
Podstawienia Eulera III rodzaju – Podsumowanie
Krystian
Założyciel i szef serwisu eTrapez.
Magister matematyki Politechniki Poznańskiej. Korepetytor matematyki z wieloletnim stażem. Twórca Kursów eTrapez, które zdobyły ogromną popularność wśród studentów w całej Polsce.
Mieszka koło Szczecina. Lubi spacery po lesie, plażowanie i piłkę nożną.
Podstawienia Eulera I, II, III rodzaju – Więcej Już Nie Trzeba
W poprzednich postach pokazałem jak stosować podstawienia Eulera w całkach typu:
- Podstawienia Eulera I rodzaju (gdy a>0)
- Podstawienia Eulera II rodzaju (gdy c>0)
W tym poście zajmiemy się trzecim i ostatnim rodzajem podstawień Eulera, które możemy stosować, gdy w całce:
trójmian kwadratowy , ma dwa różne pierwiastki
, czyli kiedy jego
, czyli kiedy można go zapisać w postaci iloczynowej:
.
Zanim jednak przejdziemy do rzeczy, zauważmy, że te trzy przypadki:
- I rodzaj, gdy a>0
- II rodzaj, gdy c>0
- III rodzaj gdy są dwa różne pierwiastki
pozwolą nam rozwiązać każdą całkę typu:
Właściwie nawet tylko I i III rodzaj wystarczą.
Dlaczego?
Przypadek, gdy możemy pominąć, bo trójmian kwadratowy
zmienia się po prostu w postać liniową
, którą rozwiążemy prostszymi podstawieniami, niż Eulera.
Co jednak z przypadkiem, gdy a<0 (nie pasuje do I rodzaju) i trójmian kwadratowy ma jeden lub w ogóle nie ma pierwiastków (nie pasuje do III rodzaju)?
Wtedy jego wykres wyglądał by tak (pamiętamy ze średniej – ramiona w dół):
albo, jeśli w ogóle nie miałby pierwiastków, tak:
Jaki z tego morał? Że w obu przypadkach trójmian kwadratowy przyjmował by wartości ujemne (z wyjątkiem, co najwyżej jednego punktu), a przypominam, że liczymy całkę:
Czyli, że w funkcji podcałkowej trójmian kwadratowy jest pod pierwiastkiem, a ten nie może być liczony z wartości ujemnych (bawimy się w liczby rzeczywiste, oczywiście). Czyli dziedziną takiej funkcji byłby co najwyżej jeden punkt, czyli że w ogóle bez sensu i takiego przykładu na pewno nie dostaniemy. Chyba, że Pan profesor będzie naprawdę niewyspany przy układaniu przykładów na kolokwium.
Przypadek więc, gdy a<0 i trójmian nie ma dwóch pierwiastków można pominąć i teraz wyraźnie widać, że I i III rodzaj podstawień Eulera pasuje do KAŻDEJ całki typu:
Do rzeczy zatem, bierzmy się za III rodzaj podstawień Eulera.
Podstawienia Eulera III rodzaju
Mamy całkę:
, w której ma
, czyli można go zapisać jako:
, gdzie to jego pierwiastki.
Podstawienie, jakie tu stosujemy, to:
Podstawienie to podnosimy obustronnie do kwadratu, trójmian po lewej stronie zapisujemy w postaci iloczynowej (wiemy, że można), dzielimy obie strony przez i dalej, tak jak w poprzednich rodzajach podstawień, wyznaczamy w kolejności:
Na końcu podstawiamy całość do całki wyjściowej i wychodzimy na – z reguły żmudną – całkę wymierną.
Do dzieła.
Przykład
Nasze (czyli a<0, czyli nie zastosujemy podstawień I rodzaju), nasze
(czyli c<0, czyli nie zastosujemy podstawień II rodzaju), ale za to nasza
, czyli możemy zastosować podstawienia III rodzaju.
Liczymy na początku :
Stosujemy podstawienie Eulera III rodzaju:
Podnosimy obie strony do kwadratu:
Trójmian po lewej zapisujemy w postaci iloczynowej (pamiętać o mi tutaj!!!):
Dzielimy obustronnie przez :
/:
Wyznaczamy :
Mamy wyznaczone przy pomocy zmiennej
. Teraz bierzemy się za wyznaczenie
.
Wracając się do naszego pierwszego podstawienia mamy, że:
Wstawiamy wyznaczone i mamy:
Mamy całkiem zgrabnie wyznaczone . Teraz już tylko
, które policzymy licząc pochodną z
:
Mamy więc wyznaczone:
, wszystko przy pomocy zmiennej . Wrzucamy to do całki:
Upraszczamy:
Zgodnie z przewidywaniami wychodzimy na naprawdę już mocną całkę wymierną, której obliczanie sobie odpuszczam.
Na koniec warto jeszcze zauważyć, że…
Uwaga odnośnie podstawień Eulera
Mając całkę:
, w której:
- I rodzaj, gdy a>0
- II rodzaj, gdy c>0
- III rodzaj gdy są dwa różne pierwiastki
, oczywistym jest, że często można będzie ją rozwiązywać jednym z dwóch podstawień Eulera, albo nawet dowolnym z nich (kiedy a>0, c>0 i jednocześnie ).
Żaden problem, choć ze względu na łatwość obliczeń polecał bym stosować w pierwszej kolejności I rodzaj, jak się nie da, to II, a jak się nie da, to dopiero III.
Tyle o stosowaniu podstawień Eulera, mam nadzieję, że przyda to Wam się na studiach, jak zawsze zapraszam do komentarzy pod postem.
Jedna z wielu opinii o naszych Kursach...
Nigdy nie spotkałem się z tak łopatologicznym (i skutecznym) tłumaczeniem Królowy Nauk. Nie jeden z moich towarzyszy niedoli na polibudzie chwalił te kursy (każdy, który z nich skorzystał). Nie jeden uważa, że za ects powinno się Panu Krystianowi postawić pomnik na kampusie. Kursy ogląda się z wielką przyjemnością gdyż po kilku porażkach nauki z pomocą dydaktyczną z ćwiczeń i wykładów człowiek tracił wiarę w siebie. Jednak po każdej minucie z e-trapezem odzyskuje się wiarę w siebie gdyż wszystko staje się jasne. Polecam!Szukasz korepetycji z matematyki na poziomie studiów lub szkoły średniej? A może potrzebujesz kursu, który przygotuje Cię do matury?
Jesteśmy ekipą eTrapez. Uczymy matematyki w sposób jasny, prosty i bardzo dokładny - trafimy nawet do najbardziej opornego na wiedzę.
Stworzyliśmy tłumaczone zrozumiałym językiem Kursy video do pobrania na komputer, tablet czy telefon. Włączasz nagranie, oglądasz i słuchasz, jak na korepetycjach. O dowolnej porze dnia i nocy.
Czyli w podstawieniach Eulera funkcja musi być wymierna i być związkiem pierwiastka z trójmianu kwadratowego i jakiegoś iksa w dowolnej potędze?
Dziekuje Krystian 🙂
[latex] ax^2+bx+c=\frac{1}{4a}\left(\left(2ax+b\right)^2+4ac-b^2\right)[/latex]
W przypadku gdy wyróżnik jest większy od zera możemy użyć trzeciego podstawienia
W przypadku gdy wyróżnik jest mniejszy od zera to przypadek a<0 nas nie \interesuje bo weszlibyśmy w zespolone
(trójmian przyjmuje wtedy wartości ujemne) , wobec powyższej równości można wybrać jedno z dwóch pozostałych podstawień
tak więc dwa dowolnie wybrane podstawienia
Czy jakieś zadania typu oblicz długość łuku paraboli
[latex] y=\left(x+2\right)^2+5[/latex]na przedziale [latex] \left(0;1\right)[/latex]
Oblicz pole powierzchni bryły powstałej z obrotu paraboli [latex] y=\left(x+1\right)^2+4[/latex]
dookoła osi OX na przedziale [latex] \left(-1;2\right)[/latex]
Proponuję aby na koniec każdego tematu dawać zadania do samodzielnego rozwiązania
Do tematu o podstawieniach Eulera mogą to być np takie całki
[latex] \int{\frac{\mbox{d}x}{\left(x-1\right)\sqrt{x^2+x+1}}}[/latex]
[latex] \int{\frac{\mbox{d}x}{1+\sqrt{x^2+2x+2}}}[/latex]
[latex] \int{\frac{\mbox{d}x}{\sqrt{1+e^{x}+e^{2x}}}}[/latex]
[latex] \int{\frac{x^2-1}{x\sqrt{x^4+3x^2+1}}}[/latex]
[latex] \int{\frac{\left(2x+3\right)}{\left(x^2+2x+3\right)\sqrt{x^2+2x+4}}\mbox{d}x}[/latex]
[latex] \int{\frac{\mbox{d}x}{x\sqrt{2x^2-2x+1}}}[/latex]
[latex] \int{\frac{\mbox{d}x}{x\sqrt{2x^2-2x-1}}}[/latex]
[latex] \int{\frac{\mbox{d}t}{x^3\sqrt{\left(x^2-1\right)^3}}}[/latex]
Zakładając że nie rozpatrujemy tutaj dziedziny zespolonej po sprowadzeniu trójmianu do postaci kanonicznej
będziemy mieli
[latex] \int{R(x,\sqrt{a(x+p)^2+q})\mbox{d}x} [/latex]
Jeżeli a>0 to stosujemy pierwsze podstawienie
[latex] \sqrt{a(x+p)^2+q}=t-\sqrt{a}(x+p)\\ [/latex]
Jeżeli a<0 to stosujemy drugie podstawienie
[latex] \sqrt{a(x+p)^2+q}=(x+p)t-\sqrt{q}\\ [/latex]
czyli wystarczą pierwsze dwa podstawienia
Jednak to trzecie (z pierwiastkami) też dobrze znać ponieważ czasami po podstawieniu można jakąś prostszą całkę otrzymać
Wow, no właściwie tak, każdy trójmian kwadratowy z a<0 da się sprowadzić do postaci dogodnej do podstawienia nr. 2.
Dzięki, to bardzo wartościowa wskazówka.
Po sprowadzeniu trójmianu pod pierwiastkiem do postaci kanonicznej
wystarczą nawet dwa podstawienia