Co podniesione do kwadratu daje 17? Czyli całki nieoznaczone i wzór z arctgx

Krystian Karczyński

Założyciel i szef serwisu eTrapez.

Magister matematyki Politechniki Poznańskiej. Korepetytor matematyki z wieloletnim stażem. Twórca Kursów eTrapez, które zdobyły ogromną popularność wśród studentów w całej Polsce.

Mieszka koło Szczecina. Lubi spacery po lesie, plażowanie i piłkę nożną.

Wzór z arctgx w typowych sytuacjach

Przyzwyczailiśmy się do stosowania wzoru: $int{}{}{dx/{x^2+a^2}}=1/a{arctg{x/a}+C}$ w “czystych” sytuacjach całkowych, takich jak:

$int{}{}{dx/{x^2+1}}$

$int{}{}{dx/{x^2+4}}$

$int{}{}{dx/{x^2+9}}$

$int{}{}{dx/{x^2+16}}$

Przekształcamy wtedy prosto…

$int{}{}{dx/{x^2+1}}=int{}{}{dx/{x^2+1^2}}$

$int{}{}{dx/{x^2+4}}=int{}{}{dx/{x^2+2^2}}$

$int{}{}{dx/{x^2+9}}=int{}{}{dx/{x^2+3^2}}$

$int{}{}{dx/{x^2+16}}=int{}{}{dx/{x^2+4^2}}$

…i wychodzimy elegancko na wynik:

$int{}{}{dx/{x^2+1}}=int{}{}{dx/{x^2+1^2}}=1/1{arctg{x/1}}+C$

$int{}{}{dx/{x^2+4}}=int{}{}{dx/{x^2+2^2}}=1/2{arctg{x/2}}+C$

$int{}{}{dx/{x^2+9}}=int{}{}{dx/{x^2+3^2}}=1/3{arctg{x/3}}+C$

$int{}{}{dx/{x^2+16}}=int{}{}{dx/{x^2+4^2}}=1/4{arctg{x/4}}+C$

Wzór z arctgx w sytuacjach nietypowych

A co zrobić z taką całką nieoznaczoną:

$int{}{}{dx/{x^2+17}}$ ? Co podniesione do kwadratu daje 17? Nic? Nieee…. sqrt{17} podniesione do kwadratu daje 17, zatem:

$int{}{}{dx/{x^2+17}}=int{}{}{dx/{x^2+(sqrt{17})^2}}=1/sqrt{17}{arctg{x/sqrt{17}}}+C$

Ogólnie rzecz biorąc więc, wzorem $int{}{}{dx/{x^2+a^2}}=1/a{arctg{x/a}+C}$ obsłużymy każdą całkę nieoznaczoną tego typu, stałe w mianowniku nie muszą być takie łatwe do przedstawienia jako coś do kwadratu…

Jedna z wielu opinii o naszych Kursach...

Jestem zadowolony z kursu. Logika zaliczona. Do łba przez prawie miesiąc nic nie nie wchodziło a tu raptem w trakcie kursu doznałem olśnienia. Dodam, iż dokonałem jego zakupu dwa dni przed ogłoszeniem wyroku i to wystarczyło, aby go odroczyć – mam nadzieję, że na zawsze. Teraz studiuję pozostałe kursy i patrzę jasno w przyszłość. Polecam go każdemu a w szczególności tym koleżankom i kolegom, którzy uważają, że wszystko jest stracone.

Szukasz korepetycji z matematyki na poziomie studiów lub szkoły średniej? A może potrzebujesz kursu, który przygotuje Cię do matury?

Jesteśmy ekipą eTrapez. Uczymy matematyki w sposób jasny, prosty i bardzo dokładny - trafimy nawet do najbardziej opornego na wiedzę.

Stworzyliśmy tłumaczone zrozumiałym językiem Kursy video do pobrania na komputer, tablet czy telefon. Włączasz nagranie, oglądasz i słuchasz, jak na korepetycjach. O dowolnej porze dnia i nocy.

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Estymacja przedziałowa i przedział ufności dla średniej (znane odchylenie w populacji sigma)

18 czerwca 2021 / Krystian Karczyński

Czytaj więcej

Granica ciągu z wzorem na liczbę e (VIDEO)

22 stycznia 2021 / Krystian Karczyński

Czytaj więcej

Kup Kurs eTrapez i zgarnij dwupak Red Bull

18 stycznia 2021 / Jan

Czytaj więcej

Najpopularniejsze Kursy

Zobacz demo