blog

Co podniesione do kwadratu daje 17? Czyli całki nieoznaczone i wzór z arctgx

Krystian

Założyciel i szef serwisu eTrapez.

Magister matematyki Politechniki Poznańskiej. Korepetytor matematyki z wieloletnim stażem. Twórca Kursów eTrapez, które zdobyły ogromną popularność wśród studentów w całej Polsce.

Mieszka koło Szczecina. Lubi spacery po lesie, plażowanie i piłkę nożną.


Wzór z arctgx w typowych sytuacjach

Przyzwyczailiśmy się do stosowania wzoru: int{}{}{dx/{x^2+a^2}}=1/a{arctg{x/a}+C} w “czystych” sytuacjach całkowych, takich jak:

int{}{}{dx/{x^2+1}}

int{}{}{dx/{x^2+4}}

int{}{}{dx/{x^2+9}}

int{}{}{dx/{x^2+16}}

Przekształcamy wtedy prosto…

int{}{}{dx/{x^2+1}}=int{}{}{dx/{x^2+1^2}}

int{}{}{dx/{x^2+4}}=int{}{}{dx/{x^2+2^2}}

int{}{}{dx/{x^2+9}}=int{}{}{dx/{x^2+3^2}}

int{}{}{dx/{x^2+16}}=int{}{}{dx/{x^2+4^2}}

…i wychodzimy elegancko na wynik:

int{}{}{dx/{x^2+1}}=int{}{}{dx/{x^2+1^2}}=1/1{arctg{x/1}}+C

int{}{}{dx/{x^2+4}}=int{}{}{dx/{x^2+2^2}}=1/2{arctg{x/2}}+C

int{}{}{dx/{x^2+9}}=int{}{}{dx/{x^2+3^2}}=1/3{arctg{x/3}}+C

int{}{}{dx/{x^2+16}}=int{}{}{dx/{x^2+4^2}}=1/4{arctg{x/4}}+C

Wzór z arctgx w sytuacjach nietypowych

A co zrobić z taką całką nieoznaczoną:

int{}{}{dx/{x^2+17}} ? Co podniesione do kwadratu daje 17? Nic? Nieee…. sqrt{17} podniesione do kwadratu daje 17, zatem:

int{}{}{dx/{x^2+17}}=int{}{}{dx/{x^2+(sqrt{17})^2}}=1/sqrt{17}{arctg{x/sqrt{17}}}+C

Ogólnie rzecz biorąc więc, wzorem int{}{}{dx/{x^2+a^2}}=1/a{arctg{x/a}+C} obsłużymy każdą całkę nieoznaczoną tego typu, stałe w mianowniku nie muszą być takie łatwe do przedstawienia jako coś do kwadratu…

Jedna z wielu opinii o naszych Kursach...

Rewelacyjny sposób prowadzenia pozwala na skuteczne zrozumienie każdego omawianego zagadnienia, co ważne każdy kurs rozpoczyna się od podstaw więc mimo braku znajomości wstępnych zagadnień każdy jest w stanie skorzystać w 100%, jak dla mnie świetna sprawa i polecam serdecznie.

Mateusz Andrzejewski

Szukasz korepetycji z matematyki na poziomie studiów lub szkoły średniej? A może potrzebujesz kursu, który przygotuje Cię do matury?

Jesteśmy ekipą eTrapez. Uczymy matematyki w sposób jasny, prosty i bardzo dokładny - trafimy nawet do najbardziej opornego na wiedzę.

Stworzyliśmy tłumaczone zrozumiałym językiem Kursy video do pobrania na komputer, tablet czy telefon. Włączasz nagranie, oglądasz i słuchasz, jak na korepetycjach. O dowolnej porze dnia i nocy.

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *

Twój komentarz będzie dostępny publicznie na naszej stronie razem z powyższym podpisem. Adres email nie będzie dostępny publicznie. Komentarz możesz zmienić, lub usunąć w każdej chwili. Dane osobowe zawarte w komentarzu i podpisie traktujemy zgodnie z naszą polityką prywatności.