Krystian Karczyński pisze:

Z tą najlepiej przez podstawienie:

\int {{{\left( {2x – 3} \right)}^7}dx} = \left| \begin{array}{l}
t = 2x – 3\\
dt = 2dx\\
dx = \frac{{dt}}{2}
\end{array} \right| = \int {{t^7}\frac{{dt}}{2}} = \frac{1}{2}\int {{t^7}dt} = \frac{1}{2}\frac{1}{{7 + 1}}{t^{7 + 1}} + C =

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8}{t^8} + C = \frac{1}{{16}}{t^8} + C = \frac{1}{{16}}{\left( {2x – 3} \right)^8} + C

Krystian Karczyński pisze:

Da się wpisać w kalkulator, tyle, że w inny, do równań różniczkowych:

https://blog.etrapez.pl/narzedzia/kalkulatory/kalkulator-do-rownan-rozniczkowych/

A obliczyć można stosując metodę “uzmienniania stałej”, pokazałem ją w swoim Kursie dokładniej:

Rozwiązuję odpowiadające temu równaniu równanie jednorodne:

W otrzymanym rozwiązaniu równania jednorodnego “uzmienniamy stałą”, a następnie liczymy pochodną:

Otrzymane wyniki wstawiamy do równania na początku:

Całeczkę rozwiązuję najpierw przez podstawienie, potem przez części:

Mam więc, że:

Wstawiam ten wynik do rozwiązania z uzmiennioną stałą:

Co jest rozwiązaniem tego równania różniczkowego.

Krystian Karczyński pisze:

Witam,

Mamy ten komfort, że obędzie się bez wykresu. Granice całkowania są z góry dane, x od 0 do 9, czyli mamy:

\int\limits_{0}^{9}{\frac{1}{\sqrt[3]{x-1}}dx}[/latex]

Całka jest podstępna, bo udaje “zwykłą” oznaczoną, a tak naprawdę jest niewłaściwa. x=1nie należy do dziedziny. Całkę rozbijamy więc na dwie:

\int\limits_{0}^{9}{\frac{1}{\sqrt[3]{x-1}}dx}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{1}{\sqrt[3]{x-1}}dx}+\int\limits_{1}^{9}{\frac{1}{\sqrt[3]{x-1}}dx}[/latex]

Liczę osobno pierwszą całkę:

\int\limits_{0}^{1}{\frac{1}{\sqrt[3]{x-1}}dx}=\underset{\varepsilon \to {{1}^{-}}}{\mathop{lim }}\int\limits_{0}^{\varepsilon }{\frac{1}{\sqrt[3]{x-1}}dx}=\ldots [/latex]

\int{\frac{1}{\sqrt[3]{x-1}}dx}=\left| \begin{matrix}
& t=x-1 \\
& dt=dx \end{matrix} \right|=\int{\frac{1}{\sqrt[3]{t}}dt}=\int{{{t}^{-\tfrac{1}{3}}}dt}=\frac{1}{\tfrac{2}{3}}{{t}^{\tfrac{2}{3}}}+C=\frac{3}{2}\sqrt[3]{{{t}^{2}}}+C=\frac{3}{2}\sqrt[3]{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}+C[/latex]

\underset{\varepsilon \to {{1}^{-}}}{\mathop{lim }} [ \frac{3}{2}\sqrt[3]{{{\left( x-1 \right)}^{2}}} ] |_{0}^{\varepsilon }=\underset{\varepsilon \to {{1}^{-}}}{\mathop{lim }}\left( [ \frac{3}{2}\sqrt[3]{{{\left( \varepsilon -1 \right)}^{2}}} ]-[ \frac{3}{2}\sqrt[3]{{{\left( 0-1 \right)}^{2}}} ] \right)=\frac{3}{2}\cdot 0-\frac{3}{2}\cdot 1=-\frac{3}{2}[/latex]

Potem liczę osobno drugą całkę:

\int\limits_{1}^{9}{\frac{1}{\sqrt[3]{x-1}}dx}=\underset{\varepsilon \to {{1}^{+}}}{\mathop{lim }}\int\limits_{\varepsilon }^{9}{\frac{1}{\sqrt[3]{x-1}}dx}=\ldots [/latex]

\underset{\varepsilon \to {{1}^{+}}}{\mathop{lim }} \left[ \frac{3}{2}\sqrt[3]{{{\left( x-1 \right)}^{2}}} \right] |_{\varepsilon }^{9}=\underset{\varepsilon \to {{1}^{+}}}{\mathop{lim }} \left( \left[ \frac{3}{2}\sqrt[3]{{{\left( 9-1 \right)}^{2}}} \right]-\left[ \frac{3}{2}\sqrt[3]{{{\left( \varepsilon -1 \right)}^{2}}} \right] \right)=\frac{3}{2}\cdot 4-\frac{3}{2}\cdot 0=6[/latex]

Wracam się do “głównej” całki i mam:

\int\limits_{0}^{9}{\frac{1}{\sqrt[3]{x-1}}dx}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{1}{\sqrt[3]{x-1}}dx}+\int\limits_{1}^{9}{\frac{1}{\sqrt[3]{x-1}}dx}=-\frac{3}{2}+6=4\tfrac{1}{2}[/latex]

Krystian Karczyński pisze:

\int{\frac{3}{{{x}^{4}}}dx}=3\int{\frac{1}{{{x}^{4}}}dx}=3\int{{{x}^{-4}}dx}=3\frac{1}{-4+1}{{x}^{-4+1}}+C=3\cdot \frac{1}{-3}{{x}^{-3}}+C=

=-\frac{1}{{{x}^{3}}}+C

Krystian Karczyński pisze:

Coś nie tak z tą całką nie halo, dx nie powinno być w mianowniku…