Matematyka na studiach i w szkole średniej

Co podniesione do kwadratu daje 17? Czyli całki nieoznaczone i wzór z arctgx

5 września 2010 przez Krystian Karczyński Zostaw komentarz

Wzór z arctgx w typowych sytuacjach

Przyzwyczailiśmy się do stosowania wzoru: $int{}{}{dx/{x^2+a^2}}=1/a{arctg{x/a}+C}$ w „czystych” sytuacjach całkowych, takich jak:

$int{}{}{dx/{x^2+1}}$

$int{}{}{dx/{x^2+4}}$

$int{}{}{dx/{x^2+9}}$

$int{}{}{dx/{x^2+16}}$

Przekształcamy wtedy prosto…

$int{}{}{dx/{x^2+1}}=int{}{}{dx/{x^2+1^2}}$

$int{}{}{dx/{x^2+4}}=int{}{}{dx/{x^2+2^2}}$

$int{}{}{dx/{x^2+9}}=int{}{}{dx/{x^2+3^2}}$

$int{}{}{dx/{x^2+16}}=int{}{}{dx/{x^2+4^2}}$

…i wychodzimy elegancko na wynik:

$int{}{}{dx/{x^2+1}}=int{}{}{dx/{x^2+1^2}}=1/1{arctg{x/1}}+C$

$int{}{}{dx/{x^2+4}}=int{}{}{dx/{x^2+2^2}}=1/2{arctg{x/2}}+C$

$int{}{}{dx/{x^2+9}}=int{}{}{dx/{x^2+3^2}}=1/3{arctg{x/3}}+C$

$int{}{}{dx/{x^2+16}}=int{}{}{dx/{x^2+4^2}}=1/4{arctg{x/4}}+C$

Wzór z arctgx w sytuacjach nietypowych

A co zrobić z taką całką nieoznaczoną:

$int{}{}{dx/{x^2+17}}$ ? Co podniesione do kwadratu daje 17? Nic? Nieee…. podniesione do kwadratu daje 17, zatem:

$int{}{}{dx/{x^2+17}}=int{}{}{dx/{x^2+(sqrt{17})^2}}=1/sqrt{17}{arctg{x/sqrt{17}}}+C$

Ogólnie rzecz biorąc więc, wzorem $int{}{}{dx/{x^2+a^2}}=1/a{arctg{x/a}+C}$ obsłużymy każdą całkę nieoznaczoną tego typu, stałe w mianowniku nie muszą być takie łatwe do przedstawienia jako coś do kwadratu…

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi