Badanie istnienia pochodnej funkcji

Pochodne Funkcji Wykład 4

Temat: Badanie istnienia pochodnej – przykłady

Streszczenie

Wykład poświęcony będzie kilku konkretnym zadaniom, w którym wykazywać będziemy istnienie (lub nie) pochodnej funkcji w punkcie, korzystając z wiadomości z poprzedniego wykładu.

Przykład 1

Sprawdź istnienie pochodnej z funkcji f(x) w punkcie :

Jak widzieliśmy w poprzednim wykładzie, aby zbadać istnienie pochodnej tej funkcji w punkcie 0 należy zbadać istnienie pochodnej lewo i prawostronnej z funkcji w tym punkcie.

Zaczynamy od pochodnej lewostronnej:

${lim}under{{Delta}x{right}0^{-}}{f(x_0+{Delta}x)-f(x_0)}/{{Delta}x}$

Za podstawiamy zero i mamy:

${lim}under{{Delta}x{right}0^{-}}{f(x_0+{Delta}x)-f(x_0)}/{{Delta}x}={lim}under{{Delta}x{right}0^{-}}{f(0+{Delta}x)-f(0)}/{{Delta}x}$

z naszego wzoru na funkcję i mamy:

${lim}under{{Delta}x{right}0^{-}}{f(0+{Delta}x)-f(0)}/{{Delta}x}={lim}under{{Delta}x{right}0^{-}}{f({Delta}x)-0}/{{Delta}x}={lim}under{{Delta}x{right}0^{-}}{f({Delta}x)}/{{Delta}x}$

z naszego podstawowego wzoru na funkcję (bo $\Delta x\ne 0$ ), zatem:

${lim}under{{Delta}x{right}0^{-}}{f({Delta}x)}/{{Delta}x}={lim}under{{Delta}x{right}0^{-}}{{Delta}xsin{1/{{Delta}x}}}/{{Delta}x}={lim}under{{Delta}x{right}0^{-}}{sin{1/{{Delta}x}}}$

Jeżeli ${Delta}x{right}0^{-}$ mamy więc granicę z sinus z czegoś rozbiegającego w , a taka granica w ogóle nie istnieje (pokazałem to w jednym z moich postów na blogu).

Zatem pochodna lewostronna funkcji f(x) w punkcie NIE ISTNIEJE.

Całe rozumowanie moglibyśmy powtórzyć właściwie dla pochodnej prawostronnej.

Zatem funkcja f(x) nie ma w punkcie pochodnej ani lewo, ani prawostronnej. Pochodna tej funkcji w tym punkcie nie istnieje (mimo, że można pokazać, iż funkcja w tym punkcie jest ciągła).

Przykład 2

Sprawdź istnienie pochodnej z funkcji f(x) w punkcie :

Badamy istnienie pochodnych jednostronnych, zaczynając od pochodnej lewostronnej:

${lim}under{{Delta}x{right}0^{-}}{f(x_0+{Delta}x)-f(x_0)}/{{Delta}x}={lim}under{{Delta}x{right}0^{-}}{f(x_0+{Delta}x)-f(x_0)}/{{Delta}x}={lim}under{{Delta}x{right}0^{-}}{f(0+{Delta}x)-f(0)}/{{Delta}x}=$

${lim}under{{Delta}x{right}0^{-}}{f({Delta}x)-0}/{{Delta}x}={lim}under{{Delta}x{right}0^{-}}{f({Delta}x)}/{{Delta}x}={lim}under{{Delta}x{right}0^{-}}{{({Delta}x)^2}sin{1/{{Delta}x}}}/{{Delta}x}=$

${lim}under{{Delta}x{right}0^{-}}{Delta}xsin{1/{{Delta}x}}$

Przy pomocy twierdzenia o trzech funkcjach (sprawdź odpowiedni post na moim blogu) można pokazać, że granica tej funkcji istnieje i jest równa zero. Rzeczywiście, zachodzi nierówność:

Granica zaś z funkcji ograniczającej z dołu i funkcji ograniczającej z góry jest równa 0:

${lim}under{{Delta}x{right}0^{-}}{Delta}x*(-1)={lim}under{{Delta}x{right}0^{-}}{Delta}x*1=0$

Zatem na mocy twierdzenia o trzech funkcjach:

${lim}under{{Delta}x{right}0^{-}}{Delta}xsin{1/{{Delta}x}}=0$

Pochodna lewostronna zatem istnieje i jest równa 0.

Całe rozumowanie można powtórzyć dla pochodnej prawostronnej, która również równa będzie 0.

Zatem pochodna funkcji f(x) w punkcie 0 istnieje i jest równa 0.

Przykład 3

Oblicz pochodne jednostronne z funkcji w punkcie .

Zaczynamy od pochodnej lewostronnej:

${lim}under{{Delta}x{right}0^{-}}{delim{|}{2+{Delta}x-2}{|}-delim{|}{2-2}{|}}/{{Delta}x}={lim}under{{Delta}x{right}0^{-}}{delim{|}{{Delta}x}{|}}/{{Delta}x}$

jest ujemna (bo ${Delta}x{right]0^{-}$ ), zatem:

${lim}under{{Delta}x{right}0^{-}}{delim{|}{{Delta}x}{|}}/{{Delta}x}={lim}under{{Delta}x{right}0^{-}}{~-{Delta}x}/{{Delta}x}=-1$

Zatem pochodna lewostronna funkcji f(x) w punkcie 2 jest równa -1.

Teraz liczymy pochodną prawostronną:

${lim}under{{Delta}x{right}0^+}{f(x_0+{Delta}x)-f(x_0)}/{{Delta}x}={lim}under{{Delta}x{right}0^+}{f(x_0+{Delta}x)-f(x_0)}/{{Delta}x}={lim}under{{Delta}x{right}0^+}{f(2+{Delta}x)-f(2)}/{{Delta}x}=$

${lim}under{{Delta}x{right}0^+}{delim{|}{2+{Delta}x-2}{|}-delim{|}{2-2}{|}}/{{Delta}x}={lim}under{{Delta}x{right}0^+}{delim{|}{{Delta}x}{|}}/{{Delta}x}$

jest dodatnia (bo ${Delta}x{right]0^+$ ), zatem:

${lim}under{{Delta}x{right}0^{+}}{delim{|}{{Delta}x}{|}}/{{Delta}x}={lim}under{{Delta}x{right}0^{+}}{+{Delta}x}/{{Delta}x}=1$

Czyli pochodna prawostronna z funkcji f(x) w punkcie 2 jest równa 1.

Przykład 4

Sprawdź istnienie pochodnej z funkcji w punkcie .

Tu zauważmy bardzo ciekawą rzecz. Pochodna z funkcji f(x) obliczona wzorami równa była by $(root{3}{x}){prime}=(x^{1/3}){prime}={1/3}x^{-2/3}={1/3}*{1/{x^{2/3}}}=1/{3root{3}{x^2}}$

Jednak pochodna obliczona tym wzorem w punkcie nie istnieje (ten punkt nie należy do jej dziedziny). Zatem nie możemy zastosować tego wzoru w punkcie i musimy badać w nim pochodną z definicji.

Zaczynamy od pochodnej lewostronnej:

${lim}under{{Delta}x{right}0^{-}}{f({Delta}x)-root{3}{0}}/{{Delta}x}={lim}under{{Delta}x{right}0^{-}}{root{3}{{Delta}x}-0}/{{Delta}x}={lim}under{{Delta}x{right}0^{-}}{root{3}{{Delta}x}}/{{Delta}x}={lim}under{{Delta}x{right}0^{-}}1/{root{3}{({Delta}x)^2}}=+infty$

Ten sam wynik zostanie osiągnięty przy obliczaniu pochodnej prawostronnej (w mianowniku jest zawsze dodatnie, bo podniesione do kwadratu).

Zatem funkcja f(x) ma w punkcie 0 pochodną nieskończoną .

KONIEC

Pisząc tego posta korzystałem z…

1. “Rachunek różniczkowy i całkowy. Tom I.” G.M. Fichtenholz. Wyd. 1966.

Kliknij, aby przypomnieć sobie, jak obliczać pochodne jednostronne funkcji (poprzedni Wykład) <–

Kliknij, aby przejść do wzorów na pochodne funkcji (następny Wykład) –>

Kliknij, aby powrócić na stronę z Wykładami o pochodnych

Cookie	Duration	Description
_ce.cch	session	No description
_ce.s	1 year	No description
_koko_analytics_pages_viewed	6 hours	No description available.
cebsp	session	No description
DEVICE_INFO	5 months 27 days	No description