欧拉替换 I、II、III 类 – 不再需要更多
在之前的帖子中，我展示了如何在以下类型的积分中使用欧拉替换：
在这篇文章中，我们将讨论第三种也是最后一种欧拉替换，当积分中的：
二次多项式 
, 有两个不同的根 
, 也就是说，当它的 
, 即当它可以写成乘积形式时： 
.
但是，在我们开始之前，让我们注意到这三种情况：
- I 类，当 a>0
- II 类，当 c>0
- III 类，当有两个不同的根时
将使我们能够解决任何类型的积分：
事实上，I 类和 III 类就足够了。
为什么？
因为当 
我们可以忽略它，因为二次多项式 变成了线性形式 
, 我们可以用比欧拉更简单的替换来解决。
那么当 a<0 (不适合 I 类) 且二次多项式只有一个或根本没有根 (不适合 III 类) 时怎么办？
那么它的图形会是这样的（记得中学的 – 开口向下）：
或者，如果根本没有根，那么会是这样的：
这有什么启示？在这两种情况下，二次多项式将取负值（最多只有一个点除外），我提醒你，我们在计算积分：
也就是说，被积函数中的二次多项式在根号下，而根号不能从负值中计算出来（当然，我们在玩实数）。也就是说，这样的函数的定义域最多只有一个点，也就是说完全没有意义，我们肯定不会得到这样的例子。除非教授在编写测验例题时非常疲倦。
因此，可以忽略 a<0 且二次多项式 没有两个根的情况，现在显然 I 类和 III 类欧拉替换适用于任何类型的积分：
那么，让我们开始第三种欧拉替换。
欧拉替换 III 类
我们有一个积分：
,
其中 有 , 也就是说可以写成：
,
其中 是它的根。
我们在这里使用的替换是：
我们将这个替换平方，两边的二次多项式写成乘积形式（我们知道可以），将两边除以 
并继续像之前的替换一样，依次确定：
最后我们将整个过程代入初始积分，结果是一个通常比较繁琐的有理积分。
开始吧。
例子
我们的 
(也就是说 a<0，也就是说不使用 I 类替换)，我们的 
(也就是说 c<0，也就是说不使用 II 类替换)，但我们的 
，所以我们可以使用 III 类替换。
首先计算 ：
使用欧拉 III 类替换：
平方两边：
将左边的二次多项式写成乘积形式（记住这里的 
!!!）：
将两边除以 
：
确定 
：
我们有了 使用变量 
确定的。现在我们来确定 
。
回到我们的第一个替换，我们有：
插入确定的 
，我们得到：
我们有了漂亮的 确定的。现在只剩下 
，我们通过求 的导数来计算：
所以我们有了：
，一切使用变量 。我们将其插入积分中：
简化：
如预期，我们得到一个非常复杂的有理积分，我不会计算。
最后，值得注意的是…
关于欧拉替换的注意事项
我们有一个积分：
,
其中：
- I 类，当 a>0
- II 类，当 c>0
- III 类，当有两个不同的根时
显然，经常可以用欧拉替换中的一个或甚至任意一个来解决（当 a>0，c>0 并且同时 ）。
没问题，虽然由于计算的简便性，我建议优先使用 I 类，如果不行，则使用 II 类，如果还不行，则使用 III 类。
关于欧拉替换的内容就这么多，希望对你的学习有所帮助，欢迎在帖子下方留言讨论。
