Pochodne Funkcji Wykład 4
Temat: Badanie istnienia pochodnej – przykłady
Streszczenie
Wykład poświęcony będzie kilku konkretnym zadaniom, w którym wykazywać będziemy istnienie (lub nie) pochodnej funkcji w punkcie, korzystając z wiadomości z poprzedniego wykładu.
Przykład 1
Sprawdź istnienie pochodnej z funkcji f(x) w punkcie 
:
Jak widzieliśmy w poprzednim wykładzie, aby zbadać istnienie pochodnej tej funkcji w punkcie 0 należy zbadać istnienie pochodnej lewo i prawostronnej z funkcji w tym punkcie.
Zaczynamy od pochodnej lewostronnej:
Za 
podstawiamy zero i mamy:
z naszego wzoru na funkcję i mamy:
z naszego podstawowego wzoru na funkcję (bo \Delta x\ne 0), zatem:
Jeżeli 
mamy więc granicę z sinus z czegoś rozbiegającego w 
, a taka granica w ogóle nie istnieje (pokazałem to w jednym z moich postów na blogu).
Zatem pochodna lewostronna funkcji f(x) w punkcie NIE ISTNIEJE.
Całe rozumowanie moglibyśmy powtórzyć właściwie dla pochodnej prawostronnej.
Zatem funkcja f(x) nie ma w punkcie pochodnej ani lewo, ani prawostronnej. Pochodna tej funkcji w tym punkcie nie istnieje (mimo, że można pokazać, iż funkcja w tym punkcie jest ciągła).
Przykład 2
Sprawdź istnienie pochodnej z funkcji f(x) w punkcie :
Badamy istnienie pochodnych jednostronnych, zaczynając od pochodnej lewostronnej:
Przy pomocy twierdzenia o trzech funkcjach (sprawdź odpowiedni post na moim blogu) można pokazać, że granica tej funkcji istnieje i jest równa zero. Rzeczywiście, zachodzi nierówność:
Granica zaś z funkcji ograniczającej z dołu i funkcji ograniczającej z góry jest równa 0:
Zatem na mocy twierdzenia o trzech funkcjach:
Pochodna lewostronna zatem istnieje i jest równa 0.
Całe rozumowanie można powtórzyć dla pochodnej prawostronnej, która również równa będzie 0.
Zatem pochodna funkcji f(x) w punkcie 0 istnieje i jest równa 0.
Przykład 3
Oblicz pochodne jednostronne z funkcji 
w punkcie 
.
Zaczynamy od pochodnej lewostronnej:
jest ujemna (bo 
), zatem:
Zatem pochodna lewostronna funkcji f(x) w punkcie 2 jest równa -1.
Teraz liczymy pochodną prawostronną:
jest dodatnia (bo 
), zatem:
Czyli pochodna prawostronna z funkcji f(x) w punkcie 2 jest równa 1.
Przykład 4
Sprawdź istnienie pochodnej z funkcji 
w punkcie .
Tu zauważmy bardzo ciekawą rzecz. Pochodna z funkcji f(x) obliczona wzorami równa była by 
.
Jednak pochodna obliczona tym wzorem w punkcie nie istnieje (ten punkt nie należy do jej dziedziny). Zatem nie możemy zastosować tego wzoru w punkcie i musimy badać w nim pochodną z definicji.
Zaczynamy od pochodnej lewostronnej:
Ten sam wynik zostanie osiągnięty przy obliczaniu pochodnej prawostronnej (w mianowniku jest zawsze dodatnie, bo podniesione do kwadratu).
Zatem funkcja f(x) ma w punkcie 0 pochodną nieskończoną 
.
KONIEC
Pisząc tego posta korzystałem z…
1. “Rachunek różniczkowy i całkowy. Tom I.” G.M. Fichtenholz. Wyd. 1966.
Kliknij, aby przypomnieć sobie, jak obliczać pochodne jednostronne funkcji (poprzedni Wykład) <–
Kliknij, aby przejść do wzorów na pochodne funkcji (następny Wykład) –>