Co podniesione do kwadratu daje 17? Czyli całki nieoznaczone i wzór z arctgx

Krystian Karczyński

Założyciel i szef serwisu eTrapez.

Magister matematyki Politechniki Poznańskiej. Korepetytor matematyki z wieloletnim stażem. Twórca Kursów eTrapez, które zdobyły ogromną popularność wśród studentów w całej Polsce.

Mieszka w Szczecinie. Lubi spacery po lesie, plażowanie i kajaki.

Wzór z arctgx w typowych sytuacjach

Przyzwyczailiśmy się do stosowania wzoru: [pmath]int{}{}{dx/{x^2+a^2}}=1/a{arctg{x/a}+C}[/pmath] w “czystych” sytuacjach całkowych, takich jak:

[pmath]int{}{}{dx/{x^2+1}}[/pmath]

[pmath]int{}{}{dx/{x^2+4}}[/pmath]

[pmath]int{}{}{dx/{x^2+9}}[/pmath]

[pmath]int{}{}{dx/{x^2+16}}[/pmath]

Przekształcamy wtedy prosto…

[pmath]int{}{}{dx/{x^2+1}}=int{}{}{dx/{x^2+1^2}}[/pmath]

[pmath]int{}{}{dx/{x^2+4}}=int{}{}{dx/{x^2+2^2}}[/pmath]

[pmath]int{}{}{dx/{x^2+9}}=int{}{}{dx/{x^2+3^2}}[/pmath]

[pmath]int{}{}{dx/{x^2+16}}=int{}{}{dx/{x^2+4^2}}[/pmath]

…i wychodzimy elegancko na wynik:

[pmath]int{}{}{dx/{x^2+1}}=int{}{}{dx/{x^2+1^2}}=1/1{arctg{x/1}}+C[/pmath]

[pmath]int{}{}{dx/{x^2+4}}=int{}{}{dx/{x^2+2^2}}=1/2{arctg{x/2}}+C[/pmath]

[pmath]int{}{}{dx/{x^2+9}}=int{}{}{dx/{x^2+3^2}}=1/3{arctg{x/3}}+C[/pmath]

[pmath]int{}{}{dx/{x^2+16}}=int{}{}{dx/{x^2+4^2}}=1/4{arctg{x/4}}+C[/pmath]

Wzór z arctgx w sytuacjach nietypowych

A co zrobić z taką całką nieoznaczoną:

[pmath]int{}{}{dx/{x^2+17}}[/pmath] ? Co podniesione do kwadratu daje 17? Nic? Nieee…. [pmath]sqrt{17}[/pmath] podniesione do kwadratu daje 17, zatem:

[pmath]int{}{}{dx/{x^2+17}}=int{}{}{dx/{x^2+(sqrt{17})^2}}=1/sqrt{17}{arctg{x/sqrt{17}}}+C[/pmath]

Ogólnie rzecz biorąc więc, wzorem [pmath]int{}{}{dx/{x^2+a^2}}=1/a{arctg{x/a}+C}[/pmath] obsłużymy każdą całkę nieoznaczoną tego typu, stałe w mianowniku nie muszą być takie łatwe do przedstawienia jako coś do kwadratu…