Co podniesione do kwadratu daje 17? Czyli całki nieoznaczone i wzór z arctgx

Krystian Karczyński

Założyciel i szef serwisu eTrapez.

Magister matematyki Politechniki Poznańskiej. Korepetytor matematyki z wieloletnim stażem. Twórca pierwszych Kursów eTrapez, które zdobyły ogromną popularność wśród studentów w całej Polsce.

Mieszka w Szczecinie. Lubi spacery po lesie, plażowanie i kajaki.

Wzór z arctgx w typowych sytuacjach

Przyzwyczailiśmy się do stosowania wzoru: $int{ }{ }{dx/{x^2+a^2}}=1/a{arctg{x/a}+C}$ w “czystych” sytuacjach całkowych,

takich jak:

$int{ }{ }{dx/{x^2+1}}$

$int{ }{ }{dx/{x^2+4}}$

$int{ }{ }{dx/{x^2+9}}$

$int{ }{ }{dx/{x^2+16}}$

Przekształcamy wtedy prosto…

$int{ }{ }{dx/{x^2+1}}=int{ }{ }{dx/{x^2+1^2}}$

$int{ }{ }{dx/{x^2+4}}=int{ }{ }{dx/{x^2+2^2}}$

$int{ }{ }{dx/{x^2+9}}=int{ }{ }{dx/{x^2+3^2}}$

$int{ }{ }{dx/{x^2+16}}=int{ }{ }{dx/{x^2+4^2}}$

…i wychodzimy elegancko na wynik:

$int{ }{ }{dx/{x^2+1}}=int{ }{ }{dx/{x^2+1^2}}=1/1{arctg{x/1}}+C$

$int{ }{ }{dx/{x^2+4}}=int{ }{ }{dx/{x^2+2^2}}=1/2{arctg{x/2}}+C$

$int{ }{ }{dx/{x^2+9}}=int{ }{ }{dx/{x^2+3^2}}=1/3{arctg{x/3}}+C$

$int{ }{ }{dx/{x^2+16}}=int{ }{ }{dx/{x^2+4^2}}=1/4{arctg{x/4}}+C$

Wzór z arctgx w sytuacjach nietypowych

A co zrobić z taką całką nieoznaczoną:

$int{ }{ }{dx/{x^2+17}}$ ? Co podniesione do kwadratu daje 17? Nic? Nieee…. podniesione do kwadratu daje 17, zatem:

$int{ }{ }{dx/{x^2+17}}=int{ }{ }{dx/{x^2+(sqrt{17})^2}}=1/sqrt{17}{arctg{x/sqrt{17}}}+C$

Ogólnie rzecz biorąc więc, wzorem $int{ }{ }{dx/{x^2+a^2}}=1/a{arctg{x/a}+C}$ obsłużymy każdą całkę nieoznaczoną tego typu, stałe w mianowniku nie muszą być takie łatwe do przedstawienia jako coś do kwadratu…

Bestsellery w tym miesiącu

Zobacz wszystkie Kursy

Szukasz korepetycji z matematyki na poziomie studiów lub szkoły średniej? A może potrzebujesz kursu, który przygotuje Cię do matury?

Jesteśmy ekipą eTrapez. Uczymy matematyki w sposób jasny, prosty i bardzo dokładny - trafimy nawet do najbardziej opornego na wiedzę.

Stworzyliśmy tłumaczone zrozumiałym językiem Kursy video do pobrania na komputer, tablet czy telefon. Włączasz nagranie, oglądasz i słuchasz, jak na korepetycjach. O dowolnej porze dnia i nocy.

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Najnowsze artykuły

Cookie	Duration	Description
_ce.cch	session	No description
_ce.s	1 year	No description
_koko_analytics_pages_viewed	6 hours	No description available.
cebsp	session	No description
DEVICE_INFO	5 months 27 days	No description