fbpx
blog

Podstawienia Eulera III rodzaju – Podsumowanie

Krystian Karczyński

Założyciel i szef serwisu eTrapez.

Magister matematyki Politechniki Poznańskiej. Korepetytor matematyki z wieloletnim stażem. Twórca pierwszych Kursów eTrapez, które zdobyły ogromną popularność wśród studentów w całej Polsce.

Mieszka w Szczecinie. Lubi spacery po lesie, plażowanie i kajaki.


Podstawienia Eulera I, II, III rodzaju – Więcej Już Nie Trzeba

W poprzednich postach pokazałem jak stosować podstawienia Eulera w całkach typu:

W tym poście zajmiemy się trzecim i ostatnim rodzajem podstawień Eulera, które możemy stosować, gdy w całce:

trójmian kwadratowy , ma dwa różne pierwiastki , czyli kiedy jego triangle greater than 0, czyli kiedy można go zapisać w postaci iloczynowej: .

Zanim jednak przejdziemy do rzeczy, zauważmy, że te trzy przypadki:

  • I rodzaj, gdy a>0
  • II rodzaj, gdy c>0
  • III rodzaj gdy są dwa różne pierwiastki

pozwolą nam rozwiązać każdą całkę typu:

Właściwie nawet tylko I i III rodzaj wystarczą.

Dlaczego?

Przypadek, gdy możemy pominąć, bo trójmian kwadratowy zmienia się po prostu w postać liniową , którą rozwiążemy prostszymi podstawieniami, niż Eulera.

Co jednak z przypadkiem, gdy a<0 (nie pasuje do I rodzaju) i trójmian kwadratowy ma jeden lub w ogóle nie ma pierwiastków (nie pasuje do III rodzaju)?

Wtedy jego wykres wyglądał by tak (pamiętamy ze średniej – ramiona w dół):

parabola

albo, jeśli w ogóle nie miałby pierwiastków, tak:

Wykres funkcji kwadratowej bez pierwiastków

Jaki z tego morał? Że w obu przypadkach trójmian kwadratowy przyjmował by wartości ujemne (z wyjątkiem, co najwyżej jednego punktu), a przypominam, że liczymy całkę:

Czyli, że w funkcji podcałkowej trójmian kwadratowy jest pod pierwiastkiem, a ten nie może być liczony z wartości ujemnych (bawimy się w liczby rzeczywiste, oczywiście). Czyli dziedziną takiej funkcji byłby co najwyżej jeden punkt, czyli że w ogóle bez sensu i takiego przykładu na pewno nie dostaniemy. Chyba, że Pan profesor będzie naprawdę niewyspany przy układaniu przykładów na kolokwium.

Przypadek więc, gdy a<0 i trójmian nie ma dwóch pierwiastków można pominąć i teraz wyraźnie widać, że I i III rodzaj podstawień Eulera pasuje do KAŻDEJ całki typu:

Do rzeczy zatem, bierzmy się za III rodzaj podstawień Eulera.

Podstawienia Eulera III rodzaju

Mamy całkę:

,

w której ma triangle greater than 0, czyli można go zapisać jako:

,

gdzie to jego pierwiastki.

Podstawienie, jakie tu stosujemy, to:

Podstawienie to podnosimy obustronnie do kwadratu, trójmian po lewej stronie zapisujemy w postaci iloczynowej (wiemy, że można), dzielimy obie strony przez i dalej, tak jak w poprzednich rodzajach podstawień, wyznaczamy w kolejności:

Na końcu podstawiamy całość do całki wyjściowej i wychodzimy na – z reguły żmudną – całkę wymierną.

Do dzieła.

Przykład

Nasze (czyli a<0, czyli nie zastosujemy podstawień I rodzaju), nasze (czyli c<0, czyli nie zastosujemy podstawień II rodzaju), ale za to nasza , czyli możemy zastosować podstawienia III rodzaju.

Liczymy na początku :

Stosujemy podstawienie Eulera III rodzaju:

Podnosimy obie strony do kwadratu:

Trójmian po lewej zapisujemy w postaci iloczynowej (pamiętać o   mi tutaj!!!):

Dzielimy obustronnie przez :

Wyznaczamy :

Mamy   wyznaczone przy pomocy zmiennej . Teraz bierzemy się za wyznaczenie .

Wracając się do naszego pierwszego podstawienia mamy, że:

Wstawiamy wyznaczone i mamy:

Mamy całkiem zgrabnie wyznaczone  . Teraz już tylko , które policzymy licząc pochodną z :

Mamy więc wyznaczone:

, wszystko przy pomocy zmiennej  . Wrzucamy to do całki:

Upraszczamy:

Zgodnie z przewidywaniami wychodzimy na naprawdę już mocną całkę wymierną, której obliczanie sobie odpuszczam.

Na koniec warto jeszcze zauważyć, że…

Uwaga odnośnie podstawień Eulera

Mając całkę:

  ,

w której:

  • I rodzaj, gdy a>0
  • II rodzaj, gdy c>0
  • III rodzaj gdy są dwa różne pierwiastki

oczywistym jest, że często można będzie ją rozwiązywać jednym z dwóch podstawień Eulera, albo nawet dowolnym z nich (kiedy a>0, c>0 i jednocześnie triangle greater than 0).

Żaden problem, choć ze względu na łatwość obliczeń polecał bym stosować w pierwszej kolejności I rodzaj, jak się nie da, to II, a jak się nie da, to dopiero III.

Tyle o stosowaniu podstawień Eulera, mam nadzieję, że przyda to Wam się na studiach, jak zawsze zapraszam do komentarzy pod postem.

Bestsellery

Kurs Mechanika - Statyka

Studia / Autor: mgr inż. Adam Kasprzak

39,00 

Kurs Statystyka

Studia / Autor: mgr Krystian Karczyński

39,00 

Kurs Równania Różniczkowe

Studia / Autor: mgr Krystian Karczyński

39,00 

Kurs Ekonometria

Studia / Autor: mgr Joanna Grochowska

39,00 

Zobacz wszystkie Kursy eTrapez

Szukasz korepetycji z matematyki na poziomie studiów lub szkoły średniej? A może potrzebujesz kursu, który przygotuje Cię do matury?

Jesteśmy ekipą eTrapez. Uczymy matematyki w sposób jasny, prosty i bardzo dokładny - trafimy nawet do najbardziej opornego na wiedzę.

Stworzyliśmy tłumaczone zrozumiałym językiem Kursy video do pobrania na komputer, tablet czy telefon. Włączasz nagranie, oglądasz i słuchasz, jak na korepetycjach. O dowolnej porze dnia i nocy.

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *

Twój komentarz będzie dostępny publicznie na naszej stronie razem z powyższym podpisem. Komentarz możesz zmienić, lub usunąć w każdej chwili. Administratorem danych osobowych podanych w tym formularzu jest eTrapez Usługi Edukacyjne E-Learning Krystian Karczyński. Zasady przetwarzania danych oraz Twoje uprawnienia z tym związane opisane są w Polityce Prywatności.


  1. Przemek pisze:

    Czyli w podstawieniach Eulera funkcja musi być wymierna i być związkiem pierwiastka z trójmianu kwadratowego i jakiegoś iksa w dowolnej potędze?

  2. pawel pisze:

    Dziekuje Krystian 🙂

  3. Mariusz pisze:

    ax^2+bx+c=\frac{1}{4a}\left(left(2ax+bright)^2+4ac-b^2right)

    W przypadku gdy wyróżnik jest większy od zera możemy użyć trzeciego podstawienia
    W przypadku gdy wyróżnik jest mniejszy od zera to przypadek a<0 nas nie \interesuje bo weszlibyśmy w zespolone
    (trójmian przyjmuje wtedy wartości ujemne) , wobec powyższej równości można wybrać jedno z dwóch pozostałych podstawień
    tak więc dwa dowolnie wybrane podstawienia

  4. Mariusz pisze:

    Czy jakieś zadania typu oblicz długość łuku paraboli
    y=\left(x+2right)^2+5na przedziale \left(0;1right)
    Oblicz pole powierzchni bryły powstałej z obrotu paraboli y=\left(x+1right)^2+4
    dookoła osi OX na przedziale \left(-1;2right)

  5. Mariusz pisze:

    Proponuję aby na koniec każdego tematu dawać zadania do samodzielnego rozwiązania

    Do tematu o podstawieniach Eulera mogą to być np takie całki

    \int{\frac{mbox{d}x}{\left(x-1right)\sqrt{x^2+x+1}}}
    \int{\frac{mbox{d}x}{1+\sqrt{x^2+2x+2}}}
    \int{\frac{mbox{d}x}{\sqrt{1+e^{x}+e^{2x}}}}
    \int{\frac{x^2-1}{x\sqrt{x^4+3x^2+1}}}
    \int{\frac{\left(2x+3right)}{\left(x^2+2x+3right)\sqrt{x^2+2x+4}}mbox{d}x}
    \int{\frac{mbox{d}x}{x\sqrt{2x^2-2x+1}}}
    \int{\frac{mbox{d}x}{x\sqrt{2x^2-2x-1}}}
    \int{\frac{mbox{d}t}{x^3\sqrt{\left(x^2-1right)^3}}}

  6. Mariusz pisze:

    Zakładając że nie rozpatrujemy tutaj dziedziny zespolonej po sprowadzeniu trójmianu do postaci kanonicznej
    będziemy mieli
    \int{R(x,sqrt{a(x+p)^2+q})mbox{d}x}
    Jeżeli a>0 to stosujemy pierwsze podstawienie
    \sqrt{a(x+p)^2+q}=t-\sqrt{a}(x+p)\
    Jeżeli a<0 to stosujemy drugie podstawienie
    \sqrt{a(x+p)^2+q}=(x+p)t-\sqrt{q}\
    czyli wystarczą pierwsze dwa podstawienia
    Jednak to trzecie (z pierwiastkami) też dobrze znać ponieważ czasami po podstawieniu można jakąś prostszą całkę otrzymać

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Wow, no właściwie tak, każdy trójmian kwadratowy z a<0 da się sprowadzić do postaci dogodnej do podstawienia nr. 2.

      Dzięki, to bardzo wartościowa wskazówka.

  7. Mariusz pisze:

    Po sprowadzeniu trójmianu pod pierwiastkiem do postaci kanonicznej
    wystarczą nawet dwa podstawienia