blog

Podstawienia Eulera III rodzaju – Podsumowanie

Krystian

Założyciel i szef serwisu eTrapez.

Magister matematyki Politechniki Poznańskiej. Korepetytor matematyki z wieloletnim stażem. Twórca Kursów eTrapez, które zdobyły ogromną popularność wśród studentów w całej Polsce.

Mieszka koło Szczecina. Lubi spacery po lesie, plażowanie i piłkę nożną.


 

Podstawienia Eulera I, II, III rodzaju – Więcej Już Nie Trzeba

W poprzednich postach pokazałem jak stosować podstawienia Eulera w całkach typu:

int{}{}{F(x,sqrt{ax^2+bx+c})dx}

W tym poście zajmiemy się trzecim i ostatnim rodzajem podstawień Eulera, które możemy stosować, gdy w całce:

int{}{}{F(x,sqrt{ax^2+bx+c})dx}

trójmian kwadratowy ax^2+bx+c, ma dwa różne pierwiastki x_1,x_2, czyli kiedy jego triangle greater than 0, czyli kiedy można go zapisać w postaci iloczynowej: ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2).

Zanim jednak przejdziemy do rzeczy, zauważmy, że te trzy przypadki:

  • I rodzaj, gdy a>0
  • II rodzaj, gdy c>0
  • III rodzaj gdy są dwa różne pierwiastki

pozwolą nam rozwiązać każdą całkę typu:

int{}{}{F(x,sqrt{ax^2+bx+c})dx}

Właściwie nawet tylko I i III rodzaj wystarczą.

Dlaczego?

Przypadek, gdy a=0 możemy pominąć, bo trójmian kwadratowy ax^2+bx+c zmienia się po prostu w postać liniową bx+c, którą rozwiążemy prostszymi podstawieniami, niż Eulera.

Co jednak z przypadkiem, gdy a<0 (nie pasuje do I rodzaju) i trójmian kwadratowy ma jeden lub w ogóle nie ma pierwiastków (nie pasuje do III rodzaju)?

Wtedy jego wykres wyglądał by tak (pamiętamy ze średniej – ramiona w dół):

parabola

albo, jeśli w ogóle nie miałby pierwiastków, tak:

Wykres funkcji kwadratowej bez pierwiastków

Jaki z tego morał? Że w obu przypadkach trójmian kwadratowy przyjmował by wartości ujemne (z wyjątkiem, co najwyżej jednego punktu), a przypominam, że liczymy całkę:

int{}{}{F(x,sqrt{ax^2+bx+c})dx}

Czyli, że w funkcji podcałkowej trójmian kwadratowy jest pod pierwiastkiem, a ten nie może być liczony z wartości ujemnych (bawimy się w liczby rzeczywiste, oczywiście). Czyli dziedziną takiej funkcji byłby co najwyżej jeden punkt, czyli że w ogóle bez sensu i takiego przykładu na pewno nie dostaniemy. Chyba, że Pan profesor będzie naprawdę niewyspany przy układaniu przykładów na kolokwium.

Przypadek więc, gdy a<0 i trójmian ax^2+bx+c nie ma dwóch pierwiastków można pominąć i teraz wyraźnie widać, że I i III rodzaj podstawień Eulera pasuje do KAŻDEJ całki typu:

int{}{}{F(x,sqrt{ax^2+bx+c})dx}

Do rzeczy zatem, bierzmy się za III rodzaj podstawień Eulera.

 

Podstawienia Eulera III rodzaju

Mamy całkę:

int{}{}{F(x,sqrt{ax^2+bx+c})dx}

, w której ax^2+bx+c ma triangle greater than 0, czyli można go zapisać jako:

ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)

, gdzie x_1,x_2 to jego pierwiastki.

Podstawienie, jakie tu stosujemy, to:

sqrt{ax^2+bx+c}=t(x-x_1)

Podstawienie to podnosimy obustronnie do kwadratu, trójmian po lewej stronie zapisujemy w postaci iloczynowej (wiemy, że można), dzielimy obie strony przez (x-x_1) i dalej, tak jak w poprzednich rodzajach podstawień, wyznaczamy w kolejności:

x=

sqrt{ax^2+bx+c}=

dx=

Na końcu podstawiamy całość do całki wyjściowej i wychodzimy na – z reguły żmudną – całkę wymierną.

Do dzieła.

 

Przykład

int{}{}{{{x^2}dx}/sqrt{-2+3x-x^2}}

Nasze a=-1 (czyli a<0, czyli nie zastosujemy podstawień I rodzaju), nasze c=-2 (czyli c<0, czyli nie zastosujemy podstawień II rodzaju), ale za to nasza Delta=3^2-4*(-2)*(-1)=1, czyli możemy zastosować podstawienia III rodzaju.

Liczymy na początku x_1,x_2:

x_1={-3-sqrt{1}}/{2*(-1)}=2

x_2={-3+sqrt{1}}/{2*(-1)}=1

 

Stosujemy podstawienie Eulera III rodzaju:

sqrt{-2+3x-x^2}=t(x-2)

Podnosimy obie strony do kwadratu:

(sqrt{-2+3x-x^2})^2=(t(x-2))^2

-2+3x-x^2={t^2}(x-2)^2

Trójmian po lewej zapisujemy w postaci iloczynowej (pamiętać o  a  mi tutaj!!!):

-1(x-2)(x-1)={t^2}(x-2)^2

Dzielimy obustronnie przez (x-2):

-1(x-2)(x-1)={t^2}(x-2)^2   /:(x-2)

-1(x-1)={t^2}(x-2)

Wyznaczamy x:

-x+1={t^2}x-2t^2

-x-{t^2}x=-2{t^2}-1

x(-1-t^2)=-2{t^2}-1

x={-2{t^2}-1}/{-1-t^2}

Mamy  x  wyznaczone przy pomocy zmiennej t. Teraz bierzemy się za wyznaczenie sqrt{-2+3x-x^2}.

Wracając się do naszego pierwszego podstawienia mamy, że:

sqrt{-2+3x-x^2}=t(x-2)

Wstawiamy wyznaczone x={-2{t^2}-1}/{-1-t^2} i mamy:

sqrt{-2+3x-x^2}=t({-2{t^2}-1}/{-1-t^2}-2)

sqrt{-2+3x-x^2}={-2{t^3}-t}/{-1-t^2}-2t

sqrt{-2+3x-x^2}={-2{t^3}-t}/{-1-t^2}-2t{{-1-t^2}/{-1-t^2}}

sqrt{-2+3x-x^2}={-2{t^3}-t}/{-1-t^2}+{2t+2t^3}/{-1-t^2}

sqrt{-2+3x-x^2}=t/{-1-t^2}

Mamy całkiem zgrabnie wyznaczone  sqrt{-2+3x-x^2}. Teraz już tylko dx, które policzymy licząc pochodną z x:

x={-2{t^2}-1}/{-1-t^2}

dx={(-2{t^2}-1){prime}(-1-t^2)-(-2{t^2}-1)(-1-t^2){prime}}/{(-1-t^2)^2}dt

dx={(-4t)(-1-t^2)-(-2{t^2}-1)(-2t)}/{(-1-t^2)^2}dt

dx={4t+4t^3-4t^3-2t}/{(-1-t^2)^2}dt

dx={2t}/{(-1-t^2)^2}dt

Mamy więc wyznaczone:

x={-2{t^2}-1}/{-1-t^2}

sqrt{-2+3x-x^2}=t/{-1-t^2}

dx={2t}/{(-1-t^2)^2}dt

, wszystko przy pomocy zmiennej  t. Wrzucamy to do całki:

int{}{}{{{x^2}dx}/sqrt{-2+3x-x^2}}

int{}{}{{{({-2{t^2}-1}/{-1-t^2})^2}{{2t}/{(-1-t^2)^2}dt}}/{t/{-1-t^2}}}

Upraszczamy:

int{}{}{{{(-2{t^2}-1)^2/(-1-t^2)^2}{{2t}/{(-1-t^2)^2}dt}}/{t/{-1-t^2}}}

int{}{}{{{{2t(-2{t^2}-1)^2}/(-1-t^2)^4}dt}/{t/{-1-t^2}}}

int{}{}{{{{2(-2{t^2}-1)^2}/(-1-t^2)^3}dt}}

Zgodnie z przewidywaniami wychodzimy na naprawdę już mocną całkę wymierną, której obliczanie sobie odpuszczam.

 

Na koniec warto jeszcze zauważyć, że…

 

Uwaga odnośnie podstawień Eulera

Mając całkę:

int{}{}{F(x,sqrt{ax^2+bx+c})dx}

, w której:

  • I rodzaj, gdy a>0
  • II rodzaj, gdy c>0
  • III rodzaj gdy są dwa różne pierwiastki

, oczywistym jest, że często można będzie ją rozwiązywać jednym z dwóch podstawień Eulera, albo nawet dowolnym z nich (kiedy a>0, c>0 i jednocześnie triangle greater than 0).

Żaden problem, choć ze względu na łatwość obliczeń polecał bym stosować w pierwszej kolejności I rodzaj, jak się nie da, to II, a jak się nie da, to dopiero III.

 

Tyle o stosowaniu podstawień Eulera, mam nadzieję, że przyda to Wam się na studiach, jak zawsze zapraszam do komentarzy pod postem.

Jedna z wielu opinii o naszych Kursach...

Szczerze powiedziawszy nie żałuję dokonanego wyboru. Przy pomocy tych kursów nie ma zagadnień, których nie dałoby się zrozumieć, ponieważ wszystko jest świetnie tłumaczone, a potem materiał można przećwiczyć na zadaniach i kończąc dany kurs ma się pewność, że ma się wszystko opanowane na 100%. Reasumując jak najbardziej polecam kursy Etrapeza

Szukasz korepetycji z matematyki na poziomie studiów lub szkoły średniej? A może potrzebujesz kursu, który przygotuje Cię do matury?

Jesteśmy ekipą eTrapez. Uczymy matematyki w sposób jasny, prosty i bardzo dokładny - trafimy nawet do najbardziej opornego na wiedzę.

Stworzyliśmy tłumaczone zrozumiałym językiem Kursy video do pobrania na komputer, tablet czy telefon. Włączasz nagranie, oglądasz i słuchasz, jak na korepetycjach. O dowolnej porze dnia i nocy.

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *

Twój komentarz będzie dostępny publicznie na naszej stronie razem z powyższym podpisem. Adres email nie będzie dostępny publicznie. Komentarz możesz zmienić, lub usunąć w każdej chwili. Dane osobowe zawarte w komentarzu i podpisie traktujemy zgodnie z naszą polityką prywatności.

  1. Przemek pisze:

    Czyli w podstawieniach Eulera funkcja musi być wymierna i być związkiem pierwiastka z trójmianu kwadratowego i jakiegoś iksa w dowolnej potędze?

  2. pawel pisze:

    Dziekuje Krystian 🙂

  3. Mariusz pisze:

    [latex] ax^2+bx+c=\frac{1}{4a}\left(left(2ax+bright)^2+4ac-b^2right)[/latex]

    W przypadku gdy wyróżnik jest większy od zera możemy użyć trzeciego podstawienia
    W przypadku gdy wyróżnik jest mniejszy od zera to przypadek a<0 nas nie \interesuje bo weszlibyśmy w zespolone
    (trójmian przyjmuje wtedy wartości ujemne) , wobec powyższej równości można wybrać jedno z dwóch pozostałych podstawień
    tak więc dwa dowolnie wybrane podstawienia

  4. Mariusz pisze:

    Czy jakieś zadania typu oblicz długość łuku paraboli
    [latex] y=\left(x+2right)^2+5[/latex]na przedziale [latex] \left(0;1right)[/latex]
    Oblicz pole powierzchni bryły powstałej z obrotu paraboli [latex] y=\left(x+1right)^2+4[/latex]
    dookoła osi OX na przedziale [latex] \left(-1;2right)[/latex]

  5. Mariusz pisze:

    Proponuję aby na koniec każdego tematu dawać zadania do samodzielnego rozwiązania

    Do tematu o podstawieniach Eulera mogą to być np takie całki

    [latex] \int{\frac{mbox{d}x}{\left(x-1right)\sqrt{x^2+x+1}}}[/latex]
    [latex] \int{\frac{mbox{d}x}{1+\sqrt{x^2+2x+2}}}[/latex]
    [latex] \int{\frac{mbox{d}x}{\sqrt{1+e^{x}+e^{2x}}}}[/latex]
    [latex] \int{\frac{x^2-1}{x\sqrt{x^4+3x^2+1}}}[/latex]
    [latex] \int{\frac{\left(2x+3right)}{\left(x^2+2x+3right)\sqrt{x^2+2x+4}}mbox{d}x}[/latex]
    [latex] \int{\frac{mbox{d}x}{x\sqrt{2x^2-2x+1}}}[/latex]
    [latex] \int{\frac{mbox{d}x}{x\sqrt{2x^2-2x-1}}}[/latex]
    [latex] \int{\frac{mbox{d}t}{x^3\sqrt{\left(x^2-1right)^3}}}[/latex]

  6. Mariusz pisze:

    Zakładając że nie rozpatrujemy tutaj dziedziny zespolonej po sprowadzeniu trójmianu do postaci kanonicznej
    będziemy mieli
    [latex] \int{R(x,sqrt{a(x+p)^2+q})mbox{d}x} [/latex]
    Jeżeli a>0 to stosujemy pierwsze podstawienie
    [latex] \sqrt{a(x+p)^2+q}=t-\sqrt{a}(x+p)\ [/latex]
    Jeżeli a<0 to stosujemy drugie podstawienie
    [latex] \sqrt{a(x+p)^2+q}=(x+p)t-\sqrt{q}\ [/latex]
    czyli wystarczą pierwsze dwa podstawienia
    Jednak to trzecie (z pierwiastkami) też dobrze znać ponieważ czasami po podstawieniu można jakąś prostszą całkę otrzymać

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Wow, no właściwie tak, każdy trójmian kwadratowy z a<0 da się sprowadzić do postaci dogodnej do podstawienia nr. 2.

      Dzięki, to bardzo wartościowa wskazówka.

  7. Mariusz pisze:

    Po sprowadzeniu trójmianu pod pierwiastkiem do postaci kanonicznej
    wystarczą nawet dwa podstawienia