Підстановки Ейлера I, II, III типів – Більше не потрібно
У попередніх постах я показав, як використовувати підстановки Ейлера у інтегралах типу:
- Підстановки Ейлера I типу (коли a>0)
- Підстановки Ейлера II типу (коли c>0)
У цьому пості ми розглянемо третій і останній тип підстановок Ейлера, які ми можемо використовувати, коли у інтегралі:
квадратний тричлен 
, має два різні корені 
, тобто коли його 
, тобто коли його можна записати у вигляді добутку: 
.
Але перед тим як перейти до справи, зауважимо, що ці три випадки:
- I тип, коли a>0
- II тип, коли c>0
- III тип, коли є два різні корені
дозволяють нам розв’язати будь-який інтеграл типу:
Насправді навіть лише I і III типи достатні.
Чому?
Випадок, коли 
можна оминути, оскільки квадратний тричлен просто перетворюється на лінійну форму 
, яку ми розв’язуємо простішими підстановками, ніж Ейлера.
Але що робити, коли a<0 (не підходить до I типу) і квадратний тричлен має один або взагалі не має коренів (не підходить до III типу)?
Тоді його графік виглядав би так (пам’ятаємо з середньої школи – гілки вниз):
або, якщо взагалі не мав би коренів, так:
Який з цього висновок? Що в обох випадках квадратний тричлен приймав би негативні значення (за винятком, щонайбільше одного пункту), а я нагадую, що ми рахуємо інтеграл:
Тобто, у підінтегральній функції квадратний тричлен знаходиться під коренем, а корінь не може бути знайдений з негативних значень (звісно, ми граємо з дійсними числами). Тобто, область визначення такої функції була б щонайбільше одним пунктом, тобто взагалі без сенсу, і такого прикладу ми точно не отримаємо. Хіба що професор буде дійсно дуже втомлений при складанні прикладів на іспиті.
Отже, випадок, коли a<0 і квадратний тричлен не має двох коренів, можна оминути, і тепер явно видно, що I і III типи підстановок Ейлера підходять до БУДЬ-ЯКОГО інтегралу типу:
До справи, отже, беремося за III тип підстановок Ейлера.
Підстановки Ейлера III типу
Маємо інтеграл:
,
де має , тобто можна його записати як:
,
де це його корені.
Підстановка, яку ми тут використовуємо, це:
Підносимо обидві сторони цієї підстановки до квадрату, квадратний тричлен зліва записуємо у вигляді добутку (знаємо, що можна), ділимо обидві сторони на 
і продовжуємо, як у попередніх типах підстановок, визначаючи послідовно:
На кінці підставляємо все до вихідного інтегралу і отримуємо – зазвичай клопіткий – раціональний інтеграл.
До роботи.
Приклад
Наше 
(тобто a<0, тобто не застосовуємо підстановки I типу), наше 
(тобто c<0, тобто не застосовуємо підстановки II типу), але наша 
, тобто можемо застосувати підстановки III типу.
Рахуємо спочатку :
Застосовуємо підстановку Ейлера III типу:
Підносимо обидві сторони до квадрату:
Квадратний тричлен зліва записуємо у вигляді добутку (пам’ятати про 
тут!!!):
Ділимо обидві сторони на 
:
Визначаємо 
:
Маємо визначене за допомогою змінної 
. Тепер беремося за визначення 
.
Повертаючись до нашої першої підстановки, маємо, що:
Вставляємо визначене 
, і маємо:
Маємо цілком акуратно визначене . Тепер вже лише 
, яке порахуємо, визначаючи похідну з :
Отже, ми визначили:
, все за допомогою змінної . Вставляємо це до інтегралу:
Спрощуємо:
Згідно з передбаченнями, ми отримуємо дійсно складний раціональний інтеграл, який я не буду рахувати.
На завершення варто ще зауважити, що…
Примітка щодо підстановок Ейлера
Маючи інтеграл:
,
де:
- I тип, коли a>0
- II тип, коли c>0
- III тип, коли є два різні корені
очевидно, що часто можна буде його розв’язувати однією з двох підстановок Ейлера, або навіть будь-якою з них (коли a>0, c>0 і одночасно ).
Жодних проблем, хоча з огляду на простоту обчислень я рекомендував би спочатку використовувати I тип, якщо це не вийде, то II, а якщо це також не вийде, то нарешті III.
Ось і все про використання підстановок Ейлера, сподіваюся, це стане вам у нагоді під час навчання, і як завжди, запрошую до коментарів під постом.
