blog

Kalkulator Do Całek Nieoznaczonych (Sprawdź, Czy Dobrze Liczysz)

Krystian

Założyciel i szef serwisu eTrapez.

Magister matematyki Politechniki Poznańskiej. Korepetytor matematyki z wieloletnim stażem. Twórca Kursów eTrapez, które zdobyły ogromną popularność wśród studentów w całej Polsce.

Mieszka koło Szczecina. Lubi spacery po lesie, plażowanie i piłkę nożną.


Przedstawiam Wolframow’y kalkulator do całek nieoznaczonych, przerobiony troszkę przeze mnie:

Sprawa jest prosta: w kalkulator wpisujemy formułę (zgodnie z Zasadami) – bez dx, klikamy na 'Oblicz' i mamy policzoną całkę.

Na przykład, żeby policzyć \int{\frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}+1}}dxwpisujemy w kalkulator: x^2/(x^2+1).

Tyle, mam nadzieję, że kalkulator się Tobie przyda. W razie kłopotów z jego korzystaniem, daj znać w komentarzach pod postem.

Jedna z wielu opinii o naszych Kursach...

Zakupiłem cały pakiet kursów mimo, że już dobijam do wieku emerytalnego i jestem po studiach technicznych. Nie znaczy to jednak , że zainteresowanie matematyką osłabło. Wręcz przeciwnie! Jestem w trakcie ich „konsumowania”. Mogę stwierdzić jedno – to co robicie jest fantastyczne. Pomoc dla wszystkich, czy to uczniów szkół ponadpodstawowych czy też dla studentów. To nie są pieniądze wyrzucone w błoto!

Aleksander M.

Szukasz korepetycji z matematyki na poziomie studiów lub szkoły średniej? A może potrzebujesz kursu, który przygotuje Cię do matury?

Jesteśmy ekipą eTrapez. Uczymy matematyki w sposób jasny, prosty i bardzo dokładny - trafimy nawet do najbardziej opornego na wiedzę.

Stworzyliśmy tłumaczone zrozumiałym językiem Kursy video do pobrania na komputer, tablet czy telefon. Włączasz nagranie, oglądasz i słuchasz, jak na korepetycjach. O dowolnej porze dnia i nocy.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *

Twój komentarz będzie dostępny publicznie na naszej stronie razem z powyższym podpisem. Adres email nie będzie dostępny publicznie. Komentarz możesz zmienić, lub usunąć w każdej chwili. Dane osobowe zawarte w komentarzu i podpisie traktujemy zgodnie z naszą polityką prywatności.

  1. Nick pisze:

    Próbuję obliczyć całkę (arcsinx)^2, proszę o pomoc

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Pójdzie tak:

      integral open parentheses a r c sin x close parentheses squared d x equals open vertical bar table row cell u open parentheses x close parentheses equals open parentheses a r c sin x close parentheses squared end cell cell v apostrophe open parentheses x close parentheses equals 1 end cell row cell u apostrophe open parentheses x close parentheses equals fraction numerator 2 a r c sin x over denominator square root of 1 minus x squared end root end fraction end cell cell v open parentheses x close parentheses equals x end cell end table close vertical bar equals
equals x open parentheses a r c sin x close parentheses squared minus 2 integral fraction numerator x a r c sin x over denominator square root of 1 minus x squared end root end fraction d x equals open vertical bar table row cell t equals a r c i n x rightwards double arrow sin t equals x end cell row cell d t equals fraction numerator 1 over denominator square root of 1 minus x squared end root end fraction d x end cell end table close vertical bar equals
equals x open parentheses a r c sin x close parentheses squared minus 2 integral t sin t d t equals open vertical bar table row cell u open parentheses t close parentheses equals t end cell cell v apostrophe open parentheses t close parentheses equals sin t end cell row cell u apostrophe open parentheses t close parentheses equals 1 end cell cell v open parentheses t close parentheses equals negative cos t end cell end table close vertical bar equals
equals x open parentheses a r c sin x close parentheses squared minus 2 open parentheses negative t cos t plus integral cos t d t close parentheses equals x open parentheses a r c sin x close parentheses squared plus 2 t cos t minus 2 sin t plus C equals
equals x open parentheses a r c sin x close parentheses squared plus 2 a r c s i n x times cos open parentheses a r c i n x close parentheses minus 2 sin open parentheses a r c i n x close parentheses plus C equals
equals x open parentheses a r c sin x close parentheses squared plus 2 a r c s i n x times cos open parentheses a r c i n x close parentheses minus 2 x plus C equals

  2. Patrycja pisze:

    Czy umie ktoś policzyć tę całkę

    Proszę o pomoc

  3. Angelika pisze:

    Jak obliczyć całkę? (x+9)/(x^3+2x^2+3x)

     

    Proszę o pomoc.

     

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Dokładną metodę liczenia całek wymiernych pokazałem tutaj:

      https://akademia.etrapez.pl/wybor-kursu/calki-nieoznaczone/lekcja-5-calki-wymierne/

      Zastosujmy ją do tego konkretnego przykładu:

      integral fraction numerator x plus 9 over denominator x cubed plus 2 x squared plus 3 x end fraction d x

      W mianowniku mamy wyższy stopień wielomianu niż w liczniku. Mianownik można rozłożyć na czynniki, bo jest stopnia nieparzystego (3). Zgodnie więc z rozpiską:

      integral fraction numerator x plus 9 over denominator x cubed plus 2 x squared plus 3 x end fraction d x equals \integral fraction numerator x plus 9 over denominator x open parentheses x squared plus 2 x plus 3 close parentheses end fraction d x

      Dalej nie da się rozłożyć, bo delta trójmianu kwadratowego jest ujemna:

      integral fraction numerator x plus 9 over denominator x open parentheses x squared plus 2 x plus 3 close parentheses end fraction d x equals
increment equals 2 squared minus 4 times 1 times 3 equals 4 minus 12 equals negative 8

      Ułamek rozkładamy na ułamki proste:

      fraction numerator x plus 9 over denominator x open parentheses x squared plus 2 x plus 3 close parentheses end fraction equals A over x plus fraction numerator B x plus C over denominator x squared plus 2 x plus 3 end fraction space space divided by times x open parentheses x squared plus 2 x plus 3 close parentheses
x plus 9 identical to A open parentheses x squared plus 2 x plus 3 close parentheses plus open parentheses B x plus C close parentheses x
x plus 9 identical to A x squared plus 2 A x plus 3 A plus B x squared plus C x
open curly brackets table row cell 0 equals A plus B end cell row cell 1 equals 2 A plus C end cell row cell 9 equals 3 A end cell end table close
9 equals 3 A
A equals 3
open curly brackets table attributes columnalign \left end attributes row cell 0 equals 3 plus B end cell row cell 1 equals 2 times 3 plus C end cell end table close
open curly brackets table attributes columnalign \left end attributes row cell B equals negative 3 end cell row cell C equals negative 5 end cell end table close
fraction numerator x plus 9 over denominator x open parentheses x squared plus 2 x plus 3 close parentheses end fraction equals 3 over x plus fraction numerator negative 3 x minus 5 over denominator x squared plus 2 x plus 3 end fraction

      Czyli:

      integral fraction numerator x plus 9 over denominator x open parentheses x squared plus 2 x plus 3 close parentheses end fraction d x equals \integral 3 over x d x plus \integral fraction numerator negative 3 x minus 5 over denominator x squared plus 2 x plus 3 end fraction d x

      Cdn. 🙂

    2. Krystian Karczyński pisze:

      cd.

      stack stack \integral 3 over x d x with underbrace below with I subscript 1 below plus stack stack \integral fraction numerator negative 3 x minus 5 over denominator x squared plus 2 x plus 3 end fraction d x with underbrace below with I subscript 2 below
I subscript 1 equals \integral fraction numerator begin display style 3 end style over denominator begin display style x end style end fraction d x equals 3 \integral fraction numerator begin display style 1 end style over denominator begin display style x end style end fraction d x equals 3 ln open vertical bar x close vertical bar plus C
I subscript 2 equals \integral fraction numerator begin display style negative 3 x minus 5 end style over denominator begin display style x squared plus 2 x plus 3 end style end fraction d x equals \integral fraction numerator begin display style negative 3 x minus 5 end style over denominator begin display style x squared plus 2 x plus 3 end style end fraction d x equals \integral fraction numerator begin display style negative 3 x minus 5 end style over denominator begin display style 1 open square brackets open parentheses x plus begin inline style fraction numerator 2 over denominator 2 times 1 end fraction end style close parentheses squared minus begin inline style fraction numerator negative 8 over denominator 4 times 1 end fraction end style close square brackets end style end fraction d x equals
increment equals 2 squared minus 4 times 1 times 3 equals 4 minus 12 equals negative 8
equals \integral fraction numerator begin display style negative 3 x minus 5 end style over denominator begin display style open parentheses x plus begin inline style 1 end style close parentheses squared plus 2 end style end fraction d x equals \integral fraction numerator begin display style negative 3 x end style over denominator begin display style open parentheses x plus begin inline style 1 end style close parentheses squared plus 2 end style end fraction d x plus \integral fraction numerator begin display style negative 5 end style over denominator begin display style open parentheses x plus begin inline style 1 end style close parentheses squared plus 2 end style end fraction d x equals
equals negative 3 \integral fraction numerator begin display style x end style over denominator begin display style open parentheses x plus begin inline style 1 end style close parentheses squared plus 2 end style end fraction d x minus 5 \integral fraction numerator begin display style 1 end style over denominator begin display style open parentheses x plus begin inline style 1 end style close parentheses squared plus 2 end style end fraction d x equals open vertical bar table row cell t equals x plus 1 rightwards double arrow x equals t minus 1 end cell row cell d t equals d x end cell end table close vertical bar equals
equals negative 3 \integral fraction numerator begin display style t minus 1 end style over denominator begin display style t squared plus 2 end style end fraction d t minus 5 \integral fraction numerator begin display style 1 end style over denominator begin display style t squared plus 2 end style end fraction d t equals negative 3 \integral fraction numerator begin display style t end style over denominator begin display style t squared plus 2 end style end fraction d t plus 3 \integral fraction numerator begin display style 1 end style over denominator begin display style t squared plus 2 end style end fraction d t minus 5 \integral fraction numerator begin display style 1 end style over denominator begin display style t squared plus 2 end style end fraction d t equals
equals negative 3 \integral fraction numerator begin display style t end style over denominator begin display style t squared plus 2 end style end fraction d t minus 2 \integral fraction numerator begin display style 1 end style over denominator begin display style t squared plus 2 end style end fraction d t equals open vertical bar table row cell u equals t squared plus 2 end cell row cell d u equals 2 t d t end cell row cell t d t equals begin inline style 1 half end style d u end cell end table close vertical bar equals negative 3 \integral fraction numerator 1 half begin display style d end style begin display style u end style over denominator u end fraction minus 2 times fraction numerator 1 over denominator square root of 2 end fraction a r c t g fraction numerator t over denominator square root of 2 end fraction plus C equals
equals negative 3 over 2 ln open vertical bar u close vertical bar minus fraction numerator 2 over denominator square root of 2 end fraction a r c t g fraction numerator x plus 1 over denominator square root of 2 end fraction plus C equals negative fraction numerator begin display style 3 end style over denominator begin display style 2 end style end fraction ln open vertical bar t squared plus 2 close vertical bar minus fraction numerator begin display style 2 end style over denominator begin display style square root of 2 end style end fraction a r c t g fraction numerator begin display style x plus 1 end style over denominator begin display style square root of 2 end style end fraction plus C equals
equals negative fraction numerator begin display style 3 end style over denominator begin display style 2 end style end fraction ln open vertical bar open parentheses x plus 1 close parentheses squared plus 2 close vertical bar minus fraction numerator begin display style 2 end style over denominator begin display style square root of 2 end style end fraction a r c t g fraction numerator begin display style x plus 1 end style over denominator begin display style square root of 2 end style end fraction plus C
stack stack \integral fraction numerator begin display style 3 end style over denominator begin display style x end style end fraction d x with underbrace below with I subscript 1 below plus stack stack \integral fraction numerator begin display style negative 3 x minus 5 end style over denominator begin display style x squared plus 2 x plus 3 end style end fraction d x with underbrace below with I subscript 2 below equals 3 ln open vertical bar x close vertical bar minus fraction numerator begin display style 3 end style over denominator begin display style 2 end style end fraction ln open vertical bar open parentheses x plus 1 close parentheses squared plus 2 close vertical bar minus fraction numerator begin display style 2 end style over denominator begin display style square root of 2 end style end fraction a r c t g fraction numerator begin display style x plus 1 end style over denominator begin display style square root of 2 end style end fraction plus C

  4. Mariusz pisze:

    Dzień dobry.

    Czy mógłby ktoś policzyć taką całkę:

     

    Z góry dziękuję.

    Pozdrawiam Mariusz

  5. Aga pisze:

    Dzień Dobry

    Czy ktoś zna rozwiązanie poniższej całki nieoznaczonej

    sinx/(1+3x)

  6. Natalia7 pisze:

    Dzień dobry. Czy mógłby ktoś pomóc mi z tą całką? Mam ją całkować przez części, ale nie wychodzi mi i nie wiem jak obliczyć:
    Całka x^2e^x sinxdx

  7. Noga matematyczna pisze:

    Witam nie mogę dać sobie rady z całka
    (Cos2x/√x^7)dx
    Proszę o pomoc
    Pozdrawiam

  8. matematyk pisze:

    ((s^2)+6,5*(10^4)*s+0,5*(10^8)-0,5*(10^4)*s)((s^5)+6,5*(10^4)+(s^4)+0,5*(10^8)*(s^3))

     

    czemu nie mogę tego policzyć???

  9. Paweł pisze:

    Dzień dobry , pomógł by ktoś z taką całeczką, z góry dziękujeintegral subscript blank fraction numerator x over denominator square root of 2 minus 6 x minus 9 x squared right parenthesis end root end fraction d x

    1. Dzień dobry

      Jedziemy zgodnie ze schematem pokazanym w tej Lekcji.

      integral fraction numerator x over denominator square root of 2 minus 6 x minus 9 x squared end root end fraction d x

      Liczymy pochodną tego pod pierwiastkiem w mianowniku:

      M apostrophe equals open parentheses 2 minus 6 x minus 9 x squared close parentheses apostrophe equals negative 6 minus 18 x

      Doprowadzamy część składników licznika do tej pochodnej:

      integral fraction numerator x over denominator square root of 2 minus 6 x minus 9 x squared end root end fraction d x equals \integral fraction numerator open parentheses negative begin display style 1 over 18 end style close parentheses times open parentheses negative 18 close parentheses x over denominator square root of 2 minus 6 x minus 9 x squared end root end fraction d x equals negative 1 over 18 \integral fraction numerator negative 18 x over denominator square root of 2 minus 6 x minus 9 x squared end root end fraction d x equals
equals negative 1 over 18 \integral fraction numerator negative 6 minus 18 x plus 6 over denominator square root of 2 minus 6 x minus 9 x squared end root end fraction d x equals horizontal ellipsis

      Rozbijamy całkę na dwie:

      horizontal ellipsis equals negative 1 over 18 \integral fraction numerator negative 6 minus 18 x plus 6 over denominator square root of 2 minus 6 x minus 9 x squared end root end fraction d x equals negative 1 over 18 open parentheses stack stack \integral fraction numerator negative 6 minus 18 x over denominator square root of 2 minus 6 x minus 9 x squared end root end fraction d x with underbrace below with I subscript 1 below plus stack stack \integral fraction numerator 6 over denominator square root of 2 minus 6 x minus 9 x squared end root end fraction d x with underbrace below with I subscript 2 below close parentheses equals midline horizontal ellipsis

      Obie te całki liczymy osobno:

      I subscript 1 equals \integral fraction numerator negative 6 minus 18 x over denominator square root of 2 minus 6 x minus 9 x squared end root end fraction d x equals open vertical bar table row cell t equals 2 minus 6 x minus 9 x squared end cell row cell d t equals open parentheses negative 6 minus 18 x close parentheses d x end cell end table close vertical bar equals \integral fraction numerator 1 over denominator square root of t end fraction d t equals \integral t to the power of negative 1 half end exponent d t equals
equals fraction numerator 1 over denominator negative begin display style 1 half end style plus 1 end fraction t to the power of negative 1 half plus 1 end exponent plus C equals fraction numerator 1 over denominator begin display style 1 half end style end fraction t to the power of 1 half end exponent plus C equals 2 square root of t plus C equals 2 square root of 2 minus 6 x minus 9 x squared end root plus C

      I subscript 2 equals \integral fraction numerator 6 over denominator square root of 2 minus 6 x minus 9 x squared end root end fraction d x

      Sprowadzamy dwumian w mianowniku do postaci a x squared plus b x plus c equals a open square brackets open parentheses x plus fraction numerator b over denominator 2 a end fraction close parentheses squared minus fraction numerator triangle over denominator 4 a squared end fraction close square brackets.

      triangle equals open parentheses negative 6 close parentheses squared minus 4 times open parentheses negative 9 close parentheses times 2 equals 36 plus 72 equals 108

      I subscript 2 equals \integral fraction numerator 6 over denominator square root of 2 minus 6 x minus 9 x squared end root end fraction d x equals \integral fraction numerator 6 over denominator square root of negative 9 open square brackets open parentheses x plus begin display style fraction numerator negative 6 over denominator 2 times open parentheses negative 9 close parentheses end fraction end style close parentheses squared minus begin display style fraction numerator 108 over denominator 4 times open parentheses negative 9 close parentheses squared end fraction end style close square brackets end root end fraction d x equals
equals \integral fraction numerator 6 over denominator square root of negative 9 open square brackets open parentheses x plus begin display style 1 third end style close parentheses squared minus begin display style 1 third end style close square brackets end root end fraction d x equals \integral fraction numerator 6 over denominator square root of negative 9 open parentheses x plus 1 third close parentheses squared plus 3 end root end fraction d x equals open vertical bar table row cell t equals x plus 1 third end cell row cell d t equals d x end cell end table close vertical bar equals
equals \integral fraction numerator 6 over denominator square root of negative 9 t squared plus 3 end root end fraction d t equals \integral fraction numerator 6 over denominator square root of 3 minus 9 t squared end root end fraction d t equals \integral fraction numerator 6 over denominator square root of 9 open parentheses begin display style 3 over 9 end style minus t squared close parentheses end root end fraction d t equals \integral fraction numerator 6 over denominator square root of 9 square root of 1 third minus t squared end root end fraction d t equals
equals \integral fraction numerator 6 over denominator 3 square root of open parentheses fraction numerator 1 over denominator square root of 3 end fraction close parentheses squared minus t squared end root end fraction d t equals 2 \integral fraction numerator 1 over denominator square root of open parentheses fraction numerator 1 over denominator square root of 3 end fraction close parentheses squared minus t squared end root end fraction d t equals 2 a r c sin fraction numerator t over denominator fraction numerator 1 over denominator square root of 3 end fraction end fraction plus C equals
equals 2 a r c sin fraction numerator square root of 3 t over denominator 2 end fraction plus C equals 2 a r c sin open square brackets square root of 3 open parentheses x plus 1 third close parentheses close square brackets plus C

      Podstawiamy I subscript 1 comma I subscript 2 tam, gdzie urwaliśmy, i mamy wynik:

      horizontal ellipsis equals negative 1 over 18 open parentheses stack stack \integral fraction numerator negative 6 minus 18 x over denominator square root of 2 minus 6 x minus 9 x squared end root end fraction d x with underbrace below with I subscript 1 below plus stack stack \integral fraction numerator 6 over denominator square root of 2 minus 6 x minus 9 x squared end root end fraction d x with underbrace below with I subscript 2 below close parentheses equals
equals negative 1 over 18 open parentheses 2 square root of 2 minus 6 x minus 9 x squared end root plus 2 a r c sin open square brackets square root of 3 open parentheses x plus 1 third close parentheses close square brackets close parentheses plus C equals
equals negative 1 over 9 square root of 2 minus 6 x minus 9 x squared end root minus 1 over 9 a r c sin open square brackets square root of 3 open parentheses x plus 1 third close parentheses close square brackets plus C equals

       

  10. Paula pisze:

    Witam mam problem z calka 1/cosx  mogłbys mi ja rozpisac? zgory dziekuje i pozdrawiam

  11. Joanna Wojtowicz pisze:

    Jak obliczyc calke (1 na gorze 0 na dole) adalej (3x^3-x^2+2x-4)dx/((x^2-3x+2)^0,5)gdyby sie udalo krok po kroku zebym mogla rozumiec logikepozdrawiamJoanna

    1. Aby rozwiązać całkę integral subscript 0 superscript 1 fraction numerator 3 x cubed minus x squared plus 2 x minus 4 over denominator square root of x squared minus 3 x plus 2 end root end fraction d x posłużę się schematem opisanym w Lekcji 6 Kursu Całki Nieoznaczone.  Zacznę oczywiście od całki nieoznaczonej, na koniec podstawię granice.

      Jest to całka typu integral fraction numerator W subscript n greater or equal than 2 end subscript \left parenthesis x right parenthesis space d x over denominator square root of a x squared plus b x plus c end root end fraction. Wynik tego typu całki będzie wyglądał następująco:

      integral fraction numerator 3 x cubed minus x squared plus 2 x minus 4 over denominator square root of x squared minus 3 x plus 2 end root end fraction d x space equals space open parentheses A x squared plus B x plus C close parentheses times square root of x squared minus 3 x plus 2 end root space plus space lambda times \integral fraction numerator d x over denominator square root of x squared minus 3 x plus 2 end root end fraction

      Musze teraz znaleźć niewiadome A, B , C oraz lambdę. No i oczywiście rozwiązać całkę z pierwiastkiem. Na powyższe równanie nakładam obustronnie pochodną. Przy obliczaniu pochodnej z wyrażenia open parentheses A x squared plus B x plus C close parentheses times square root of x squared minus 3 x plus 2 end root pamiętam, że  jest to mnożenie dwóch funkcji, więc jadę z wzorem: open parentheses a times b close parentheses apostrophe equals a apostrophe times b plus a times b apostrophe

      integral fraction numerator 3 x cubed minus x squared plus 2 x minus 4 over denominator square root of x squared minus 3 x plus 2 end root end fraction d x space equals space open parentheses A x squared plus B x plus C close parentheses times square root of x squared minus 3 x plus 2 end root space plus space lambda times \integral fraction numerator d x over denominator square root of x squared minus 3 x plus 2 end root end fraction space space space space divided by space open parentheses blank close parentheses apostrophe

      fraction numerator 3 x cubed minus x squared plus 2 x minus 4 over denominator square root of x squared minus 3 x plus 2 end root end fraction equals space open parentheses A times 2 x plus B times 1 plus 0 close parentheses times square root of x squared minus 3 x plus 2 end root space plus open parentheses A x squared plus B x plus C close parentheses times fraction numerator 1 over denominator 2 square root of x squared minus 3 x plus 2 end root end fraction times open parentheses x squared minus 3 x plus 2 close parentheses apostrophe plus lambda times fraction numerator 1 over denominator square root of x squared minus 3 x plus 2 end root end fraction

      fraction numerator 3 x cubed minus x squared plus 2 x minus 4 over denominator square root of x squared minus 3 x plus 2 end root end fraction equals space open parentheses 2 A x plus B close parentheses times square root of x squared minus 3 x plus 2 end root space plus open parentheses A x squared plus B x plus C close parentheses times fraction numerator 1 over denominator 2 square root of x squared minus 3 x plus 2 end root end fraction times open parentheses 2 x minus 3 close parentheses plus lambda times fraction numerator 1 over denominator square root of x squared minus 3 x plus 2 end root end fraction space space space space space space space space space space divided by times square root of x squared minus 3 x plus 2 end root

      3 x cubed minus x squared plus 2 x minus 4 space equals space open parentheses 2 A x plus B close parentheses times open parentheses x squared minus 3 x plus 2 close parentheses space plus 1 half open parentheses A x squared plus B x plus C close parentheses times open parentheses 2 x minus 3 close parentheses plus lambda

      Porządkuję prawą stronę i porównuję potęgi przy odpowiednich x-ach wielomianu.

      3 x cubed minus x squared plus 2 x minus 4 space equals space 2 A x cubed minus 6 A x squared plus 4 A x plus B x squared minus 3 B x plus 2 B space plus 1 half open parentheses 2 A x cubed minus 3 A x squared plus 2 B x squared minus 3 B x plus 2 C x minus 3 C close parentheses plus lambda

      3 x cubed minus x squared plus 2 x minus 4 space equals space 2 A x cubed minus 6 A x squared plus 4 A x plus B x squared minus 3 B x plus 2 B space plus A x cubed minus 3 over 2 A x squared plus B x squared minus 3 over 2 B x plus C x minus 3 over 2 C plus lambda

      3 x cubed minus x squared plus 2 x minus 4 space equals space 3 A x cubed space plus space open parentheses negative 7 1 half A plus 2 B close parentheses x squared space plus space open parentheses 4 A minus 4 1 half B plus C close parentheses x plus open parentheses 2 B minus 3 over 2 C plus lambda close parentheses

      open curly brackets table attributes columnalign \left end attributes row cell 3 A equals 3 end cell row cell negative 7 comma 5 A plus 2 B equals negative 1 end cell row cell 4 A minus 4 comma 5 B plus C equals 2 end cell row cell 2 B minus 1 comma 5 C plus lambda equals negative 4 end cell end table close
   No to rozwiązuję po kolei ten układ równań.

      3 A equals 3 space space space divided by colon 3
bold italic A bold equals bold 1,             negative 7 comma 5 times 1 plus 2 B equals negative 1
2 B equals negative 1 plus 7 comma 5
2 B equals 6 comma 5 space space space divided by colon 2
B equals 13 over 2 times 1 half equals bold 13 over bold 4,          4 times 1 minus 4 comma 5 times 13 over 4 plus C equals 2
4 minus 9 over 2 times 13 over 4 plus C equals 2
C equals 2 minus 4 plus 117 over 8 equals 117 over 8 minus 16 over 8 equals bold 101 over bold 8    ,    2 times 13 over 4 minus 3 over 2 times 101 over 8 plus lambda equals negative 4
lambda equals negative 4 minus 13 over 2 plus 303 over 16 equals bold 135 over bold 16

      Tak więc na obecną chwilę mamy rozwiązanie postaci:

      integral fraction numerator 3 x cubed minus x squared plus 2 x minus 4 over denominator square root of x squared minus 3 x plus 2 end root end fraction d x space equals space open parentheses x squared plus 13 over 4 x plus 101 over 8 close parentheses times square root of x squared minus 3 x plus 2 end root space plus space 135 over 16 times \integral fraction numerator d x over denominator square root of x squared minus 3 x plus 2 end root end fraction

      Zostaje więc do policzenia tylko całka z pierwiastkiem integral fraction numerator d x over denominator square root of x squared minus 3 x plus 2 end root end fraction .

      CDN.

       

    2. Kończąc przykład, całka integral fraction numerator d x over denominator square root of x squared minus 3 x plus 2 end root end fraction jest całką typu integral fraction numerator d x over denominator square root of a x squared plus b x plus c end root end fraction , gdzie a equals 1 space comma space b equals negative 3 space comma space c equals 2.

      Zapisuję wielomian z mianownika w postaci: a x squared plus b x plus c space equals space a space open square brackets open parentheses x plus fraction numerator b over denominator 2 a end fraction close parentheses squared minus fraction numerator increment over denominator 4 a end fraction close square brackets (schemat z całek niewymiernych).

      Liczę: increment equals open parentheses negative 3 close parentheses squared minus 4 times 1 times 2 equals 9 minus 8 equals 1  . Stąd:

      integral fraction numerator d x over denominator square root of x squared minus 3 x plus 2 end root end fraction equals \integral fraction numerator d x over denominator square root of 1 times open square brackets open parentheses x plus fraction numerator negative 3 over denominator 2 times 1 end fraction close parentheses squared minus fraction numerator 1 over denominator 4 times 1 end fraction close square brackets end root end fraction equals \integral fraction numerator d x over denominator square root of open parentheses x minus 3 over 2 close parentheses squared minus 1 fourth end root end fraction equals open vertical bar table row cell t equals x minus 3 over 2 end cell row cell d t space equals space d x end cell end table close vertical bar equals \integral fraction numerator d t over denominator square root of t squared minus 1 fourth end root end fraction equals...

      Korzystając z wzoru na całkę: integral fraction numerator d t over denominator square root of x squared plus q end root end fraction equals ln space open vertical bar x plus square root of x squared plus q end root close vertical bar plus C wychodzi ostatecznie

      ... equals ln space open vertical bar t plus square root of t squared minus 1 fourth end root close vertical bar plus C equals ln space open vertical bar x minus 3 over 2 plus square root of open parentheses x minus 3 over 2 close parentheses squared minus 1 fourth end root close vertical bar plus C

      Dlatego ostateczna całka z przykładu jest postaci:

      bold \integral fraction numerator bold 3 bold x to the power of bold 3 bold minus bold x to the power of bold 2 bold plus bold 2 bold x bold minus bold 4 over denominator square root of bold x to the power of bold 2 bold minus bold 3 bold x bold plus bold 2 end root end fraction bold d bold italic x bold space bold equals bold space open parentheses bold x to the power of bold 2 bold plus bold 13 over bold 4 bold x bold plus bold 101 over bold 8 close parentheses bold times square root of bold x to the power of bold 2 bold minus bold 3 bold x bold plus bold 2 end root bold space bold plus bold space bold 135 over bold 16 bold times bold italic l bold italic n bold space open vertical bar bold x bold minus bold 3 over bold 2 bold plus square root of open parentheses bold x bold minus bold 3 over bold 2 close parentheses to the power of bold 2 bold minus bold 1 over bold 4 end root close vertical bar bold plus bold italic C

      Dziwić może różniący się wynik otrzymany z kalkulatora, tzn.

      integral fraction numerator 3 straight x cubed minus straight x squared plus 2 straight x minus 4 over denominator square root of straight x squared minus 3 straight x plus 2 end root end fraction d x space equals space open parentheses straight x squared plus 13 over 4 straight x plus 101 over 8 close parentheses times square root of straight x squared minus 3 straight x plus 2 end root space plus space 135 over 16 times ln space open vertical bar negative 2 square root of open parentheses straight x minus 3 over 2 close parentheses squared minus 1 fourth end root minus 2 x plus 3 close vertical bar plus C

      Wydawałoby się, że to wyrażenie w logarytmie jest inne. Nic mylnego. Wolfram to chytra sztuka i zawsze próbuje wynik maksymalnie „uładnić” 🙂 Po prostu dobrał sobie taką stałą i wciągnął ją do logarytmu, aby pozbyć się ułamka, tzn:

      ln space open vertical bar negative 2 square root of open parentheses straight x minus 3 over 2 close parentheses squared minus 1 fourth end root minus 2 x plus 3 close vertical bar equals space ln space open vertical bar bold minus bold 2 open square brackets square root of open parentheses straight x minus 3 over 2 close parentheses squared minus 1 fourth end root plus x minus 3 over 2 close square brackets close vertical bar equals l n open parentheses a times b close parentheses equals l n a plus l n b equals space ln space open vertical bar negative 2 close vertical bar plus space ln space open vertical bar square root of open parentheses straight x minus 3 over 2 close parentheses squared minus 1 fourth end root plus x minus 3 over 2 close vertical bar

      gdzie ln|-2| to zwykła stała, podlegająca pod „C”.

       

      To została do policzenia całka oznaczona.

      integral subscript 0 superscript 1 fraction numerator 3 straight x cubed minus straight x squared plus 2 straight x minus 4 over denominator square root of straight x squared minus 3 straight x plus 2 end root end fraction d x space equals space space right enclose open parentheses straight x squared plus 13 over 4 straight x plus 101 over 8 close parentheses times square root of straight x squared minus 3 straight x plus 2 end root space plus space 135 over 16 times ln space open vertical bar straight x minus 3 over 2 plus square root of open parentheses straight x minus 3 over 2 close parentheses squared minus 1 fourth end root close vertical bar space space end enclose subscript 0 superscript 1 equals
equals space space open parentheses 1 squared plus 13 over 4 times 1 plus 101 over 8 close parentheses times square root of 1 squared minus 3 times 1 plus 2 end root space plus space 135 over 16 times ln space open vertical bar 1 minus 3 over 2 plus square root of open parentheses 1 minus 3 over 2 close parentheses squared minus 1 fourth end root close vertical bar space minus space open curly brackets space open parentheses 0 squared plus 13 over 4 times 0 plus 101 over 8 close parentheses times square root of 0 squared minus 3 times 0 plus 2 end root space plus space 135 over 16 times ln space open vertical bar 0 minus 3 over 2 plus square root of open parentheses 0 minus 3 over 2 close parentheses squared minus 1 fourth end root close vertical bar space close curly brackets equals
equals space space open parentheses 1 plus 13 over 4 plus 101 over 8 close parentheses times square root of 0 space plus space 135 over 16 times ln space open vertical bar negative 1 half plus square root of 0 close vertical bar space minus 101 over 8 times square root of 2 space minus space 135 over 16 times ln space open vertical bar negative 3 over 2 plus square root of 2 close vertical bar space equals
equals space 135 over 16 times ln space open vertical bar negative 1 half close vertical bar space minus fraction numerator 101 square root of 2 over denominator 8 end fraction space minus space 135 over 16 times ln space open vertical bar negative 3 over 2 plus square root of 2 close vertical bar space

  12. Karol pisze:

    Jak obliczyć y'-y*sinx=sinx*cosx.
    Czy da się to zadanie wpisać w kalkulator?

    1. Da się wpisać w kalkulator, tyle, że w inny, do równań różniczkowych:

      https://blog.etrapez.pl/narzedzia/kalkulatory/kalkulator-do-rownan-rozniczkowych/

      A obliczyć można stosując metodę „uzmienniania stałej”, pokazałem ją w swoim Kursie dokładniej:

      y apostrophe minus y sin x equals sin x cos x

      Rozwiązuję odpowiadające temu równaniu równanie jednorodne:

      y apostrophe minus y sin x equals 0 y apostrophe equals y sin x fraction numerator d y over denominator d x end fraction equals y sin x space space divided by colon y space space divided by times d x fraction numerator d y over denominator y end fraction equals sin x d x \integral fraction numerator d y over denominator y end fraction equals \integral sin x d x ln open vertical bar y close vertical bar equals negative cos x plus C y equals e to the power of negative cos x plus C end exponent y equals e to the power of negative cos x end exponent e to the power of C y equals C e to the power of negative cos x end exponent

      W otrzymanym rozwiązaniu równania jednorodnego „uzmienniamy stałą”, a następnie liczymy pochodną:

      y equals C open parentheses x close parentheses e to the power of negative cos x end exponent y apostrophe equals open square brackets C open parentheses x close parentheses e to the power of negative cos x end exponent close square brackets apostrophe equals C apostrophe open parentheses x close parentheses e to the power of negative cos x end exponent plus C open parentheses x close parentheses open parentheses e to the power of negative cos x end exponent close parentheses apostrophe equals C apostrophe open parentheses x close parentheses e to the power of negative cos x end exponent plus C open parentheses x close parentheses e to the power of negative cos x end exponent open parentheses negative cos x close parentheses apostrophe equals C apostrophe open parentheses x close parentheses e to the power of negative cos x end exponent plus C open parentheses x close parentheses e to the power of negative cos x end exponent sin x

      Otrzymane wyniki wstawiamy do równania na początku:

      C apostrophe open parentheses x close parentheses e to the power of negative cos x end exponent plus C open parentheses x close parentheses e to the power of negative cos x end exponent sin x minus C open parentheses x close parentheses e to the power of negative cos x end exponent sin x equals sin x cos x C apostrophe open parentheses x close parentheses e to the power of negative cos x end exponent equals sin x cos x C apostrophe open parentheses x close parentheses 1 over e to the power of cos x end exponent equals sin x cos x space space divided by times e to the power of cos x end exponent C apostrophe open parentheses x close parentheses equals e to the power of cos x end exponent sin x cos x C open parentheses x close parentheses equals \integral e to the power of cos x end exponent sin x cos x d x

      Całeczkę rozwiązuję najpierw przez podstawienie, potem przez części:

      integral e to the power of cos x end exponent sin x cos x d x equals open vertical bar table row cell table row cell t equals cos x end cell row cell d t equals open parentheses negative sin x close parentheses d x end cell end table end cell row cell negative d t equals sin x d x end cell row blank end table close vertical bar equals negative \integral e to the power of t times t d t equals open vertical bar table row cell u open parentheses t close parentheses equals t end cell cell v apostrophe open parentheses t close parentheses equals e to the power of t end cell row cell u apostrophe open parentheses t close parentheses equals 1 end cell cell v open parentheses t close parentheses equals e to the power of t end cell end table close vertical bar equals equals negative open parentheses t e to the power of t minus \integral 1 times e to the power of t d t close parentheses equals negative t e to the power of t plus \integral e to the power of t d t equals negative t e to the power of t plus e to the power of t plus C equals negative cos x e to the power of cos x end exponent plus e to the power of cos x end exponent plus C

      Mam więc, że:

      C open parentheses x close parentheses equals negative cos x e to the power of cos x end exponent plus e to the power of cos x end exponent plus C

      Wstawiam ten wynik do rozwiązania z uzmiennioną stałą:

      y equals C open parentheses x close parentheses e to the power of negative cos x end exponent y equals open parentheses negative cos x e to the power of cos x end exponent plus e to the power of cos x end exponent plus C close parentheses e to the power of negative cos x end exponent equals negative cos x plus 1 plus C e to the power of negative cos x end exponent

      Co jest rozwiązaniem tego równania różniczkowego.

  13. Kasia pisze:

    Witam, mam problem z wyznaczeniem obszaru ograniczonego przez:y=|cosx| , x=0 , x=3/2*pi , y=0.Czy ma ktoś może pomysł jak ją rozwiązać ? (wstawiam poprawione bo było nieczytelne)

  14. Kasia pisze:

    Witam, mam problem z wyznaczeniem obszaru ograniczonego przez:y=|cosx|x=0x=3/2piy=0.Czy ma ktoś może pomysł jak ją rozwiązać ?

  15. Sonia pisze:

    Obliczyć całkę z funkcji e^{x^2}. Jak?

  16. Iva pisze:

    Witam
    Mam problem z całka nieoznaczoną
    2x-9/3pirwiastki z 3

    1.  integral fraction numerator 2 x minus 9 over denominator 3 square root of 3 end fraction d x

      Mianownik to zwykła liczba (nie ma tam zmiennej „x”). Dlatego wyciągam go jako stałą przed całkę. Dalej to proste działania na całkach elementarnych.

      integral fraction numerator 2 x minus 9 over denominator 3 square root of 3 end fraction d x equals \integral fraction numerator 1 over denominator 3 square root of 3 end fraction times open parentheses 2 x minus 9 close parentheses space d x space equals space fraction numerator 1 over denominator 3 square root of 3 end fraction times \integral open parentheses 2 x minus 9 close parentheses space d x equals

      equals fraction numerator 1 over denominator 3 square root of 3 end fraction times open square brackets \integral 2 x space d x minus \integral 9 space d x close square brackets equals fraction numerator 1 over denominator 3 square root of 3 end fraction times open square brackets 2 times \integral x space d x minus 9 \integral 1 space d x close square brackets equals

      equals fraction numerator 1 over denominator 3 square root of 3 end fraction times open square brackets 2 times 1 half x squared space minus 9 times x space plus space C close square brackets equals fraction numerator 1 over denominator 3 square root of 3 end fraction times open square brackets x squared space minus 9 x space plus space C close square brackets equals fraction numerator bold x to the power of bold 2 bold space bold minus bold 9 bold x over denominator bold 3 square root of bold 3 end fraction bold plus bold space bold italic C

  17. Arek pisze:

    Witam mam problem z niektórymi przykładami całkowania przez podstawienie, mógłby ktoś mi je rozpisać? 1.  integral fraction numerator sin open parentheses square root of x close parentheses over denominator square root of x end fraction d x space,  2. integral fraction numerator 2 to the power of x over denominator square root of 1 space minus space 4 to the power of x end root end fraction d x 3. integral fraction numerator x over denominator square root of 2 plus 2 x squared end root end fraction d x

    1. Całka nr 1:  (pójdzie przez podstawienie)

       integral fraction numerator sin open parentheses square root of x close parentheses over denominator square root of x end fraction d x space equals \integral sin open parentheses square root of x close parentheses times fraction numerator 1 over denominator square root of x end fraction d x equals open vertical bar table row cell square root of x equals t end cell row cell fraction numerator 1 over denominator 2 square root of x end fraction space d x space equals d t end cell row cell fraction numerator 1 over denominator square root of x end fraction space d x space equals 2 space d t end cell end table close vertical bar space equals

      equals \integral sin open parentheses t close parentheses times 2 space d t equals space 2 \integral sin t space d t equals 2 times open parentheses negative cos t close parentheses plus C space equals space bold minus bold 2 bold times bold italic c bold italic o bold italic s open parentheses square root of bold x close parentheses bold plus bold italic C bold space

      Dokładny sposób postępowania omówiono w Kursie Całki Nieoznaczone. Pierwsza lekcja (całki bezpośrednie) dostępna jest za darmo po założeniu konta na Akademii.

    2. Całka nr 2 także pójdzie przez podstawienie i wykorzystanie bezpośredniego wzoru

      integral fraction numerator 1 over denominator square root of 1 space minus space x squared end root end fraction d x equals a r c sin x space plus space C (wzór 15.)

      oraz małe przekształcanie 4 to the power of x equals open parentheses 2 squared close parentheses to the power of x equals 2 to the power of 2 times x end exponent equals open parentheses 2 to the power of x close parentheses \squared

       integral fraction numerator 2 to the power of x over denominator square root of 1 space minus space 4 to the power of x end root end fraction d x space equals space open vertical bar table row cell 2 to the power of x equals t end cell row cell 2 to the power of x times ln 2 space d x space equals space d t end cell row cell 2 to the power of x space d x space equals fraction numerator 1 over denominator ln 2 end fraction space d t end cell end table close vertical bar space equals space \integral fraction numerator t over denominator square root of 1 space minus space t squared end root end fraction times space fraction numerator 1 over denominator ln 2 end fraction space d t space equals space

      equals space fraction numerator 1 over denominator ln 2 end fraction \integral fraction numerator t over denominator square root of 1 space minus space t squared end root end fraction space d t space equals space fraction numerator 1 over denominator ln 2 end fraction times a r c s i n \left parenthesis t right parenthesis space plus C space equals space fraction numerator bold 1 over denominator bold l bold n bold 2 end fraction bold times bold italic a bold italic r bold italic c bold italic s bold italic i bold italic n bold \left parenthesis bold 2 to the power of bold x bold right parenthesis bold space bold plus bold italic C

    3. integral fraction numerator x over denominator square root of 2 plus 2 x squared end root end fraction d x ta całka także pójdzie przez podstawienie (całego wyrażenia pod pierwiastkiem):

      integral fraction numerator x over denominator square root of 2 plus 2 x squared end root end fraction d x equals \integral fraction numerator 1 over denominator square root of 2 plus 2 x squared end root end fraction times x space d x equals open vertical bar table row cell 2 plus 2 x squared equals t end cell row cell 0 plus 2 times 2 x space d x equals d t end cell row cell x space d x equals 1 fourth d t end cell end table close vertical bar space equals space \integral fraction numerator 1 over denominator square root of t end fraction times 1 fourth d t equals

      equals space 1 fourth \integral space t to the power of negative 1 half end exponent d t equals 1 fourth times 1 over blank to the power of negative 1 half plus 1 end exponent space t space to the power of negative 1 half plus 1 end exponent plus C space equals space 1 fourth times 1 over blank to the power of 1 half end exponent space t space to the power of 1 half end exponent plus C space equals space 1 fourth times 2 square root of space t end root plus C space equals bold 1 over bold 2 square root of bold space bold 2 bold plus bold 2 bold x to the power of bold 2 end root bold plus bold italic C

  18. Łukasz pisze:

    (1/2-sinx)^2 pomoże mi ktoś przy tej całce ?

    1. Chodzi o całkę:  integral open parentheses 1 half minus sin x close parentheses squared d x ?  Jeśli tak to rozwiązanie będzie następujące:

      Najpierw korzystam ze wzoru skróconego mnożenia: open parentheses a minus b close parentheses squared equals a squared minus 2 a b plus b \squared

      integral open parentheses 1 half minus sin x close parentheses squared d x equals \integral open parentheses open parentheses 1 half close parentheses squared minus 2 times 1 half times sin x plus open parentheses sin x close parentheses squared close parentheses d x equals \integral open parentheses 1 fourth minus sin x plus sin squared x close parentheses d x equals \integral 1 fourth d x minus \integral sin x space d x plus \integral sin squared x space d x equals.... space space

      Pierwsze dwie całki są proste:

      integral 1 fourth d x equals 1 fourth \integral 1 d x space equals space bold 1 over bold 4 bold times bold italic x bold plus bold italic C

      integral sin x space d x equals bold minus bold cos bold italic x bold plus bold italic C

      Zostaje trzecia całka z integral sin squared x space d x. Rozwiązanie tej całki z wytłumaczeniem krok po kroku można odnaleźć w lekcji 7 Kursu Całki nieoznaczone:

      https://akademia.etrapez.pl/wybor-kursu/calki-nieoznaczone/lekcja-7-calki-trygonometryczne/

      Należy skorzystać tu z przekształcenia dodatkowej zależności funkcji trygonometrycznych, mianowicie

      cos 2 x equals cos squared x minus sin squared x . A że chce mieć same sinusy w kwadracie, korzystam jeszcze z jedynki trygonometrycznej

      sin squared x plus cos squared x equals 1 space space rightwards double arrow space cos squared x equals 1 minus sin squared x space space. Stąd:

      cos 2 x equals cos squared x minus sin squared x
cos 2 x equals 1 minus sin squared x minus sin squared x
cos 2 x equals 1 minus 2 sin squared x
2 sin squared x equals 1 minus cos 2 x space space space divided by space colon 2
sin squared x equals 1 half open parentheses 1 minus cos 2 x close parentheses

      Podstawiam to teraz do całki z sinusem kwadrat

      integral sin squared x space d x equals \integral open parentheses 1 half open parentheses 1 minus cos 2 x close parentheses close parentheses d x space equals 1 half space \integral 1 space d x minus 1 half \integral cos 2 x d x equals 1 half times x minus 1 half times 1 half s i n 2 x plus C equals bold 1 over bold 2 bold italic x bold minus bold 1 over bold 4 bold italic s bold italic i bold italic n bold 2 bold italic x bold plus bold italic C

      Wykorzystano tu bezpośredni wzór z dodatkowych wzorów (lub tez można było to obliczyć szybką całką przez podstawienieintegral cos open parentheses a x close parentheses d x equals 1 over a sin open parentheses a x close parentheses plus C

      Ostatnie wychodzi:

      integral open parentheses 1 half minus sin x close parentheses squared d x equals \integral open parentheses open parentheses 1 half close parentheses squared minus 2 times 1 half times sin x plus open parentheses sin x close parentheses squared close parentheses d x equals \integral open parentheses 1 fourth minus sin x plus sin squared x close parentheses d x equals \integral 1 fourth d x minus \integral sin x space d x plus \integral sin squared x space d x equals

      equals 1 fourth x minus open parentheses negative cos x close parentheses plus 1 half x minus 1 fourth sin 2 x plus C equals 1 fourth x plus cos x plus 2 over 4 x minus 1 fourth sin 2 x plus C equals bold 3 over bold 4 bold italic x bold plus bold cos bold italic x bold minus bold 1 over bold 4 bold sin bold 2 bold italic x bold plus bold italic C bold equals

  19. Jagoda pisze:

    Hej :)pomoże ktoś obliczyć:

  20. Sonia pisze:

    Mam problem z taką oto całką: (x-13)/(x^3-x-6) dx    mianownik ni jak da się rozłożyć – zatem zgodnie ze schematem muszę przekształcić licznik tak, aby był podobny do mianownika – tylko co jeśli się nie da jak tutaj?? HELP 🙂

  21. Filipides pisze:

    a co z taką całką? Całka: 2x/(x-1)^8 dx ?

    1. Ta całka pójdzie tak: integral fraction numerator 2 x over denominator \left parenthesis x minus 1 right parenthesis to the power of 8 end fraction d x equals 2 times \integral fraction numerator x over denominator \left parenthesis x minus 1 right parenthesis to the power of 8 end fraction d x space equals space...

      rozbijam ułamek na sumę dwóch ułamków. Na dole jest aż 8 potęga, ja nie potrzebuję rozbijać na osiem kolejnych ułamków, gdzie w mianowniku będą kolejne potęgi wyrażenia (x-1)… Wystarczy że zejdę tylko o JEDEN stopień niżej, ponieważ w liczniku jest tylko „x” (postać liniowa wielomianu, x w pierwszej potędze), czyli:

      fraction numerator x over denominator \left parenthesis x minus 1 right parenthesis to the power of 8 end fraction equals fraction numerator A over denominator \left parenthesis x minus 1 right parenthesis to the power of 7 end fraction plus fraction numerator B over denominator \left parenthesis x minus 1 right parenthesis to the power of 8 end fraction space space space space space space space space divided by times \left parenthesis x minus 1 right parenthesis to the power of 8

      x space equals space A open parentheses x minus 1 close parentheses space plus space B

      x space equals space A x minus A space plus space B

      open curly brackets table attributes columnalign \left end attributes row cell A equals 1 end cell row cell negative A plus B equals 0 end cell end table close space rightwards double arrow space space space space open curly brackets table attributes columnalign \left end attributes row cell A equals 1 end cell row cell B equals 1 end cell end table close

      fraction numerator x over denominator \left parenthesis x minus 1 right parenthesis to the power of 8 end fraction equals fraction numerator 1 over denominator \left parenthesis x minus 1 right parenthesis to the power of 7 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator \left parenthesis x minus 1 right parenthesis to the power of 8 end fraction

      ... equals 2 times \integral open square brackets fraction numerator 1 over denominator \left parenthesis x minus 1 right parenthesis to the power of 7 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator \left parenthesis x minus 1 right parenthesis to the power of 8 end fraction close square brackets d x equals 2 \integral fraction numerator 1 over denominator \left parenthesis x minus 1 right parenthesis to the power of 7 end fraction d x plus 2 \integral fraction numerator 1 over denominator \left parenthesis x minus 1 right parenthesis to the power of 8 end fraction d x equals

      Każdą z całek liczę na boku, przez podstawienie:

      integral fraction numerator 1 over denominator \left parenthesis x minus 1 right parenthesis to the power of 7 end fraction d x equals open vertical bar table row cell x minus 1 equals t end cell row cell d x equals d t end cell end table close vertical bar equals \integral 1 over t to the power of 7 d t equals \integral t to the power of negative 7 end exponent d t equals fraction numerator 1 over denominator negative 7 plus 1 end fraction t to the power of negative 7 plus 1 end exponent plus C equals negative 1 over 6 t to the power of negative 6 end exponent plus C equals negative fraction numerator 1 over denominator 6 \left parenthesis x minus 1 right parenthesis to the power of 6 end fraction plus C

      integral fraction numerator 1 over denominator \left parenthesis x minus 1 right parenthesis to the power of 8 end fraction d x equals open vertical bar table row cell x minus 1 equals s end cell row cell d x equals d s end cell end table close vertical bar equals \integral 1 over s to the power of 8 d s equals \integral t to the power of negative 8 end exponent d s equals fraction numerator 1 over denominator negative 8 plus 1 end fraction s to the power of negative 8 plus 1 end exponent plus C equals negative 1 over 7 s to the power of negative 7 end exponent plus C equals negative fraction numerator 1 over denominator 7 \left parenthesis x minus 1 right parenthesis to the power of 7 end fraction plus C

      Wracając do całki:

      equals \integral fraction numerator 2 over denominator \left parenthesis x minus 1 right parenthesis to the power of 7 end fraction d x plus \integral fraction numerator 2 over denominator \left parenthesis x minus 1 right parenthesis to the power of 8 end fraction d x equals negative fraction numerator 2 over denominator 6 \left parenthesis x minus 1 right parenthesis to the power of 6 end fraction minus fraction numerator 2 over denominator 7 \left parenthesis x minus 1 right parenthesis to the power of 7 end fraction plus C equals negative fraction numerator 1 over denominator 3 \left parenthesis x minus 1 right parenthesis to the power of 6 end fraction minus fraction numerator 2 over denominator 7 \left parenthesis x minus 1 right parenthesis to the power of 7 end fraction plus C equals

      equals negative fraction numerator 7 \left parenthesis x minus 1 right parenthesis over denominator 21 \left parenthesis x minus 1 right parenthesis to the power of 7 end fraction minus fraction numerator 6 over denominator 21 \left parenthesis x minus 1 right parenthesis to the power of 7 end fraction plus C equals fraction numerator negative 7 x plus 7 over denominator 21 \left parenthesis x minus 1 right parenthesis to the power of 7 end fraction plus fraction numerator negative 6 over denominator 21 \left parenthesis x minus 1 right parenthesis to the power of 7 end fraction plus C equals fraction numerator bold 1 bold minus bold 7 bold x over denominator bold 21 bold \left parenthesis bold x bold minus bold 1 bold right parenthesis to the power of bold 7 end fraction bold plus bold italic C

  22. Wera pisze:

    A pomoże ktoś w takiej całeczce: ln(2x+3)/2x+3

    1. Całka integral fraction numerator ln \left parenthesis 2 x plus 3 right parenthesis over denominator 2 x plus 3 end fraction pójdzie tak (przez „podwójne” podstawienie):

      integral fraction numerator ln \left parenthesis 2 x plus 3 right parenthesis over denominator 2 x plus 3 end fraction d x equals open vertical bar table row cell 2 x plus 3 equals t end cell row cell 2 space d x equals d t end cell row cell d x equals 1 half d t end cell end table close vertical bar space equals space \integral fraction numerator ln \left parenthesis t right parenthesis over denominator t end fraction times 1 half d t space equals space 1 half \integral ln \left parenthesis t right parenthesis times 1 over t d t space equals
equals open vertical bar table row cell l n \left parenthesis t right parenthesis equals u end cell row cell 1 over t d t equals d u end cell end table close vertical bar space equals space 1 half \integral u space d u space equals space 1 half times 1 half u squared plus C space equals space space 1 fourth u squared plus C space equals space
equals space 1 fourth open square brackets l n \left parenthesis t right parenthesis close square brackets space squared plus C space equals space space 1 fourth l n squared \left parenthesis t right parenthesis space plus C space equals space bold 1 over bold 4 bold italic l bold italic n to the power of bold 2 bold \left parenthesis bold 2 bold italic x bold plus bold 3 bold right parenthesis bold space bold plus bold italic C

  23. Kuba pisze:

    Witam, posiadam całkę(cos(x/5))/((sin^8(x/5)jak ją obliczyć metodą przez podstawianie t= sin(x/5)

  24. Marlena pisze:

    co oznacza ei

  25. Całka246 pisze:

    Dzien dobry, mam problem z rozwiązaniem poniższej całki… Nie mam kompletnie pomysłu jak się za to zabrać, próbowałam przez części jak i przed podstawienie, ale niestety do nieczego mądrego nie doszłam… integral subscript 1 superscript infinity fraction numerator x squared over denominator square root of x to the power of 7 plus 3 x plus 1 end root end fraction d x

  26. Mirek pisze:

    Czy ktoś ma pomysł jak rozwiązać poniższą całkę? Męczę się już dość długo z nią i wszystkie pomysły na jej rozwiązanie doprowadzają mnie do ślepego zaułku.integral open parentheses r squared over 2 a sin open parentheses fraction numerator x over denominator open vertical bar r close vertical bar end fraction close parentheses plus x over 2 square root of r squared minus x squared end root close parentheses cross times e to the power of negative x end exponent d x space space space g d z i e space r greater than 0 space i space r equals c o n s t
l u b space p r o ś c i e j
integral open parentheses a sin open parentheses x close parentheses plus x square root of 1 squared minus x squared end root close parentheses cross times e to the power of negative x end exponent d x

  27. Patryk pisze:

    Dzień dobry,mam problem z całką z funkcjifraction numerator 1 over denominator 1 minus begin display style x over c end style end fraction gdzie c to pewna stała. Wynik który wychodzi z kalkulatora to negative c space ln open parentheses c minus v close parenthesesNatomiast książka z książki od mechaniki, wynosi on negative c ln open parentheses 1 minus x over c close parenthesesCzy istnieje jakiś sposób na doprowadzenie z jednego wzoru do drugiego i ja tego nie widzę? Gdzie jest błąd?

  28. BBB pisze:

    Witam, mam problem z całką (x^2)(sinx)^2 z zadania domowego nr 10 z lekcji 4. Wynik wychodzi mi podobny ale na końcu zamiast -(1/4)xcox2x+(1/8)sin2x mam -(1/2)xcos2x+(1/4)sin2x, tak jakbym coś zgubił po drodze, a liczyłem kilka razy i ciągle ten sam wynik. Ktoś coś?

  29. Sylwia pisze:

    Całka przez podstawienie : sin2x/\square root of 3 minus sin to the power of 4 x end root

  30. Sylwia pisze:

    Przez podstawienie: całka x^2/\square root of 4 minus x hat 6 end rootdx

  31. Sylwia pisze:

    Jak obliczyć całkę: 5x^2-6x+12/x^4-2x^3+4x^2

  32. ewcia5665 pisze:

    pomocy całka 4^x/2^x

    1. Tutaj wyjdzie ostatecznie prosta całka, trzeba tylko na samym początku dokonać kilku przekształceń:

       integral 4 to the power of x over 2 to the power of x d x equals \integral open parentheses 2 squared close parentheses to the power of x over 2 to the power of x d x equals \integral open parentheses 2 to the power of x close parentheses squared over 2 to the power of x d x equals \integral 2 to the power of x space d x equals fraction numerator 2 to the power of x over denominator ln 2 end fraction plus C

  33. Piotr pisze:

    Proszę o rozpisanie tych całek są to przykłady z kursu pana Krystiana. Piszę ponieważ nie mogę ich rozgryźć i dojść do zgodności z wynikiem końcowym.Całka nieoznaczonaintegral open parentheses 4 minus 2 x close parentheses squared x d xcałka nieoznaczona przez podstawianieintegral fraction numerator ln to the power of 4 x over denominator x end fraction d x,  integral fraction numerator x cubed over denominator 1 plus x to the power of 8 end fraction d xintegral fraction numerator 2 to the power of x over denominator square root of 1 minus 4 to the power of x end root end fractionZa pomoc z góry dziękuję i pozdrawiam

    1. ewcia5665 pisze:

      integral \left parenthesis 4 minus 2 x right parenthesis squared equals space \integral \left parenthesis 16 minus 16 x plus 4 x squared right parenthesis space x space d x equals space \integral \left parenthesis 16 x minus 16 x squared plus 4 x cubed right parenthesis d x equals space \integral 16 x d x
minus \integral 16 x squared d x space plus \integral 4 x cubed d x equals space 16 \integral x space d x minus 16 \integral x to the power of 2 space end exponent d x plus 4 \integral x to the power of 3 to the power of blank end exponent d x equals 16 asterisk times space 1 divided by 2 space x squared minus space
16 asterisk times 1 divided by 3 space x to the power of 3 space end exponent plus 4 asterisk times space 1 divided by 4 space x to the power of 4 equals space 8 x squared minus 16 divided by 3 x cubed plus x to the power of 4

    2. Pozostałe całki:

      20)  integral fraction numerator ln to the power of 4 x over denominator x end fraction d x equals \integral ln to the power of 4 x times 1 over x d x equals open vertical bar table row cell ln x equals t end cell row cell 1 over x d x equals d t end cell end table close vertical bar equals \integral t to the power of 4 space d t equals 1 fifth t to the power of 5 plus C equals 1 fifth ln to the power of 5 x plus C

      25)   integral fraction numerator x cubed over denominator 1 plus x to the power of 8 end fraction d x equals \integral fraction numerator x cubed over denominator 1 plus open parentheses x to the power of 4 close parentheses squared end fraction d x equals open vertical bar table row cell x to the power of 4 equals t end cell row cell 4 x cubed d x equals d t end cell row cell x cubed d x equals 1 fourth d t end cell end table close vertical bar equals \integral 1 fourth fraction numerator 1 over denominator 1 plus t squared end fraction d t equalsequals 1 fourth \integral fraction numerator 1 over denominator 1 plus t squared end fraction d t equals 1 fourth a r c t g \left parenthesis t right parenthesis plus C equals 1 fourth a r c t g \left parenthesis x to the power of 4 right parenthesis plus C

      26) integral fraction numerator 2 to the power of x over denominator square root of 1 minus 4 to the power of x end root end fraction d x equals \integral fraction numerator 2 to the power of x over denominator square root of 1 minus open parentheses 2 squared close parentheses to the power of x end root end fraction d x equals \integral fraction numerator 2 to the power of x over denominator square root of 1 minus open parentheses 2 to the power of x close parentheses squared end root end fraction d x equals open vertical bar table row cell 2 to the power of x equals t end cell row cell 2 to the power of x ln 2 space d x equals d t end cell row cell 2 to the power of x d x equals fraction numerator 1 over denominator ln 2 end fraction d t end cell end table close vertical bar equals 
      integral fraction numerator 1 over denominator square root of 1 minus t squared end root end fraction fraction numerator 1 over denominator ln 2 end fraction d t equals fraction numerator 1 over denominator ln 2 end fraction \integral fraction numerator 1 over denominator square root of 1 minus t squared end root end fraction d t equals fraction numerator 1 over denominator ln 2 end fraction a r c sin t plus C equals fraction numerator 1 over denominator ln 2 end fraction a r c sin open parentheses 2 to the power of x close parentheses plus C

  34. Maja Szczęsna pisze:

    Dzień dobry…. bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu całki …:cosx/(sinx^3+sinx^2)… 🙁

  35. Terazka pisze:

    Dzień dobry 🙂 Wstałam jaki sposób obliczyć całkę z (1+x)^x

  36. Maciej pisze:

    Witam mam pytanie jak obliczyc calke x^2/(3x^2-6)^(1/3)

  37. adek pisze:

    Witam,jak rozwinąć całkę od A (x^2)dA ?

  38. Popek pisze:

    integral fraction numerator d x over denominator cos cubed x end fraction Ktoś pomoże?

  39. Ola pisze:

    integral x square root of 2 minus x squared end root x d Błagam o pomoc .. xC 

    1. klim pisze:

      t=2-x^2dt=2xdxdt/2=xdx

  40. Ola pisze:

    Witam mam problem z całką 1/x(x^2-2)^1/2 dx. Jak ją rozwiązać?

  41. Mateusz pisze:

    Proszę o pomoc część już zrobiłem ale potem się zatrzymałemintegral fraction numerator a r c t g x over denominator x squared end fraction equals open vertical bar table row cell f \left parenthesis x right parenthesis space equals space a r c t g x end cell cell f apostrophe \left parenthesis x right parenthesis space equals space fraction numerator 1 over denominator 1 plus x squared end fraction end cell row cell g apostrophe \left parenthesis x right parenthesis space equals space 1 over x squared end cell cell g \left parenthesis x right parenthesis space equals space minus 1 over x end cell end table close vertical bar equals negative fraction numerator a r c t g x over denominator x end fraction plus \integral fraction numerator 1 over denominator x \left parenthesis 1 plus x squared right parenthesis end fraction d xNie mogę rozgryźć tej całki ostatniej. Z góry dzięki  

    1. Mateusz pisze:

      Już rozwiązałem 🙂 

  42. Marlena pisze:

    Witam, proszę o pomoc w wyliczeniu jednej całki:integral open parentheses fraction numerator x squared minus 1 over denominator open parentheses x plus 1 close parentheses open parentheses x squared plus 1 close parentheses end fraction close parentheses

    1. Proszę bardzo, tutaj rozwiązanie tej całeczki: 🙂

  43. kaaaa pisze:

    a najprostrza całka: (5+7x-3x^2)dx? 🙁

    1. Tutaj wystarczy rozbić to na sumę 3 całek i wykorzystać podstawowe wzory:

      integral a x d x equals a times \integral x d x ,    integral 1 d x equals x plus C  oraz  integral x to the power of n d x equals fraction numerator 1 over denominator n plus 1 end fraction x to the power of n plus 1 end exponent plus C

      Stąd:

      integral \left parenthesis 5 plus 7 x minus 3 x squared right parenthesis d x equals \integral 5 space d x plus \integral 7 x space d x minus \integral 3 x squared space d x equals
equals 5 \integral 1 space d x plus 7 \integral x d x minus 3 \integral x squared space d x equals
equals 5 x plus 7 times 1 half x squared minus 3 times 1 third x cubed space plus C equals bold 5 bold italic x bold plus bold 7 over bold 2 bold italic x to the power of bold 2 bold minus bold italic x to the power of bold 3 bold space bold plus bold italic C

  44. Anna pisze:

     Witam! Jak mam wpisać pierwiastek TRZECIEJ potęgi? Potrzebuję całkę z 3x^4 + 4*pierwiastek z 3 potęgi z x + \sqrt( x) / x Serdecznie dziękuję 

    1. Pierwiastek trzeciego stopnia najlepiej wpisywać z potęgą ułamkową, tzn

      cube root of x equals x to the power of 1 third end exponent equals \left parenthesis x right parenthesis hat 1 divided by 3

      Czyli w Pani przypadku liczona całka to: 
      3x^4 + 4*(x)^1/3 + \sqrt( x) / x 

  45. XXX pisze:

    integral fraction numerator 2 to the power of x space asterisk times space 3 to the power of x over denominator 9 to the power of x space plus space 2 to the power of x end fraction d x space  Czy ktoś ma pomysł jak się za to zabrać, muszę znać takie całki do Egzaminu

    1. Kamil Kocot pisze:

      Witam

      Czy aby na pewno o taką całkę chodzi? W tej postaci nawet Wolfram wyrzuca, że nie można jej policzyć metodami elementarnymi. 

      Pozdrawiam

  46. Mateusz pisze:

    Mam problem z całką oznaczoną i m.in. równaniami z nimi nie wiem jak się za nie zabrać proszę o wsparcieintegral subscript square root of 2 end subscript superscript x fraction numerator 1 over denominator t square root of t squared minus 1 end root end fraction d t space equals space straight \pi over 12

    1. Kamil Kocot pisze:

      Na początku oczywiście należy wyliczyć podaną całkę. Można to zrobić przez podstawienie

      table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row cell \integral fraction numerator 1 over denominator t square root of t squared minus 1 end root end fraction d t end cell equals cell open vertical bar table row cell bold italic t to the power of bold 2 bold minus bold 1 bold equals bold italic s to the power of bold 2 rightwards double arrow t squared equals s squared plus 1 rightwards double arrow t equals square root of s squared plus 1 end root end cell row cell t equals square root of s squared plus 1 end root rightwards double arrow bold italic d bold italic t equals fraction numerator 1 over denominator 2 square root of straight s squared plus 1 end root end fraction times 2 straight s space ds equals fraction numerator bold s over denominator square root of bold s to the power of bold 2 bold plus bold 1 end root end fraction bold italic d bold italic s end cell end table close vertical bar end cell row blank equals cell \integral fraction numerator 1 over denominator square root of s squared plus 1 end root square root of bold italic s to the power of bold 2 end root end fraction fraction numerator bold s over denominator square root of bold s to the power of bold 2 bold plus bold 1 end root end fraction bold italic d bold italic s end cell row blank blank blank row blank equals cell \integral fraction numerator d s over denominator s squared plus 1 end fraction equals a r c t g \left parenthesis s right parenthesis plus C equals open vertical bar bold italic t to the power of bold 2 bold minus bold 1 bold equals bold italic s to the power of bold 2 rightwards double arrow s equals square root of t squared minus 1 end root close vertical bar end cell row blank equals cell a r c t g open parentheses square root of t squared minus 1 end root close parentheses plus C end cell row blank blank blank end table

      Dalej powracamy do całki oznaczonej

      integral subscript square root of 2 end subscript superscript x fraction numerator 1 over denominator t square root of t squared minus 1 end root end fraction d t equals table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell open square brackets a r c t g open parentheses square root of t squared minus 1 end root close parentheses close square brackets end cell end table subscript square root of 2 end subscript superscript x equals table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank a end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank r end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank c end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank t end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank g end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell open parentheses square root of x squared minus 1 end root close parentheses end cell end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank minus end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank a end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank r end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank c end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank t end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank g end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell open parentheses square root of open parentheses square root of 2 close parentheses squared minus 1 end root close parentheses end cell end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank end table
table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank equals blank end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank a end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank r end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank c end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank t end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank g end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell open parentheses square root of x squared minus 1 end root close parentheses end cell end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank minus end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank a end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank r end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank c end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank t end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank g end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell open parentheses 1 close parentheses end cell end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank equals blank end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank a end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank r end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank c end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank t end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank g end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell open parentheses square root of x squared minus 1 end root close parentheses end cell end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank minus end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell straight \pi over 4 end cell end table 

      gdzie w ostatniej równości skorzystano z faktu, że a r c t g \left parenthesis 1 right parenthesis equals straight \pi over 4 space b o space t g open parentheses straight \pi over 4 close parentheses equals 1.

      Tym samy  równanie 

      integral subscript square root of 2 end subscript superscript x fraction numerator 1 over denominator t square root of t squared minus 1 end root end fraction d t equals table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell straight \pi over 12 end cell end table 

      sprowadzamy do postaci 

      table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank a end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank r end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank c end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank t end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank g end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell open parentheses square root of x squared minus 1 end root close parentheses end cell end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank minus end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell straight \pi over 4 end cell end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank equals blank end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell straight \pi over 12 end cell end table.

      Rozwiązując dostaniemy

      table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank a end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank r end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank c end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank t end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank g end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell open parentheses square root of x squared minus 1 end root close parentheses end cell end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank minus end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell straight \pi over 4 end cell end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank equals blank end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell straight \pi over 12 end cell end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank end table
table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank a end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank r end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank c end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank t end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank g end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell open parentheses square root of x squared minus 1 end root close parentheses end cell end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank equals blank end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell straight \pi over 3 end cell end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank space end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank divided by end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank t end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank g end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell open parentheses horizontal ellipsis close parentheses end cell end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank end table
table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell square root of x squared minus 1 end root end cell end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank equals blank end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank t end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank g end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell straight \pi over 3 end cell end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank end table
table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell square root of x squared minus 1 end root end cell end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank equals blank end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell square root of 3 end cell end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank end table
table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank x end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell blank squared end cell end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank minus end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank 1 end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank equals blank end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank 3 end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank space end table
table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank x end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank equals blank end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank plus-or-minus end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank 2 end table

  47. patryk pisze:

    witam, mam problem z całkami : 1 ) integral fraction numerator ln x over denominator x hat 2 end fraction d x space2 ) integral fraction numerator 3 x cubed over denominator x to the power of 4 plus 1 end fractiondx 3 ) integral fraction numerator cos \left parenthesis ln x right parenthesis over denominator x end fraction d x4 ) integral fraction numerator d x over denominator 2 square root of 5 x plus 3 end root end fractionBARDZO PROSZĘ O POMOC !!!! 🙂 

    1. Mateusz pisze:

      1) open square brackets table row cell f \left parenthesis x right parenthesis equals ln x end cell cell f apostrophe \left parenthesis x right parenthesis equals 1 over x end cell row cell g apostrophe \left parenthesis x right parenthesis equals 1 over x squared end cell cell g \left parenthesis x right parenthesis equals negative 1 over x end cell end table close square brackets equals negative fraction numerator ln x over denominator x end fraction plus \integral 1 over x squared d x space equals space minus fraction numerator ln x over denominator x end fraction minus 1 over x plus c equals negative fraction numerator \left parenthesis ln x plus 1 right parenthesis over denominator x end fraction plus c2)open vertical bar table row cell u equals x to the power of 4 plus 1 end cell row cell d u equals 4 x cubed d x end cell end table close vertical bar equals \integral fraction numerator 3 x cubed over denominator u end fraction asterisk times fraction numerator d u over denominator 4 x cubed end fraction equals \integral fraction numerator 3 d u over denominator 4 u end fraction equals 3 over 4 \integral fraction numerator d u over denominator u end fraction equals 3 over 4 ln vertical line u vertical line plus c equals 3 over 4 ln vertical line x to the power of 4 plus 1 vertical line space plus c space equals space 3 over 4 ln \left parenthesis x to the power of 4 plus 1 right parenthesis plus c4)1 half \integral fraction numerator d x over denominator square root of 5 x plus 3 end root end fraction equals open vertical bar table row cell u equals 5 x space plus 3 end cell row cell d u equals 5 d x end cell end table close vertical bar equals 1 half \integral fraction numerator 1 over denominator square root of u end fraction asterisk times fraction numerator d u over denominator 5 end fraction equals 1 over 10 \integral u to the power of negative 1 half end exponent d u equals 1 over 10 asterisk times 2 asterisk times square root of u plus c equals 1 fifth square root of 5 x plus 3 end root plus c

  48. Kasia pisze:

    Proszę o pomoc 🙁 całka z 2^x*sin3x dx 

    1. integral 2 to the power of x times sin 3 x d x equals open square brackets \integral u times v apostrophe d x equals u times v minus \integral v times u apostrophe d x close square brackets equals open vertical bar table row cell u equals 2 to the power of x end cell cell u apostrophe equals 2 to the power of x times ln 2 d x end cell row cell v apostrophe equals sin 3 x d x end cell cell v equals negative 1 third cos 3 x end cell end table close vertical bar equals

      open square brackets t u colon space \integral sin 3 x d x equals open vertical bar table row cell 3 x equals t end cell row cell 3 d x equals d t end cell row cell d x equals fraction numerator d t over denominator 3 end fraction end cell end table close vertical bar equals \integral sin t times fraction numerator d t over denominator 3 end fraction equals 1 third \integral sin t d t equals 1 third times open parentheses negative cos t close parentheses equals negative 1 third cos 3 x close square brackets

      equals 2 to the power of x times open parentheses negative 1 third cos 3 x close parentheses minus \integral negative 1 third cos 3 x times 2 to the power of x times ln 2 d x equals

      negative 1 third times 2 to the power of x times cos 3 x plus 1 third ln 2 times \integral 2 to the power of x times cos 3 x d x equals

      negative 1 third times 2 to the power of x times cos 3 x plus open vertical bar table row cell u equals 2 to the power of x end cell cell u apostrophe equals 2 to the power of x times ln 2 d x end cell row cell v apostrophe equals cos 3 x d x end cell cell v equals 1 third sin 3 x end cell end table close vertical bar plus 1 third ln 2 times 2 to the power of x times 1 third sin 3 x minus

      negative 1 third ln 2 times \integral 1 third sin 3 x times 2 to the power of x times ln 2 d x equalsnegative 1 third times 2 to the power of x times cos 3 x plus 1 over 9 ln 2 times 2 to the power of x times sin 3 x minus

      negative 1 over 9 ln squared 2 times \integral 2 to the power of x times sin 3 x d x

      Niech integral 2 to the power of x times sin 3 x d x equals T. Wtedy

      T equals negative 1 third times 2 to the power of x times cos 3 x plus 1 over 9 ln 2 times 2 to the power of x times sin 3 x minus 1 over 9 ln squared 2 times T. Stąd:

      T plus 1 over 9 ln squared 2 times T equals negative 1 third times 2 to the power of x times cos 3 x plus 1 over 9 ln 2 times 2 to the power of x times sin 3 x space divided by times 9

      9 T plus ln squared 2 times T equals negative 3 times 2 to the power of x times cos 3 x plus ln 2 times 2 to the power of x times sin 3 x space rightwards double arrow

      T times open parentheses 9 plus ln squared 2 close parentheses equals 2 to the power of x times open parentheses negative 3 cos 3 x plus ln 2 times sin 3 x close parentheses space rightwards double arrow

      T equals fraction numerator 2 to the power of x times open parentheses negative 3 cos 3 x plus ln 2 times sin 3 x close parentheses over denominator 9 plus ln squared 2 end fraction space rightwards double arrow

      integral 2 to the power of x times sin 3 x d x equals fraction numerator negative 3 cos 3 x plus ln 2 times sin 3 x over denominator 9 plus ln squared 2 end fraction times 2 to the power of x plus C

  49. Mateusz pisze:

    Witam, mam problem z przeliczeniem całki integral fraction numerator cos open parentheses x close parentheses cubed over denominator sin open parentheses x close parentheses cubed end fraction. Proszę o pomoc 🙂  

    1. Wersja 2.

      integral fraction numerator cos open parentheses x cubed close parentheses over denominator sin open parentheses x cubed close parentheses end fraction d x

      Tej całki nie da się rozwiązać w funkcjach znanych.

  50. Szymon pisze:

    Witam, bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu całki z (1 + (2*sinx*cosx)^2)^(1/2) dx

  51. Kinga pisze:

    Witam, prosze o pomoc w rozwiązaniu zadania 17 z lekcji 2 z całek nieoznaczonych. sin(2 x^1/2)/x^1-2 dx

    1. Anna Zalewska pisze:

      Zastosujemy tu całkowanie przez podstawienie:integral fraction numerator sin open parentheses 2 square root of x close parentheses over denominator square root of x end fraction d x equals open vertical bar table row cell 2 square root of x equals t end cell row cell 2 times fraction numerator 1 over denominator 2 square root of x end fraction d x equals d t end cell row cell fraction numerator 1 over denominator square root of x end fraction d x equals d t end cell end table close vertical bar equals \integral sin t space d t equals negative cos t plus C equals negative cos open parentheses 2 square root of x close parentheses plus C 

  52. Witam, bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu całki z (x^4 – 1)/(x-1) dx.
    Z góry bardzo dziękuję 🙂

    1. Joanna Grochowska pisze:

      Tę całkę wymierną integral subscript blank fraction numerator x to the power of 4 minus 1 over denominator x minus 1 end fraction d x  można rozwiązać w ten sposób: 

  53. Budowniczy pisze:

    Witam. Proszę o pomoc z trudną dość całką.
    (1/x)*sinx Chodzi mi o wartości w punktach pi/2 oraz 0 (dla x=0 jak się nie mylę jest 0)

  54. FlyingBa pisze:

    mam Problem z całką cosx/(sin^3x+sinx) czy byłby mi ktoś w stanie pomóc? Proszę

    1. Anna Zalewska pisze:

      integral fraction numerator cos x over denominator sin cubed x plus sin x end fraction d x equals open vertical bar table row cell sin x equals t end cell row cell cos x space d x equals d t end cell end table close vertical bar equals \integral fraction numerator 1 over denominator t cubed plus t end fraction d t

      Wyznaczymy teraz rozkład na ułamki proste wyrażenia pod całką:

      fraction numerator 1 over denominator t cubed plus t end fraction equals fraction numerator 1 over denominator t open parentheses t squared plus 1 close parentheses end fraction equals A over t plus fraction numerator B t plus C over denominator t squared plus 1 end fraction

      fraction numerator 1 over denominator t cubed plus t end fraction equals fraction numerator A t squared plus A plus B t squared plus C t over denominator t open parentheses t squared plus 1 close parentheses end fraction

      1 equals A t squared plus A plus B t squared plus C t

      open curly brackets table row cell A plus B equals 0 end cell row cell C equals 0 end cell row cell A equals 1 end cell end table close

      open curly brackets table row cell A equals 1 end cell row cell B equals negative 1 end cell row cell C equals 0 end cell end table close

      fraction numerator 1 over denominator t cubed plus t end fraction equals 1 over t plus fraction numerator negative t over denominator t squared plus 1 end fraction

      integral fraction numerator 1 over denominator t cubed plus t end fraction d t equals \integral open parentheses 1 over t plus fraction numerator negative t over denominator t squared plus 1 end fraction close parentheses d t equals \integral 1 over t d t minus \integral fraction numerator t over denominator t squared plus 1 end fraction d t equals

      equals open vertical bar table row cell t squared plus 1 equals u end cell row cell 2 t space d t equals d u end cell row cell t space d t equals begin inline style 1 half end style d u end cell end table close vertical bar equals ln open vertical bar t close vertical bar minus begin inline style 1 half end style \integral 1 over u d u equals ln open vertical bar t close vertical bar minus begin inline style 1 half end style ln open vertical bar u close vertical bar plus C equals

      equals ln open vertical bar t close vertical bar minus begin inline style 1 half end style ln open vertical bar t squared plus 1 close vertical bar plus C equals ln open vertical bar sin x close vertical bar minus begin inline style 1 half end style ln open vertical bar sin squared x plus 1 close vertical bar plus C

       

      W kalkulatorze całek wychodzi wynik: ln open vertical bar sin x close vertical bar minus begin inline style 1 half end style ln open vertical bar 3 minus cos open parentheses 2 x close parentheses close vertical bar plus C

      Oba te wyniki są ze sobą tożsame. Można dokonać następujących przekształceń:

      ln open vertical bar sin x close vertical bar minus begin inline style 1 half end style ln open vertical bar 3 minus cos open parentheses 2 x close parentheses close vertical bar plus C equals ln open vertical bar sin x close vertical bar minus begin inline style 1 half end style ln open vertical bar 3 minus \left parenthesis 1 minus 2 sin squared x right parenthesis close vertical bar plus C equals

      equals ln open vertical bar sin x close vertical bar minus begin inline style 1 half end style ln open vertical bar 2 sin squared x plus 2 close vertical bar plus C equals ln open vertical bar sin x close vertical bar minus begin inline style 1 half end style ln open vertical bar 2 open parentheses sin squared x plus 1 close parentheses close vertical bar plus C equals

      equals ln open vertical bar sin x close vertical bar minus begin inline style 1 half end style ln open vertical bar 2 close vertical bar minus begin inline style 1 half end style ln open vertical bar sin squared x plus 1 close vertical bar plus C equals ln open vertical bar sin x close vertical bar minus begin inline style 1 half end style ln open vertical bar sin squared x plus 1 close vertical bar plus C subscript 1,

      gdzie C subscript 1 equals negative begin inline style 1 half end style ln open vertical bar 2 close vertical bar plus C.

  55. moltoallegro pisze:

    pan jest boski <3

  56. TS pisze:

    Witam czy mógłby ktoś mi pomoc z rozwiazaniem całki x^3ln(x^2+3)

    1. Joanna Grochowska pisze:

      integral x cubed ln open parentheses x squared plus 3 close parentheses d x

      Całkuję przez części:

      integral x cubed ln open parentheses x squared plus 3 close parentheses d x space equals space open vertical bar table row cell u equals ln open parentheses x squared plus 3 close parentheses space space space end cell cell v apostrophe equals x cubed end cell row cell u apostrophe equals fraction numerator 1 over denominator x squared plus 3 end fraction times 2 x space space space end cell cell v equals 1 fourth x to the power of 4 end cell end table close vertical bar equals

      equals 1 fourth x to the power of 4 times ln open parentheses x squared plus 3 close parentheses minus integral 1 fourth x to the power of 4 times fraction numerator 2 x over denominator x squared plus 3 end fraction d x equals 1 fourth x to the power of 4 ln open parentheses x squared plus 3 close parentheses minus 1 half integral fraction numerator x to the power of 5 over denominator x squared plus 3 end fraction d x equals...

      Rozpisuję na boku całkę wymierną:

      integral fraction numerator x to the power of 5 over denominator x squared plus 3 end fraction d x equals integral fraction numerator open parentheses x squared close parentheses squared times x over denominator x squared plus 3 end fraction d x equals open vertical bar table row cell t equals x squared end cell row cell d t equals 2 x d x end cell row cell 1 half d t equals x d x end cell end table close vertical bar equals integral 1 half fraction numerator t squared over denominator t plus 3 end fraction d t equals 1 half integral fraction numerator t squared over denominator t plus 3 end fraction d t equals

      Dzielę licznik przez mianownik pisemnie:

      bottom enclose space space space t space minus space 3 end enclose
space space space t squared space space space space space space space colon space space left parenthesis t plus 3 right parenthesis
bottom enclose negative t squared minus 3 t end enclose
space space space space space space minus 3 t
space space space space space bottom enclose space space space 3 t space plus 9 end enclose
space space space space space space space space space space space space space space space 9

      Wracając do całki wymiernej:

      equals 1 half integral fraction numerator t squared over denominator t plus 3 end fraction d t equals 1 half integral fraction numerator open parentheses t plus 3 close parentheses open parentheses t minus 3 close parentheses plus 9 over denominator t plus 3 end fraction d t equals 1 half integral open parentheses fraction numerator open parentheses t plus 3 close parentheses open parentheses t minus 3 close parentheses over denominator t plus 3 end fraction plus fraction numerator 9 over denominator t plus 3 end fraction close parentheses d t equals

      equals 1 half integral open parentheses t minus 3 plus fraction numerator 9 over denominator t plus 3 end fraction close parentheses d t equals 1 half open parentheses integral t space d t minus integral 3 space d t plus integral fraction numerator 9 over denominator t plus 3 end fraction d t close parentheses equals

      equals 1 half open parentheses 1 half t squared minus 3 t plus 9 space ln open vertical bar t plus 3 close vertical bar plus C close parentheses equals 1 fourth t squared minus 3 over 2 t plus 9 over 2 space ln open vertical bar t plus 3 close vertical bar plus C equals

      equals 1 fourth x to the power of 4 minus 3 over 2 x squared plus 9 over 2 space ln open vertical bar x squared plus 3 close vertical bar plus C

      Bo jedna z całek została obliczona przez podstawienie

      integral fraction numerator 9 over denominator t plus 3 end fraction d t equals 9 integral fraction numerator 1 over denominator t plus 3 end fraction d t equals open vertical bar table row cell u equals t plus 3 end cell row cell d u space equals space d t end cell end table close vertical bar equals 9 integral 1 over u d u equals 9 times ln open vertical bar u close vertical bar plus C equals 9 ln open vertical bar t plus 3 close vertical bar plus C

      Mam więc ostatecznie:

      ... equals 1 fourth x to the power of 4 ln open parentheses x squared plus 3 close parentheses minus 1 half open parentheses 1 fourth x to the power of 4 minus 3 over 2 x squared plus 9 over 2 space ln open vertical bar x squared plus 3 close vertical bar plus C close parentheses equals

      equals 1 fourth x to the power of 4 ln open parentheses x squared plus 3 close parentheses minus 1 over 8 x to the power of 4 plus 3 over 4 x squared minus 9 over 4 space ln open vertical bar x squared plus 3 close vertical bar plus C equals

      equals 1 over 8 open parentheses 2 x to the power of 4 ln open parentheses x squared plus 3 close parentheses minus x to the power of 4 plus 6 x squared minus 18 space ln open vertical bar x squared plus 3 close vertical bar plus C close parentheses equals

      equals 1 over 8 open square brackets open parentheses 2 x to the power of 4 minus 18 close parentheses ln open parentheses x squared plus 3 close parentheses minus x squared open parentheses x to the power of 4 minus 6 close parentheses close square brackets plus C

  57. damian pisze:

    witam mam do rozwiązania dwie calki:)
    1 calka to : ln^2x/x
    2 calka to: (x^2-2)/(x^2+1)

    1. damian pisze:

      czy ktoś pomoze?

    2. Joanna Grochowska pisze:

      Całka pierwsza: \displaystyle \int{{\frac{{{{{\ln }}^{2}}x}}{x}}}dx

      \displaystyle \int{{\frac{{{{{\ln }}^{2}}x}}{x}}}dx=\left| {\begin{matrix} t=\ln x \\ dt=\frac{1}{x}dx \end{matrix}} \right|=\int{{{{t}^{2}}}}dt=\frac{1}{3}{{t}^{3}}+C=\frac{1}{3}{{\ln }^{3}}x+C

    3. Joanna Grochowska pisze:

      Całka druga: \displaystyle \int{{\frac{{{{x}^{2}}-2}}{{{{x}^{2}}+1}}}}dx

      \displaystyle \int{{\frac{{{{x}^{2}}-2}}{{{{x}^{2}}+1}}}}dx=\int{{\frac{{{{x}^{2}}+1-3}}{{{{x}^{2}}+1}}}}dx=\int{{\left( {\frac{{{{x}^{2}}+1}}{{{{x}^{2}}+1}}-\frac{3}{{{{x}^{2}}+1}}} \right)}}dx=
      \displaystyle =\int{{1dx-3\int{{\frac{1}{{{{x}^{2}}+1}}}}}}dx=x-3\cdot arctgx+C

  58. bół pisze:

    zapis w kalkulatorze calek log(x) to jest logarytm naturalny czy dziesiętny??

    1. Joanna Grochowska pisze:

      log(x) oznaczany jest przez WolframAlpha jako logarytm naturalny.
      Logarytm przy podstawie dziesiętnej to log_10(x) .

    2. BÓŁ pisze:

      dzieki

  59. zolty pawel pisze:

    Wydaje mi się ze kalkulator zle liczy calki z f wymiernych. np takie \integral 1/((x^2+1)(x^2+4))
    wychodzi mi (1/3) arctgx +(-1/6) arctg(x/2) przy czym kalkulator daje mi w wyniku 2/x
    sprawdzałem w wolframie wszystko i rozbicie na ulamki proste i pojedyncze calki z tych ulamkow i suma ich była rozna niż calka z całej f wymiennej. Jakies wskazówki? Dziekuje 😉

    1. Ryhor Abramovich pisze:

      integral fraction numerator d x over denominator open parentheses x squared plus 1 close parentheses open parentheses x squared plus 4 close parentheses end fraction

      Rozwiązanie:

      Najpierw przedstawiamy ten ułamek jako sumę ułamków prostych:

      fraction numerator 1 over denominator open parentheses x squared plus 1 close parentheses open parentheses x squared plus 4 close parentheses end fraction equals fraction numerator A x plus B over denominator x squared plus 1 end fraction plus fraction numerator C x plus D over denominator x squared plus 4 end fraction space divided by times open parentheses x squared plus 1 close parentheses open parentheses x squared plus 4 close parentheses

      1 equals open parentheses A x plus B close parentheses open parentheses x squared plus 4 close parentheses plus open parentheses C x plus D close parentheses open parentheses x squared plus 1 close parentheses

      1 equals A x cubed plus 4 A x plus B x squared plus 4 B plus C x cubed plus C x plus D x squared plus D

      1 equals open parentheses A plus C close parentheses x cubed plus open parentheses B plus D close parentheses x squared plus open parentheses 4 A plus C close parentheses x plus open parentheses 4 B plus D close parentheses

      open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell A plus C equals 0 end cell row cell B plus D equals 0 end cell row cell 4 A plus C equals 0 end cell row cell 4 B plus D equals 1 end cell end table close

      Odejmując od trzeciego równania pierwsze, otrzymamy: 3 A equals 0, czyli A equals 0. Podstawiając ten wynik do pierwszego równania, mamy C equals 0. Analogiczne, odejmując od czwarztego równania drugie, mamy 3 B equals 1. Stąd B equals 1 third comma space D equals negative 1 third.

      W takim razie,

      fraction numerator 1 over denominator open parentheses x squared plus 1 close parentheses open parentheses x squared plus 4 close parentheses end fraction equals fraction numerator A x plus B over denominator x squared plus 1 end fraction plus fraction numerator C x plus D over denominator x squared plus 4 end fraction equals fraction numerator 0 times x plus begin display style 1 third end style over denominator x squared plus 1 end fraction plus fraction numerator 0 times x minus begin display style 1 third end style over denominator x squared plus 4 end fraction equals

      1 third times fraction numerator 1 over denominator x squared plus 1 end fraction minus 1 third times fraction numerator 1 over denominator x squared plus 4 end fraction

      (Oczywiście, ten samy wynik można było otrzymać szybciej w sposób trochę stuczny:

      fraction numerator 1 over denominator open parentheses x squared plus 1 close parentheses open parentheses x squared plus 4 close parentheses end fraction equals 1 third times fraction numerator 3 over denominator open parentheses x squared plus 1 close parentheses open parentheses x squared plus 4 close parentheses end fraction equals 1 third times fraction numerator open parentheses x squared plus 4 close parentheses minus open parentheses x squared plus 1 close parentheses over denominator open parentheses x squared plus 1 close parentheses open parentheses x squared plus 4 close parentheses end fraction equals

      equals 1 third times open parentheses fraction numerator 1 over denominator x squared plus 1 end fraction minus fraction numerator 1 over denominator x squared plus 4 end fraction close parentheses equals 1 third times fraction numerator 1 over denominator x squared plus 1 end fraction minus 1 third times fraction numerator 1 over denominator x squared plus 4 end fraction )

      Wracamy do całki i liczymy ją, korzystając ze wzoru:

      integral fraction numerator d x over denominator x squared plus a squared end fraction equals 1 over a times a r c t g x over a plus C

      Mamy:

      integral fraction numerator d x over denominator open parentheses x squared plus 1 close parentheses open parentheses x squared plus 4 close parentheses end fraction equals integral open parentheses 1 third times fraction numerator 1 over denominator x squared plus 1 end fraction minus 1 third times fraction numerator 1 over denominator x squared plus 4 end fraction close parentheses d x equals

      equals 1 third integral fraction numerator d x over denominator x squared plus 1 squared end fraction minus 1 third integral fraction numerator d x over denominator x squared plus 2 squared end fraction equals 1 third times 1 over 1 times a r c t g x over 1 minus 1 third times 1 half times a r c t g x over 2 plus C equals

      1 third a r c t g x minus 1 over 6 a r c t g x over 2 plus C

  60. Mateusz pisze:

    Witam. mam do policzenia objętość bryły. Mam obliczyć objętość bryły utworzonych przez obrót dookoła osi OX krzywych: y=1-x^2 i y=x^2+2.

  61. magda pisze:

    Witam Panie Krystianie! mam problem z jedną całką a mianowicie (1+e^x)^(1/2) proszę o pomoc w środę mam egzamin.

    1. Anna Zalewska pisze:

      Zastosujemy tu całkowanie przez podstawienie wraz z pewnymi przekształceniami:integral square root of 1 plus e to the power of x end root d x equals open vertical bar table row cell square root of 1 plus e to the power of x end root equals t end cell row cell 1 plus e to the power of x equals t squared end cell row cell e to the power of x equals t squared minus 1 end cell end table close vertical bar open vertical bar table row cell e to the power of x d x equals 2 t space d t end cell row cell open parentheses t squared minus 1 close parentheses d x equals 2 t space d t end cell row cell d x equals fraction numerator 2 t over denominator t squared minus 1 end fraction d t end cell end table close vertical bar equals \integral t times fraction numerator 2 t over denominator t squared minus 1 end fraction d t equalsequals 2 \integral fraction numerator t squared over denominator t squared minus 1 end fraction d t equals 2 \integral fraction numerator t squared minus 1 plus 1 over denominator t squared minus 1 end fraction d t equals 2 \integral open parentheses fraction numerator t squared minus 1 over denominator t squared minus 1 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator t squared minus 1 end fraction close parentheses d t equalsequals 2 \integral open parentheses 1 plus fraction numerator 1 over denominator t squared minus 1 end fraction close parentheses d t equals 2 \integral 1 d t plus 2 \integral fraction numerator 1 over denominator t squared minus 1 end fraction d t equals 2 t plus 2 times begin inline style 1 half end style ln open vertical bar fraction numerator t minus 1 over denominator t plus 1 end fraction close vertical bar plus C equalsequals 2 t plus ln open vertical bar fraction numerator t minus 1 over denominator t plus 1 end fraction close vertical bar plus C equals 2 square root of 1 plus e to the power of x end root plus ln open vertical bar fraction numerator square root of 1 plus e to the power of x end root minus 1 over denominator square root of 1 plus e to the power of x end root plus 1 end fraction close vertical bar plus CWynik w kalkulatorze wychodzi w postaci:  integral square root of 1 plus e to the power of x end root d x equals 2 square root of 1 plus e to the power of x end root minus 2 tan h to the power of negative 1 end exponent open parentheses square root of 1 plus e to the power of x end root close parentheses plus CPo zastosowaniu wzoru      tan h to the power of negative 1 end exponent x equals begin inline style 1 half end style ln fraction numerator 1 plus x over denominator 1 minus x end fraction semicolon space minus 1 less than x less than 1   wynik z kalkulatora całek zgadza się z tym przedstawionym powyżej. 

  62. ŁK pisze:

    Cześć jak byś miał chwile i rozpisał mi jak rozwiązać całkę z xcos(5x) , liczę juz 3 strony i końca nie widać.

    1. Anna Zalewska pisze:

      Zastosujemy tu całkowanie przez części:integral x space cos \left parenthesis 5 x right parenthesis space d x equals open vertical bar table row cell u equals x end cell cell v apostrophe equals cos \left parenthesis 5 x right parenthesis end cell row cell u apostrophe equals 1 end cell cell v equals begin inline style 1 fifth end style sin \left parenthesis 5 x right parenthesis end cell end table close vertical bar equals begin inline style 1 fifth end style x space sin \left parenthesis 5 x right parenthesis minus \integral begin inline style open square brackets 1 fifth sin \left parenthesis 5 x right parenthesis close square brackets end style d x equalsequals begin inline style 1 fifth end style x space sin \left parenthesis 5 x right parenthesis minus begin inline style 1 fifth end style begin inline style open square brackets negative 1 fifth cos \left parenthesis 5 x right parenthesis close square brackets end style plus C equals begin inline style 1 fifth end style begin inline style x end style begin inline style space end style begin inline style sin end style begin inline style \left parenthesis end style begin inline style 5 end style begin inline style x end style begin inline style right parenthesis end style begin inline style plus end style begin inline style 1 over 25 end style begin inline style c os \left parenthesis 5 x right parenthesis end style begin inline style plus end style begin inline style C end styleZauważmy, że integral cos \left parenthesis 5 x right parenthesis d x equals begin inline style 1 fifth end style sin \left parenthesis 5 x right parenthesis plus C oraz integral sin \left parenthesis 5 x right parenthesis d x equals negative begin inline style 1 fifth end style cos \left parenthesis 5 x right parenthesis plus C. Można to wykazać stosując całkowanie przez podstawienie.

  63. Adam pisze:

    Nie mogę rozwiązać przykładu 21 z zadania domowego całek nieoznaczonych wymiernych, czyli
    (8x^3)/(x+1)^4.
    Proszę o pomoc

    1. Adam pisze:

      dobra, nieważne. Juz zrobilem 😀

    2. Anna Zalewska pisze:

      Mamy do obliczenia następującą całkę: integral fraction numerator 8 x cubed over denominator \left parenthesis x plus 1 right parenthesis to the power of 4 end fraction d x.

      Zastosujemy tutaj rozkład na ułamki proste.

      fraction numerator 8 x cubed over denominator \left parenthesis x plus 1 right parenthesis to the power of 4 end fraction equals fraction numerator A over denominator x plus 1 end fraction plus B over open parentheses x plus 1 close parentheses squared plus C over open parentheses x plus 1 close parentheses cubed plus D over open parentheses x plus 1 close parentheses to the power of 4

      fraction numerator 8 x cubed over denominator \left parenthesis x plus 1 right parenthesis to the power of 4 end fraction equals fraction numerator A \left parenthesis x plus 1 right parenthesis cubed plus B open parentheses x plus 1 close parentheses squared plus C \left parenthesis x plus 1 right parenthesis plus D over denominator open parentheses x plus 1 close parentheses to the power of 4 end fraction8 x cubed equals A x cubed plus 3 A x squared plus 3 A x plus A plus B x squared plus 2 B x plus B plus C x plus C plus D

      A equals 8

      3 A plus B equals 0 comma space space space space space space space B equals negative 24

      3 A plus 2 B plus C equals 0 comma space space space space space C equals 24

      A plus B plus C plus D equals 0 comma space space space space space D equals negative 8

      fraction numerator 8 x cubed over denominator \left parenthesis x plus 1 right parenthesis to the power of 4 end fraction equals fraction numerator 8 over denominator x plus 1 end fraction plus fraction numerator negative 24 over denominator open parentheses x plus 1 close parentheses squared end fraction plus 24 over open parentheses x plus 1 close parentheses cubed plus fraction numerator negative 8 over denominator open parentheses x plus 1 close parentheses to the power of 4 end fraction

      integral fraction numerator 8 x cubed over denominator \left parenthesis x plus 1 right parenthesis to the power of 4 end fraction d x equals \integral fraction numerator 8 over denominator x plus 1 end fraction d x plus \integral fraction numerator negative 24 over denominator open parentheses x plus 1 close parentheses squared end fraction d x plus \integral 24 over open parentheses x plus 1 close parentheses cubed d x plus \integral fraction numerator negative 8 over denominator open parentheses x plus 1 close parentheses to the power of 4 end fraction d x equals

      equals 8 ln open vertical bar x plus 1 close vertical bar minus 24 times open parentheses negative fraction numerator 1 over denominator x plus 1 end fraction close parentheses plus 24 times open parentheses negative 1 half times 1 over open parentheses x plus 1 close parentheses squared close parentheses minus 8 times open parentheses negative 1 third times 1 over open parentheses x plus 1 close parentheses cubed close parentheses plus C equals

      equals 8 ln open vertical bar x plus 1 close vertical bar plus fraction numerator 24 over denominator x plus 1 end fraction minus 12 over open parentheses x plus 1 close parentheses squared plus fraction numerator 8 over denominator 3 open parentheses x plus 1 close parentheses cubed end fraction plus C equals

      equals 8 ln open vertical bar x plus 1 close vertical bar plus fraction numerator 24 times 3 times open parentheses x plus 1 close parentheses squared minus 12 times 3 times \left parenthesis x plus 1 right parenthesis plus 8 over denominator 3 open parentheses x plus 1 close parentheses cubed end fraction plus C equals

      equals 8 ln open vertical bar x plus 1 close vertical bar plus fraction numerator 72 x squared plus 144 x plus 72 minus 36 x minus 36 plus 8 over denominator 3 open parentheses x plus 1 close parentheses cubed end fraction plus C equals

      equals 8 ln open vertical bar x plus 1 close vertical bar plus fraction numerator 72 x squared plus 108 x plus 44 over denominator 3 open parentheses x plus 1 close parentheses cubed end fraction plus C equals

  64. Agnieszka pisze:

    mam problem z taką całką: a^-x dx. Mógłbyś mi pomóc, nie korzystajac z Wolframa?

    1. Ryhor Abramovich pisze:

      integral a to the power of negative x end exponent d x

      Rozwiązanie:

      Liczymy to przez podstawienie:

      integral a to the power of negative x end exponent d x equals open square brackets table row cell t equals negative x end cell row cell d t equals negative d x end cell row cell negative d t equals d x end cell end table close square brackets equals \integral a to the power of t open parentheses negative d t close parentheses equals negative \integral a to the power of t d t equals negative fraction numerator a to the power of t over denominator ln a end fraction plus C equals negative fraction numerator a to the power of negative x end exponent over denominator ln a end fraction plus C

      Np, dla a=2 mamy:

      integral 2 to the power of negative x end exponent d x equals negative fraction numerator 2 to the power of negative x end exponent over denominator ln 2 end fraction plus C equals negative fraction numerator 1 over denominator 2 to the power of x times ln 2 end fraction plus C

       

  65. Agata Hopko pisze:

    mam problem : oblicz funkcje pierwotna f(x)=ln(x+1)

    1. Anna Zalewska pisze:

      integral ln open parentheses x plus 1 close parentheses d x

      Zastosujemy tu całkowanie przez części.

      integral ln open parentheses x plus 1 close parentheses d x equals \integral ln open parentheses x plus 1 close parentheses times 1 d x equals open vertical bar table row cell u equals ln open parentheses x plus 1 close parentheses end cell cell v apostrophe equals 1 end cell row cell u apostrophe equals fraction numerator 1 over denominator x plus 1 end fraction end cell cell v equals x end cell end table close vertical bar equals

      equals x times ln open parentheses x plus 1 close parentheses minus \integral fraction numerator x over denominator x plus 1 end fraction d x equals x times ln open parentheses x plus 1 close parentheses minus \integral fraction numerator x plus 1 minus 1 over denominator x plus 1 end fraction d x equals

      equals x times ln open parentheses x plus 1 close parentheses minus \integral open parentheses 1 minus fraction numerator 1 over denominator x plus 1 end fraction close parentheses d x equals x times ln open parentheses x plus 1 close parentheses minus x plus ln open parentheses x plus 1 close parentheses plus C equals

      equals open parentheses x plus 1 close parentheses times ln open parentheses x plus 1 close parentheses minus x plus C

  66. Ala pisze:

    Mam problem z rozwiązaniem całki z 1 lekcji przykład 18 z zadania domowego: 4-x^2/x√x , mogę prosić o pomoc w rozwiazaniu ?

    1. Anna Zalewska pisze:

      Zastosujemy całkowanie przez podstawienie. Można ułatwić sobie podnosząc obustronnie \square root of x equals t do kwadratu.integral fraction numerator 4 minus x squared over denominator x square root of x end fraction d x equals open vertical bar table row cell square root of x equals t end cell row cell x equals t squared end cell row cell d x equals 2 t space d t end cell end table close vertical bar equals \integral fraction numerator 4 minus t to the power of 4 over denominator t cubed end fraction times 2 t space d t equalsequals 2 \integral fraction numerator 4 t minus t to the power of 5 over denominator t cubed end fraction d t equals 2 \integral fraction numerator 4 t over denominator t cubed end fraction d t minus 2 \integral t to the power of 5 over t cubed d t equals 8 \integral 1 over t squared d t minus 2 \integral t squared d t equalsequals 8 times open parentheses negative t to the power of negative 1 end exponent close parentheses minus 2 times begin inline style 1 third end style t cubed plus C equals negative 8 open parentheses x to the power of begin inline style 1 half end style end exponent close parentheses to the power of negative 1 end exponent minus begin inline style 2 over 3 end style open parentheses x to the power of begin inline style 1 half end style end exponent close parentheses cubed plus C equalsequals negative 8 x to the power of negative begin inline style 1 half end style end exponent minus begin inline style 2 over 3 end style x to the power of begin inline style 3 over 2 end style end exponent plus C

  67. Peti pisze:

    Witam

    Mam problem z całką z dx/(4 + 3sinx). Zgodnie z poleceniem muszę ją rozwiązać przy pomocy podstawienia tg(x/2) = t. Takim sposobem dochodzę do całki z dt/(2(t^2) + 3t + 2). W tym miejscu zaczynają się problemy, bo w rozwiązaniu jest wynik: (2/(7^1/2))*arctg((4t+3/(7^1/2)). Mi natomiast wychodzi ((7^1/2)/2) * arctg((4t+3/(7^1/2)). Nie mam pojęcia czy to ja robię błąd, czy może podana odpowiedź jest nieprawidłowa. Proszę o pomoc!!

    Z góry dzięki wszystkim, pozdrawiam.

    1. Ryhor Abramovich pisze:

      integral fraction numerator d x over denominator 4 plus 3 sin x end fraction

      Rozwiązanie:

      integral fraction numerator d x over denominator 4 plus 3 sin x end fraction equals open vertical bar table row cell t g x over 2 equals t end cell row cell sin x equals fraction numerator 2 t over denominator 1 plus t squared end fraction end cell row cell d x equals fraction numerator 2 d t over denominator 1 plus t squared end fraction end cell end table close vertical bar equals \integral fraction numerator begin display style fraction numerator 2 d t over denominator 1 plus t squared end fraction end style over denominator 4 plus 3 times begin display style fraction numerator 2 t over denominator 1 plus t squared end fraction end style end fraction equals

      equals \integral fraction numerator begin display style fraction numerator 2 d t over denominator 1 plus t squared end fraction end style over denominator begin display style fraction numerator 4 times open parentheses 1 plus t squared close parentheses plus 3 times 2 t over denominator 1 plus t squared end fraction end style end fraction equals \integral fraction numerator 2 d t over denominator 1 plus t squared end fraction times fraction numerator 1 plus t squared over denominator 4 plus 4 t squared plus 6 t end fraction equals \integral fraction numerator 2 d t over denominator 4 t squared plus 6 t plus 4 end fraction equals

      equals integral fraction numerator d t over denominator 2 t squared plus 3 t plus 2 end fraction equals integral fraction numerator d t over denominator 2 space open parentheses t squared plus begin display style 3 over 2 end style t plus 1 close parentheses end fraction equals 1 half integral fraction numerator d t over denominator t squared plus 2 times t times begin display style 3 over 4 end style plus open parentheses begin display style 3 over 4 end style close parentheses squared minus open parentheses begin display style 3 over 4 end style close parentheses squared plus 1 end fraction equals

      1 half \integral fraction numerator d t over denominator open parentheses t plus begin display style 3 over 4 end style close parentheses squared plus begin display style 7 over 16 end style end fraction equals open vertical bar table row cell t plus 3 over 4 equals u end cell row cell d t equals d u end cell end table close vertical bar equals 1 half \integral fraction numerator d u over denominator u squared plus begin display style 7 over 16 end style end fraction equals

      equals 1 half \integral fraction numerator d u over denominator u squared plus open parentheses begin display style fraction numerator square root of 7 over denominator 4 end fraction end style close parentheses squared end fraction equals 1 half times fraction numerator 1 over denominator begin display style fraction numerator square root of 7 over denominator 4 end fraction end style end fraction times a r c t g fraction numerator u over denominator begin display style fraction numerator square root of 7 over denominator 4 end fraction end style end fraction plus C equals

      equals fraction numerator 2 over denominator square root of 7 end fraction times a r c t g fraction numerator 4 u over denominator square root of 7 end fraction plus C equals fraction numerator 2 over denominator square root of 7 end fraction times a r c t g fraction numerator 4 times open parentheses t plus begin display style 3 over 4 end style close parentheses over denominator square root of 7 end fraction plus C equals

      fraction numerator 2 over denominator square root of 7 end fraction times a r c t g fraction numerator 4 t plus 3 over denominator square root of 7 end fraction plus C equals fraction numerator 2 over denominator square root of 7 end fraction times a r c t g fraction numerator 4 times t g begin display style x over 2 end style plus 3 over denominator square root of 7 end fraction plus C

  68. Żaneta pisze:

    prosze o pomoc w obliczeniu całki z e^(x^2) dziękuję z góry

  69. Kasia pisze:

    Mam problem z całkami prosiabym o rozwiązanie:
    (2x^-1,2+3x^-0,8-5x^0,4)
    x+2x^2/pierwiastek 3stopnia z x
    x^2*e^4x^3-7
    x^3ln

    1. Kasia pisze:

      osttania całka ma być
      x^3lnx

  70. Przemo pisze:

    Mam problem z taką całką √x/(√x-1)

    1. Anna Zalewska pisze:

      Całkę integral fraction numerator square root of x over denominator square root of x minus 1 end fraction d x najlepiej scałkować przez podstawienie.integral fraction numerator square root of x over denominator square root of x minus 1 end fraction d x equals open vertical bar table row cell square root of x equals t end cell row cell x equals t squared end cell row cell d x equals 2 t space d t end cell end table close vertical bar equals \integral fraction numerator t over denominator t minus 1 end fraction 2 t space d t equals 2 \integral fraction numerator t squared over denominator t minus 1 end fraction d t equalsequals 2 \integral fraction numerator t squared minus 1 plus 1 over denominator t minus 1 end fraction d t equals 2 \integral open parentheses fraction numerator t squared minus 1 over denominator t minus 1 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator t minus 1 end fraction close parentheses d t equals 2 \integral open parentheses fraction numerator open parentheses t minus 1 close parentheses open parentheses t plus 1 close parentheses over denominator t minus 1 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator t minus 1 end fraction close parentheses d t equalsequals 2 \integral open parentheses t plus 1 plus fraction numerator 1 over denominator t minus 1 end fraction close parentheses d t equals 2 open parentheses 1 half t squared plus t plus ln open vertical bar t minus 1 close vertical bar close parentheses plus C equals t squared plus 2 t plus 2 ln open vertical bar t minus 1 close vertical bar plus C equalsequals x plus 2 square root of x plus 2 ln open vertical bar square root of x minus 1 close vertical bar plus C

  71. Marta12 pisze:

    Witam. Mam problem z całką z nr3 z lekcji piątej 🙁 x/(x^2 + 1/2x – 3/16)

    1. Anna Zalewska pisze:

      Mamy do obliczenia całkę integral fraction numerator x over denominator x squared plus 1 half x minus 3 over 16 end fraction d x.Zaczniemy od obliczenia miejsc zerowych mianownika.capital delta equals open parentheses begin inline style 1 half end style close parentheses squared minus 4 times 1 times open parentheses negative begin inline style 3 over 16 end style close parentheses equals begin inline style 1 fourth end style plus begin inline style 3 over 4 end style equals 1\square root of capital delta equals 1x subscript 1 equals fraction numerator negative 1 half plus 1 over denominator 2 end fraction equals 1 fourth semicolon space x subscript 2 equals end subscript fraction numerator negative 1 half minus 1 over denominator 2 end fraction equals negative 3 over 4Zastosujemy teraz rozkład na ułamki proste:fraction numerator x over denominator x squared plus 1 half x minus 3 over 16 end fraction equals fraction numerator A over denominator x minus 1 fourth end fraction plus fraction numerator B over denominator x plus 3 over 4 end fraction equals fraction numerator A open parentheses x plus 3 over 4 close parentheses plus B open parentheses x minus 1 fourth close parentheses over denominator open parentheses x minus 1 fourth close parentheses open parentheses x plus 3 over 4 close parentheses end fractionx equals A open parentheses x plus 3 over 4 close parentheses plus B open parentheses x minus 1 fourth close parenthesesx equals A x plus 3 over 4 A plus B x minus 1 fourth BPorównujemy współczynniki przy odpowiednich potęgach x.open curly brackets table attributes columnalign \left end attributes row cell A plus B equals 1 end cell row cell begin inline style 3 over 4 end style A minus begin inline style 1 fourth end style B equals 0 space space space space space divided by times 4 end cell end table closeopen curly brackets table attributes columnalign \left end attributes row cell A plus B equals 1 end cell row cell 3 A minus B equals 0 end cell end table close4 A equals 1A equals begin inline style 1 fourth end style semicolon space B equals begin inline style 3 over 4 end styleMamy zatem: integral fraction numerator x over denominator x squared plus 1 half x minus 3 over 16 end fraction d x equals \integral open parentheses fraction numerator 1 fourth over denominator x minus 1 fourth end fraction plus fraction numerator 3 over 4 over denominator x plus 3 over 4 end fraction close parentheses d x equalsequals 1 fourth \integral fraction numerator 1 over denominator x minus 1 fourth end fraction d x plus 3 over 4 \integral fraction numerator 1 over denominator x plus 3 over 4 end fraction d x equals equals 1 fourth ln open vertical bar x minus 1 fourth close vertical bar plus 3 over 4 ln open vertical bar x plus 3 over 4 close vertical bar plus C

  72. Ela pisze:

    potrzebna mi całka cbrt{0,00027698913*(x^5+3x^4+3x^3+3x^2)}

  73. Norbert Turoń pisze:

    Witam, mógłby mi ktoś pomóc z całką (2^x)/((1-4^x)^1/2)??

  74. Iga pisze:

    Witam,
    Mam problem z policzeniem całki z zadania domowego:
    e^(x^1/3)
    Będę wdzięczna za pomoc.
    Pozdrawiam

    1. Joanna Grochowska pisze:

      Całka nr 13 z Zadania Domowego Lekcja 4:

      \int {{e}^{{\sqrt[3]{x}}}}~dx=\int {{e}^{{{{x}^{{\frac{1}{3}}}}}}}~dx

      Najpierw stosuję podstawienie:

      \int {{e}^{{{{x}^{{\frac{1}{3}}}}}}}~dx=\| {\begin{matrix} {{x}^{{\frac{1}{3}}}}=t \\ \frac{1}{3}{{x}^{{-\frac{2}{3}}}}dx=dt~~~/\cdot 3{{x}^{{\frac{2}{3}}}}~~ \\ dx=3{{x}^{{\frac{1}{3}\cdot 2}}}dt=3{{t}^{2}}dt \end{matrix}} \|=\int 3{{t}^{2}}{{e}^{t}}~dx~~=~~

      Obliczam całkę przez części:

      =3\int {{t}^{2}}\cdot {{e}^{t}}~dx~~=\| {\begin{matrix} u={{t}^{2}} & v'={{e}^{t}} \\ u'=2t & v={{e}^{t}} \end{matrix}} \|=3\left[ {{t}^{2}}\cdot {{e}^{t}}-\int 2t\cdot {{e}^{t}}~dx \right]=3{{t}^{2}}{{e}^{t}}-6\int t\cdot {{e}^{t}}~dx=....

      Ponownie stosując całkowanie przez części rozwiązuję otrzymaną całkę:
      \int t\cdot {{e}^{t}}~dx~~=\| {\begin{matrix} u=t & v'={{e}^{t}} \\ u'=1 & v={{e}^{t}} \end{matrix}} \|=t\cdot {{e}^{t}}-\int 1\cdot {{e}^{t}}~dx=t{{e}^{t}}-\int {{e}^{t}}~dx=t{{e}^{t}}-{{e}^{t}}~+C

      Wracam do mojej pierwotnej całki:

      ....=3{{t}^{2}}{{e}^{t}}-6\left[ {t{{e}^{t}}-{{e}^{t}}~+C} \right]=~3{{t}^{2}}{{e}^{t}}-6t{{e}^{t}}+6{{e}^{t}}~+C~=

      I do postawienia z początku t={{x}^{{\frac{1}{3}}}}=\sqrt[3]{x} , dzięki czemu mam wynik:

      =\mathbf{3}{{\left( {\sqrt[\mathbf{3}]{\mathbf{x}}} \right)}^{\mathbf{2}}}{{e}^{{\sqrt[\mathbf{3}]{\mathbf{x}}}}}-\mathbf{6}\left( {\sqrt[\mathbf{3}]{\mathbf{x}}} \right){{e}^{{\sqrt[\mathbf{3}]{\mathbf{x}}}}}+\mathbf{6}{{e}^{{\sqrt[\mathbf{3}]{\mathbf{x}}}}}+C

  75. Marika pisze:

    Mam problem z takim działaniem:
    całka w granicach od – nieskończoności do 0 z 0 x dx + całka o tych samych granicach z e^x dx. Bardzo proszę o pomoc.

  76. Marika pisze:

    Witam! Panie Krystianie mam problem z taką całką: całka w granicach od -100 do 100 z x^20 arctgx dx.

  77. natalia pisze:

    Witam ja nie umiem policzyc calki 26 z zadania domowego calki nieoznaczone wstep mecze sie z nia i mecze (x^2-1)/(x-1) mozna prosic o pomoc?

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Witam, tak, jasne, proszę bardzo:


      \int{\frac{{{x}^{2}}-1}{x-1}dx}=\int{\frac{\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)}{x-1}dx}=\int{\left( x+1 \right)dx}=\int{xdx}+\int{dx}=\frac{1}{2}{{x}^{2}}+x+C

  78. Aneta pisze:

    Witam, mam problem z całką (zastosowanie całek) opisaną y=1/(sqrt[3](x-1)) x=0 x=9 y=0. Dziękuję z góry za pomoc

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Witam,

      Mamy ten komfort, że obędzie się bez wykresu. Granice całkowania są z góry dane, x od 0 do 9, czyli mamy:

      \int\limits_{0}^{9}{\frac{1}{\sqrt[3]{x-1}}dx}

      Całka jest podstępna, bo udaje „zwykłą” oznaczoną, a tak naprawdę jest niewłaściwa. x=1nie należy do dziedziny. Całkę rozbijamy więc na dwie:

      \int\limits_{0}^{9}{\frac{1}{\sqrt[3]{x-1}}dx}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{1}{\sqrt[3]{x-1}}dx}+\int\limits_{1}^{9}{\frac{1}{\sqrt[3]{x-1}}dx}

      Liczę osobno pierwszą całkę:

      \int\limits_{0}^{1}{\frac{1}{\sqrt[3]{x-1}}dx}=\underset{\varepsilon \to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\int\limits_{0}^{\varepsilon }{\frac{1}{\sqrt[3]{x-1}}dx}=\ldots

      \int{\frac{1}{\sqrt[3]{x-1}}dx}=\left| \begin{matrix}
      & t=x-1 \\
      & dt=dx \\
      \end{matrix} \right|=\int{\frac{1}{\sqrt[3]{t}}dt}=\int{{{t}^{-\tfrac{1}{3}}}dt}=\frac{1}{\tfrac{2}{3}}{{t}^{\tfrac{2}{3}}}+C=\frac{3}{2}\sqrt[3]{{{t}^{2}}}+C=\frac{3}{2}\sqrt[3]{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}+C

      \underset{\varepsilon \to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left. \left[ \frac{3}{2}\sqrt[3]{{{\left( x-1 \right)}^{2}}} \right] \right|_{0}^{\varepsilon }=\underset{\varepsilon \to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( \left[ \frac{3}{2}\sqrt[3]{{{\left( \varepsilon -1 \right)}^{2}}} \right]-\left[ \frac{3}{2}\sqrt[3]{{{\left( 0-1 \right)}^{2}}} \right] \right)=\frac{3}{2}\cdot 0-\frac{3}{2}\cdot 1=-\frac{3}{2}

      Potem liczę osobno drugą całkę:

      \int\limits_{1}^{9}{\frac{1}{\sqrt[3]{x-1}}dx}=\underset{\varepsilon \to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\int\limits_{\varepsilon }^{9}{\frac{1}{\sqrt[3]{x-1}}dx}=\ldots

      \underset{\varepsilon \to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left. \left[ \frac{3}{2}\sqrt[3]{{{\left( x-1 \right)}^{2}}} \right] \right|_{\varepsilon }^{9}=\underset{\varepsilon \to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( \left[ \frac{3}{2}\sqrt[3]{{{\left( 9-1 \right)}^{2}}} \right]-\left[ \frac{3}{2}\sqrt[3]{{{\left( \varepsilon -1 \right)}^{2}}} \right] \right)=\frac{3}{2}\cdot 4-\frac{3}{2}\cdot 0=6

      Wracam się do „głównej” całki i mam:

      \int\limits_{0}^{9}{\frac{1}{\sqrt[3]{x-1}}dx}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{1}{\sqrt[3]{x-1}}dx}+\int\limits_{1}^{9}{\frac{1}{\sqrt[3]{x-1}}dx}=-\frac{3}{2}+6=4\tfrac{1}{2}

  79. Ewa Gorzeń pisze:

    Witam, czy można prosić o pomoc z całka [ (x^1/2 + 2x) (3-x) ] / x^3 ? poprzez wymnożenie i podział z właściwości całek wychodzi dalej dzielenie przez 0, a kalkulator nie mam pojęcia skąd to policzył. Dzięki z góry

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Witam cały przykład krok po kroku pójdzie tak:

      \int{\frac{\left( \sqrt{x}+2x \right)\left( 3-x \right)}{{{x}^{3}}}dx}=\int{\frac{3\sqrt{x}-x\sqrt{x}+6x-2{{x}^{2}}}{{{x}^{3}}}dx}=

      =\int{\left( \frac{3\sqrt{x}}{{{x}^{3}}}-\frac{x\sqrt{x}}{{{x}^{3}}}+\frac{6x}{{{x}^{3}}}-\frac{2{{x}^{2}}}{{{x}^{3}}} \right)dx}=\int{\left( \frac{3{{x}^{\tfrac{1}{2}}}}{{{x}^{3}}}-\frac{{{x}^{\tfrac{3}{2}}}}{{{x}^{3}}}+\frac{6}{{{x}^{2}}}-\frac{2}{x} \right)dx}=

      =\int{\left( 3{{x}^{-2\tfrac{1}{2}}}-{{x}^{-\tfrac{3}{2}}}+6{{x}^{-2}}-\frac{2}{x} \right)dx}=3\int{{{x}^{-2\tfrac{1}{2}}}dx}-\int{{{x}^{-\tfrac{3}{2}}}dx}+6\int{{{x}^{-2}}dx}-2\int{\frac{1}{x}dx}=

      =3\frac{1}{-2\tfrac{1}{2}+1}{{x}^{-2\tfrac{1}{2}+2}}-\frac{1}{-\tfrac{3}{2}+1}{{x}^{-\tfrac{3}{2}+1}}+6\frac{1}{-2+1}{{x}^{-2+1}}-2\ln \left| x \right|+C=

      =3\left( -\frac{2}{3} \right){{x}^{-\tfrac{3}{2}}}+2{{x}^{-\tfrac{1}{2}}}-6{{x}^{-1}}-2\ln \left| x \right|+C=-2{{x}^{-\tfrac{3}{2}}}+2{{x}^{-\tfrac{1}{2}}}-6{{x}^{-1}}-2\ln \left| x \right|+C=

      =-\frac{2}{\sqrt[3]{{{x}^{2}}}}+\frac{2}{\sqrt{x}}-\frac{6}{x}-2\ln \left| x \right|+C

      Domyślam się, że problem z dzieleniem przez zero wynikł przy okazji liczenia całki \int{\frac{1}{x}dx}. Nie można do niej zastosować wzoru: \int{{{x}^{n}}dx}=\frac{1}{n+1}{{x}^{n+1}}+C.

      Ten wzór, co jest zaznaczone we wszystkich wzorach na całki, obowiązuje tylko dla n\ne 1.

      Tutaj należy zastosować wzór: \int{\frac{1}{x}dx}=\ln \left| x \right|+C.

  80. Sylwek pisze:

    Witam Panie Krystianie
    Mam problem przy rozwiązaniu 9 całki z zadania domowego, dokładnie kurs całki oznaczone, niewłaściwe i zastosowania całek, jest to lekcja 2. Nie wiem co tam źle liczę, ale cały czas wychodzi mi 0, bardzo proszę o pilna pomoc obliczenia tego przykładu,
    Pozdrawiam

    1. Anna Zalewska pisze:

      Mamy do obliczenia całkę nieoznaczoną integral subscript negative infinity end subscript superscript plus infinity end superscript fraction numerator 1 over denominator negative x squared plus 2 x minus 3 end fraction d x.

      Zaczniemy od przekształcenia mianownika do postaci pozwalającej obliczyć tego typu całkę, zgodnie ze schematem obliczania całek wymiernych.

      capital delta equals 2 squared minus 4 times \left parenthesis negative 1 right parenthesis times \left parenthesis negative 3 right parenthesis equals negative 8 less than 0

      Wielomianu w mianowniku nie da się rozłożyć na czynniki liniowe. Przekształcamy zatem następująco:

      negative x squared plus 2 x minus 3 equals negative \left parenthesis x squared minus 2 x plus 3 right parenthesis equals negative \left parenthesis x squared minus 2 x plus 1 plus 2 right parenthesis equals negative open square brackets open parentheses x minus 1 close parentheses squared plus 2 close square brackets

      Teraz obliczymy całkę nieoznaczoną zamieniając ją najpierw na sumę dwóch całek.

      integral subscript negative infinity end subscript superscript plus infinity end superscript fraction numerator 1 over denominator negative x squared plus 2 x minus 3 end fraction d x equals \integral subscript negative infinity end subscript superscript plus infinity end superscript fraction numerator 1 over denominator negative open square brackets open parentheses x minus 1 close parentheses squared plus 2 close square brackets end fraction d x equals

      equals \integral subscript negative infinity end subscript superscript 0 fraction numerator 1 over denominator negative open square brackets open parentheses x minus 1 close parentheses squared plus 2 close square brackets end fraction d x plus \integral subscript 0 superscript plus infinity end superscript fraction numerator 1 over denominator negative open square brackets open parentheses x minus 1 close parentheses squared plus 2 close square brackets end fraction d x equals

      equals limit as a rightwards arrow negative infinity of \integral subscript a superscript 0 fraction numerator negative 1 over denominator open square brackets open parentheses x minus 1 close parentheses squared plus 2 close square brackets end fraction d x plus limit as a rightwards arrow plus infinity of \integral subscript 0 superscript a fraction numerator negative 1 over denominator open square brackets open parentheses x minus 1 close parentheses squared plus 2 close square brackets end fraction d x equals

      equals limit as a rightwards arrow negative infinity of open square brackets right enclose open parentheses negative fraction numerator 1 over denominator square root of 2 end fraction a r c t g begin inline style fraction numerator x minus 1 over denominator square root of 2 end fraction end style close parentheses end enclose subscript a superscript 0 close square brackets plus limit as a rightwards arrow plus infinity of open square brackets right enclose open parentheses negative fraction numerator 1 over denominator square root of 2 end fraction a r c t g begin inline style fraction numerator x minus 1 over denominator square root of 2 end fraction end style close parentheses end enclose subscript 0 superscript a close square brackets equals

      equals limit as a rightwards arrow negative infinity of open parentheses negative fraction numerator 1 over denominator square root of 2 end fraction a r c t g begin inline style fraction numerator negative 1 over denominator square root of 2 end fraction end style plus fraction numerator 1 over denominator square root of 2 end fraction a r c t g begin inline style fraction numerator a minus 1 over denominator square root of 2 end fraction end style close parentheses plus limit as a rightwards arrow plus infinity of open parentheses negative fraction numerator 1 over denominator square root of 2 end fraction a r c t g begin inline style fraction numerator a minus 1 over denominator square root of 2 end fraction end style plus fraction numerator 1 over denominator square root of 2 end fraction a r c t g begin inline style fraction numerator negative 1 over denominator square root of 2 end fraction end style close parentheses equals

      equals negative fraction numerator 1 over denominator square root of 2 end fraction a r c t g begin inline style fraction numerator negative 1 over denominator square root of 2 end fraction end style plus fraction numerator 1 over denominator square root of 2 end fraction times open parentheses negative \pi over 2 close parentheses minus fraction numerator 1 over denominator square root of 2 end fraction times \pi over 2 plus fraction numerator 1 over denominator square root of 2 end fraction a r c t g begin inline style fraction numerator negative 1 over denominator square root of 2 end fraction end style equals

      equals negative fraction numerator \pi over denominator 2 square root of 2 end fraction minus fraction numerator \pi over denominator 2 square root of 2 end fraction equals negative fraction numerator 2 \pi over denominator 2 square root of 2 end fraction equals negative fraction numerator \pi over denominator square root of 2 end fraction

  81. Piotr pisze:

    Mam problem z taką całką:
    integral(e^(-2e^x))dx

    Kalkulator daje wynik, ale to za mało. Ja pokonany, a zadanie z fizyki stoi :). Proszę o wsparcie.

  82. Kiku pisze:

    Krystian jesteś najlepszy! dzięki Tobie zaliczam matme na spokojnie 🙂

  83. Rafal pisze:

    potrzebuje pomocy z obliczeniem calki xsin4x

    1. Krystian Karczyński pisze:

      To pójdzie tak:

      \int{x\sin 4xdx}=\left| \begin{matrix}
      u=x & {v}'=\sin 4x \\
      {u}'=1 & v=-\frac{1}{4}\cos 4x \\
      \end{matrix} \right|=

      =-\frac{1}{4}x\cos 4x-\int{1\cdot \left( -\frac{1}{4}\cos 4x \right)dx}=-\frac{1}{4}x\cos 4x+\frac{1}{4}\int{\cos 4xdx}=

      =-\frac{1}{4}x\cos 4x+\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4}\sin 4x+C=-\frac{1}{4}x\cos 4x+\frac{1}{16}\sin 4x+C

  84. Piotr pisze:

    Witam,
    Proszę o rozwiązanie dla całki 3/(x^4)

    1. Krystian Karczyński pisze:

      \int{\frac{3}{{{x}^{4}}}dx}=3\int{\frac{1}{{{x}^{4}}}dx}=3\int{{{x}^{-4}}dx}=3\frac{1}{-4+1}{{x}^{-4+1}}+C=3\cdot \frac{1}{-3}{{x}^{-3}}+C=

      =-\frac{1}{{{x}^{3}}}+C

  85. Emilia pisze:

    Witam,
    Poproszę o pomoc w rozwiązaniu całki oznaczonej [2,782*(1- exp(-0,125t)*cos(2,5t))]dt w granicach od 0 do 42.
    z góry dziękuję 🙂

  86. Monika pisze:

    Witam 🙂 Mam problem z całką cos^2xsins^2x. proszę o pomoc 🙂 Pozdrawiam

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Tutaj akurat da się zastosować taki sprytny „patent”, mianowicie skorzystać z trygonometrycznego wzoru ze średniej \sin 2x=2\sin x\cos x:

      \int{{{\sin }^{2}}x{{\cos }^{2}}xdx}=\int{{{\left( \sin x\cos x \right)}^{2}}dx}=\int{{{\left( \frac{1}{2}\cdot 2\sin x\cos x \right)}^{2}}dx}=

      =\int{{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}\cdot {{\left( 2\sin x\cos x \right)}^{2}}dx}=\frac{1}{4}\int{{{\left( \sin 2x \right)}^{2}}dx}=\frac{1}{4}\int{{{\sin }^{2}}2xdx}=

      Teraz korzystam z innego trygonometrycznego wzoru ze średniej (przerywając na chwilę liczenie całki):

      \cos 2x={{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x

      czyli:

      \cos 4x={{\cos }^{2}}2x-{{\sin }^{2}}2x

      \cos 4x=1-{{\sin }^{2}}2x-{{\sin }^{2}}2x

      2{{\sin }^{2}}2x=1-\cos 4x

      {{\sin }^{2}}2x=\frac{1}{2}\left( 1-\cos 4x \right)

      Mając wyznaczony {{\sin }^{2}}2xwracam się do całki:

      \frac{1}{4}\int{{{\sin }^{2}}2xdx}=\frac{1}{4}\int{\frac{1}{2}\left( 1-\cos 4x \right)dx}=\frac{1}{8}\int{\left( 1-\cos 4x \right)dx}=

      =\frac{1}{8}\int{dx}-\frac{1}{8}\int{\cos 4xdx}=\frac{1}{8}x-\frac{1}{8}\cdot \frac{1}{4}\sin 4x+C=\frac{1}{8}x-\frac{1}{32}\sin 4x+C

  87. Asia pisze:

    Witam! 🙂 Czy mogłabym prosić o wskazówkę, jak policzyć całkę przez podstawianie 1/(x^2-2x+2)? 🙂

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Witam. Można tak:

      \int{\frac{1}{{{x}^{2}}-2x+2}dx}=\int{\frac{1}{{{x}^{2}}-2x+1+1}dx}=\int{\frac{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}+1}dx}=\left| \begin{matrix}
      & t=x-1 \\
      & dt=dx \\
      \end{matrix} \right|=

      \int{\frac{1}{{{t}^{2}}+{{1}^{2}}}=arctgt+C}=arctg\left( x-1 \right)+C

      …ale wszystko tutaj opierało się na sprytnym zauważeniu tego wzoru skróconego mnożenia. Bardziej uniwersalny schemat jest w moim Kursie Całek Nieoznaczonych na Lekcji 5 – zapraszam!

  88. Natalia pisze:

    Dzień dobry, mam pytanie: jak wyliczyc calke z (lgx)/(x)?? DZIEKUJE

    1. stell94 pisze:

      przez podstawienie
      lnx=t
      dt=1/x
      i wtedy masz całkę z tdt czyli (x^2)/2 🙂

  89. Jolka Groch pisze:

    Witam, mam problem z całką nr 14 z zadania domowego z lekcji całkowanie przez podstawienie, nie bardzo wiem jakie ma być to podstawienie?

    1. Jolka Groch pisze:

      dokładnie chodzi o x^4(x^2+11)^1/2 dx

    2. Krystian Karczyński pisze:

      Tam nie ma na początku {{x}^{4}}, tylko jest xpomnożone przez pierwiastek CZWARTEGO stopnia, czyli całka wygląda tak (inaczej zapisana):

      \int{x\cdot \sqrt[4]{4{{x}^{2}}+11}dx}

      🙂

    3. Jolka Groch pisze:

      a tak się męczyłam, dziękuję bardzo 🙂

  90. Arek pisze:

    witam, mam problem z całką z zadania domowego z lekcji 4 całek nieoznaczonych, dokładnie chodzi o przykład 15, w którym w mianowniku jest 3sinx^2-7cosx^2 i całosc pod pierwiastkiem. Nie mam pojęcia od czego zacząć tutaj, próbowałem podstawiania ale zapętlałem sie coraz bardziej, prosze o pomoc, pozdrawiam 🙂

    1. Arek pisze:

      to znaczy po kilku przeliczeniach wychodzi mi wynik rozbieżny z tym w odpowiedziach z tym że tyle sieróznie ułamkiem przed całoscia bo mi wychodzi 1/10 a u Pana w odpowiedzi ja mam -1/4, skąd może być ta rozbieżność?

    2. Krystian Karczyński pisze:

      Tak, tam był kiedyś błąd w odpowiedziach, powinna być 1/10, przepraszam!

    3. Magdalena pisze:

      Witam. Próbowałam wyliczyć całkę z przykładu 15, ale wychodzą mi całkiem inne wyniki, nie wiem jak się za to zabrać. Czy mógłby ktoś napisać mi jak powinno wyglądać podstawienie?

    4. Krystian Karczyński pisze:

      Powinno to pójść tak:

      \int{\frac{\sin x\cos x}{\sqrt{3{{\sin }^{2}}x-7{{\cos }^{2}}x}}dx}=\left| \begin{matrix}
      & t=3{{\sin }^{2}}x-7{{\cos }^{2}}x \\
      & dt=6\sin x\cos x-14\cos x\cdot \left( -\sin x \right) \\
      & dt=20\sin x\cos xdx \\
      & \frac{dt}{20}=\sin x\cos xdx \\
      \end{matrix} \right|=

      =\int{\frac{\tfrac{dt}{20}}{\sqrt{t}}}=\frac{1}{20}\int{\frac{dt}{\sqrt{t}}}=\frac{1}{20}\int{\frac{1}{{{t}^{\tfrac{1}{2}}}}dt}=\frac{1}{20}\int{{{t}^{-\tfrac{1}{2}}}dt}=\frac{1}{20}\cdot \frac{1}{\tfrac{1}{2}}{{t}^{\tfrac{1}{2}}}+C=\frac{1}{20}\cdot 2{{t}^{\tfrac{1}{2}}}+C=

      =\frac{1}{10}\sqrt{t}+C=\frac{1}{10}\sqrt{3{{\sin }^{2}}x-7{{\cos }^{2}}x}+C

  91. Mariola pisze:

    Witam Panie Krystianie
    Mam problem z całką (2x-1)/(x-2)
    Dziękuje za pomoc

    1. Joanna Grochowska pisze:

      \displaystyle \int{{\frac{{2x-1}}{{x-2}}}}dx

      Na początku porządkuje wyrażenie pod całką:
      \displaystyle \frac{{2x-1}}{{x-2}}=\frac{{2(x-2)+3}}{{x-2}}=\frac{{2(x-2)}}{{x-2}}+\frac{3}{{x-2}}=2+\frac{3}{{x-2}}

      Liczę:
      \displaystyle \int{{\frac{{2x-1}}{{x-2}}}}dx=\int{{\left( {2+\frac{3}{{x-2}}} \right)}}dx=\int{{2dx+\int{{\frac{3}{{x-2}}}}}}dx=2\int{{1dx+3\int{{\frac{1}{{x-2}}}}}}dx=2x+3\ln |x-2|+C

      Wynik drugiej całki otrzymałam licząc przez podstawienie.
      \displaystyle \int{{\frac{1}{{x-2}}}}dx=| {\begin{matrix} t=x-2 \\ dt=dx \end{matrix}} |=\int{{\frac{1}{t}}}dt=\ln |t|+C=\ln |x-2|+C

  92. Czerx pisze:

    Mam całkę 1/dx, ale w kalkulator nie można wpisać dx, więc jest problem……

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Coś nie tak z tą całką nie halo, dx nie powinno być w mianowniku…

  93. Daniel pisze:

    Witam. Czy w lekcji 4 o całkach nieoznaczonych (części + podstawienie) gdy jest całka z x cos^2x za u bierze Pan cos^2x a za v’x, można podstawić odwrotnie? Tzn u=x a v’=cos^2x ?

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Można.

  94. Maciek pisze:

    Witam

    Mam problem z taką całką: \integral (x^2)*(1+x^2)^(1/2) dx
    Czy mogę prosić Pana o jakąś „drobną” wskazówkę?

    Pozdrawiam

  95. Marta pisze:

    witam mam problem z policzeniem całki z kursu całek nieoznaczonych z lekcji 4 (zadanie domowe nr 15). Proszę o pomoc

    1. Anna Zalewska pisze:

      Mamy do obliczenia całkę integral fraction numerator sin x cos x over denominator square root of 3 sin squared x minus 7 cos squared x end root end fraction d x.     

       

      Najpierw skorzystamy ze wzoru: cos squared x equals 1 minus sin squared x, aby uprościć nieco wyrażenie pod pierwiastkiem w mianowniku. Następnie zastosujemy kolejno dwa podstawienia.

       

      integral fraction numerator sin x cos x over denominator square root of 3 sin squared x minus 7 cos squared x end root end fraction d x equals \integral fraction numerator sin x cos x over denominator square root of 3 sin squared x minus 7 \left parenthesis 1 minus sin squared x right parenthesis end root end fraction d x equals \integral fraction numerator sin x cos x over denominator square root of 10 sin squared x minus 7 end root end fraction d x equals

      equals open vertical bar table row cell sin x equals t end cell row cell cos x d x equals d t end cell end table close vertical bar equals \integral fraction numerator t over denominator square root of 10 t squared minus 7 end root end fraction d t equals open vertical bar table row cell 10 t squared minus 7 equals u end cell row cell 20 t space d t equals d u end cell row cell t space d t equals begin inline style 1 over 20 end style d u end cell end table close vertical bar equals \integral fraction numerator 1 over denominator square root of u end fraction times 1 over 20 d u equals

      equals 1 over 20 \integral u to the power of negative begin inline style 1 half end style end exponent d u equals 1 over 20 times 2 u to the power of begin inline style 1 half end style end exponent plus C equals 1 over 10 square root of u plus C equals 1 over 10 square root of 10 t squared minus 7 end root plus C equals

      equals 1 over 10 square root of 10 sin squared x minus 7 end root plus C equals 1 over 10 square root of 3 sin squared x minus 7 cos squared x end root plus C

  96. MMM pisze:

    GENIUSZ!!!

  97. kunni pisze:

    Pomocy! mam do obliczenia nastepujaca calke: (x^0.5)*((r^2-(H-x)^2)^0.5) gdzie r i H to stale, kalkulator tego niestety nie liczy… ;(

  98. Artur pisze:

    Stary, jesteś moim zdaniem PROMETEUSZEM 21 wieku, 2 dni do egzaminu, ale dzięki kursowi z całek nieoznaczonych myślę że, dam rady.

    1. Jakub Radzik pisze:

      Ja przez noc ogarnąłem 😉 MISZCZ xD

  99. Marcin pisze:

    t=cosx =) Pozdrawiam

  100. Marcin pisze:

    Witam Panie Krystianie!
    Mam problem z całka cos^7xsinxdx jak to policzyć ?
    Rozumiem że za t=cos^7x co daje nam pochodna -7cos^6sinx , dalej nie rozumiem jak to ustrojstwo policzyć.
    Proszę o pomoc

    1. Daniel pisze:

      [latex] \displaystyle \int cos^7xsinxdx = -cos^8x-7 \int cos^7xsinx =
      -\frac{cos^8x}{8} + C[/latex]
      [latex] \displaystyle f(x)=cos^7x[/latex]
      [latex] \displaystyle g'(x)=sinx[/latex]
      Akurat to jest bardzo latwa calka. Pan
      Krystian dobrze omawia korzystanie z tej metody w swoim
      kursie:).

  101. Damian pisze:

    Dzięki!

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Nie ma sprawy.

  102. Arkadiusz pisze:

    Witam. Mam problem z całką nr 3 z zadania domowego z kursu całek nieoznaczonych (lekcja 5 – całki wymierne). Nie mogę się połapać w którym miejscu robię błąd bo wynik wychodzi mi taki: 0,75 ln|x+0,75| + 0,25 ln|x-0,25|+C.

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Witam. No to w odpowiedziach jest tak samo: \frac{1}{4}\ln \left| x-\frac{1}{4} \right|+\frac{3}{4}\ln \left| x+\frac{3}{4} \right|+C…?

    2. Kuba pisze:

      Zasadniczo to 0.75 to nie jest 1/4 jak coś a 0.25 to nie 3/4 

    3. Ewa pisze:

      Zasadniczo dodawanie może być przestawne najpierw jest 0.25 czyli 1/4 a potem 0.75 czyli 3/4

    4. Mati pisze:

      Hahaha, zasadniczo miałem to samo napisać, że dodawanie jest przemienne 😀 

    5. FS pisze:

      Proszę o pomoc przy obliczeniu całki \int_{2}^{4}\frac{1}{x-1}*\sqrt{1+\frac{1}{(x-1)^4}}dx

  103. Szpieg pisze:

    Dzięki. Na pewno skorzystam z kalkulatora. Właśnie szukałem czegoś podobnego. Pomocna strona.