\displaystyle 8{{x}^{2}}-\frac{{16}}{3}{{x}^{3}}+{{x}^{4}}+C$
Edyta pisze:

11 lutego 2013 o 19:20

A jaki będzie wynik
a) całka xe^-x dx
b)całka 2x ln x dx

Odpowiedz
1. Szymon pisze:
  
  23 lutego 2013 o 02:29
  
  pierwsze e^-x*(-x-1) a 2 policz sobie przez czesci.
Kalina pisze:

6 lutego 2013 o 18:07

A całka z |1-x| w granicach od 0 do 2? Czy jest równa 1?

Odpowiedz
1. Krystian Karczyński pisze:
  
  13 lutego 2013 o 12:14
  
  Napisałem posta na ten temat, zapraszam:
  
  Jak poradzić sobie z wartościami bezwzględnymi w całkach (i nie tylko)
Piotr pisze:

6 lutego 2013 o 12:44

A to akurat proste podstawiasz w zależności od wartości granicy do właściwego wzoru

Odpowiedz
pati pisze:

6 lutego 2013 o 12:05

od 2 do 0

Odpowiedz
1. Krystian Karczyński pisze:
  
  6 lutego 2013 o 12:20
  
  A przypadkiem nie od -2 do 0 ?
Karol pisze:

5 lutego 2013 o 19:32

Mam pytanie: jak obliczyć całkę z x+1 i to wszystko w wartości bezwzględnej?

Odpowiedz
1. Krystian Karczyński pisze:
  
  6 lutego 2013 o 10:30
  
  Dobre pytanie, rozumiem, że chodzi tu o całkę nieoznaczoną $\int{\left| x+1 \right|dx}$ ?
  
  No więc postępować trzeba tak jak w szkole średniej: rozbić zadanie na dwa przypadki.
  
  1 przypadek – wyrażenie, z którego liczona jest wartość bezwzględna jest większe lub równe zero:
  $x+1\ge 0$ , czyli dla $x\ge -1$
  
  W tym przedziale i dla tych x-sów:
  
  $\int{\left| x+1 \right|dx}=\int{\left( x+1 \right)dx}=\int{xdx}+\int{dx}=\frac{1}{2}{{x}^{2}}+x+C$
  
  2 przypadek – wyrażenie, z którego liczona jest wartość bezwzględna jest mniejsze od zera:
  $x+1<0$ , czyli dla $x<-1$
  
  W tym przedziale i dla tych x-sów:
  
  $\int{\left| x+1 \right|dx}=\int{\left[ -\left( x+1 \right) \right]dx}=-\int{xdx}-\int{dx}=-\frac{1}{2}{{x}^{2}}-x+C$
  
  Podsumowując, wynikiem jest rodzina funkcji pierwotnych:
  
  $\int{\left| x+1 \right|dx}=\left\{ \begin{matrix} & -\frac{1}{2}{{x}^{2}}-x+C\quad dla\ x<-1 \\ & \frac{1}{2}{{x}^{2}}+x+C\quad dla\ x\ge -1 \\ \end{matrix} \right.$
2. pati pisze:
  
  6 lutego 2013 o 10:50
  
  a jak bedzie to calka oznaczona?
3. Krystian Karczyński pisze:
  
  6 lutego 2013 o 11:02
  
  A w jakich granicach?
4. Piotr pisze:
  
  6 lutego 2013 o 16:56
  
  Całość (tę na dole) można pomnożyć razy sgn(x-1).
5. Jerzy pisze:
  
  9 marca 2016 o 00:35
  
  Czy mógłby Pan wytłumaczyć, jak obliczyć całkę (1+cos(x)^2)^(0.5) długość łuku sinusoidy?

Estymacja przedziałowa i przedział ufności dla średniej (znane odchylenie w populacji sigma)

18 czerwca 2021 / Krystian Karczyński

Czytaj więcej

Granica ciągu z wzorem na liczbę e (VIDEO)

22 stycznia 2021 / Krystian Karczyński

Czytaj więcej

Kup Kurs eTrapez i zgarnij dwupak Red Bull

18 stycznia 2021 / Jan

Czytaj więcej

Najpopularniejsze Kursy

Zobacz demo