Ale W Odpowiedziach Jest Inaczej (Całki Nieoznaczone)

---

O co właściwie chodzi?

Ten wzorek wszyscy znamy:

\int{\frac{1}{x}dx}=\ln \left| x \right|+C

Tylko bardzo dociekliwi ludzie dumali by nad tym, skąd i po co komu ta wartość bezwzględna w argumencie logarytmu.

Chyba lepiej w ramach zdrowego nie dokładania sobie problemów po prostu zawsze ją przepisywać w odpowiedziach (wariant optymistyczny), albo po prostu pomijać i pisać sobie  \int{\frac{1}{x}dx}=\ln \left( x \right)+C (wariant pesymistyczny).

Spójrzmy zresztą na Wolframa:

Tak, wygląda na to, że wszystko jest O.K. i można na przykład robić tak:

\int{\frac{1}{x-1}dx}=\left| \begin{matrix}t=x-1\\dt=dx\\\end{matrix} \right|=\int{\frac{1}{t}dt}=\ln t+C=\ln \left( x-1 \right)+C

Czy rzeczywiście?

Pojawiają się problemy

Weź trochę trudniejszą całkę:

\int{\frac{1}{{{x}^{2}}-3x+2}dx}

Licząc rozkładem na ułamki proste (jak to się dokładnie robi możesz sprawdzić w moim Kursie Video) masz:

\int{\frac{1}{{{x}^{2}}-3x+2}dx}=\int{\frac{1}{\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)}dx}=\int{\frac{1}{x-2}dx}-\int{\frac{1}{x-1}dx}=\ln \left| x-2 \right|-\ln \left| x-1 \right|+C

No i w sumie pozamiatane, sprawdzasz tylko w Wolframie…

…?

I co my tu mamy?

Jakim cudem Twój wynik (prawidłowy): \ln \left| x-2 \right|-\ln \left| x-1 \right|+C ma się zgadzać w wynikiem Wolframa (prawidłowym): \ln \left( 2-x \right)-\ln \left( 1-x \right)+C?

Ano, zgadza się. Dla x-sów w określonej dziedzinie.

Skąd wartość bezwzględna we wzorze

Zacznę od podstaw, czyli skąd się wzięła ta wartość bezwzględna we wzorze:

\int{\frac{1}{x}dx}=\ln \left| x \right|+C

Jak pamiętasz, jakaś funkcja np. F(x) była “całką” innej funkcji np. f(x) wtedy, kiedy pochodna z niej dawała tą funkcję, tzn. wtedy, gdy:  {F}'\left( x \right)=f\left( x \right).

Pochodna z funkcji lnx daje faktycznie funkcję \frac{1}{x}, czyli prawdą jest (jak twierdzi Wolfram), że \int{\frac{1}{x}dx}=\ln x+C – ale tylko dla x dodatnich ! Ten wzór obowiązuje tylko dla x należących do przedziału (0,\infty), bo tylko w tym przedziale możesz w ogóle policzyć pochodną z lnx (ze względu na to, że argumentem logarytmu nie może być liczba ujemna).

A co, jeśli x będą ujemne? Ile równa będzie całka \int{\frac{1}{x}dx}? Dla x-sów ujemnych oczywiście:

\int{\frac{1}{x}dx}=\ln \left( -x \right)+C

Jeżeli x-sy są ujemne, to -x jest dodatnie (czyli logarytm istnieje) i pochodna z niego:

{{\left( \ln \left( -x \right) \right)}^{\prime }}=\frac{1}{-x}\cdot {{\left( -x \right)}^{\prime }}=\frac{1}{-x}\cdot \left( -1 \right)=\frac{1}{x}

Czyli faktycznie \int{\frac{1}{x}dx}=\ln \left( -x \right)+C – dla x ujemnych !

Masz więc:

No a teraz korzystając z prostej definicji wartości bezwzględnej masz:

\int{\frac{1}{x}dx}=\ln \left| x \right|+C

dla x-sów różnych od zera.

 Podsumowanie

Jeśli w rozwiązywanej przez Ciebie całce wyjdzie Ci w wyniku na przykład \ln \left| x-2 \right|, a w odpowiedziach będzie \ln \left( 2-x \right), to znaczy, że masz dobrze, ponieważ w pewnych przedziałach x \left| x-2 \right|=-\left( x-2 \right)=-x+2=2-x. Odpowiedź \ln \left( 2-x \right) jest zastrzeżona właśnie do tych przedziałów.

 

 

A całkowania jako takiego nauczysz się najlepiej z mojego Kursu Całek Nieoznaczonych , w którym powoli pokazuję i tłumaczę, jak liczyć całki na konkretnych przykładach.