Вектори та власні значення – що це таке?
Власні значення та вектори матриці з’являються (або не з’являються) у студіях як розширення теми матриць. Я не включив їх у свій Курс, тому тим, хто зацікавлений у цій темі, цей пост може справді стати у нагоді.
Що вже потрібно знати?
- матриці
- багаточлени зі школи (зазвичай тільки другого та третього ступеня)
Обчислення власних значень та векторів крок за кроком
- На початку у тебе є матриця квадратна (виключно), скажімо A. Тільки.
- Обчислюєш матрицю {{A}_{\lambda}} = A – \lambda I, де \lambda – це якесь число, що є невідомим, а I – це одинична матриця (тобто квадратна матриця, яка має одиниці на діагоналі та нулі в інших місцях).
- Обчислюєш визначник матриці {{A}_{\lambda}}.
- Цей визначник є так званим характеристичним рівнянням матриці. Прирівнюєш його до нуля та обчислюєш його корені. Ці корені саме і є власними значеннями матриці. Позначаєш їх {{\lambda}_{1}}, {{\lambda}_{2}}, {{\lambda}_{3}}, \ldots.
- Корені послідовно підставляєш у рівняння: {{A}_{\lambda}}X = 0, де X – це невідомий вектор (тобто одноколонкова матриця). Розв’яз уєш це рівняння. Розв’язком буде певний набір векторів X, кожен з яких можна назвати власним вектором.
Приклад 1 (з квадратною матрицею 2-го ступеня)
Обчисліть вектори та власні значення матриці A=\left[ \begin{matrix}3 & 2 \\4 & 1 \end{matrix} \right].
Задачу розв’язую крок за кроком за тим самим схемою.
1.
A=\left[ \begin{matrix}3 & 2 \\4 & 1 \end{matrix} \right]2.
{{A}_{\lambda}} = \left[ \begin{matrix}3 & 2 \\4 & 1 \end{matrix} \right] – \lambda \cdot \left[ \begin{matrix}1 & 0 \\0 & 1 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix}3 & 2 \\4 & 1 \end{matrix} \right] – \left[ \begin{matrix}\lambda & 0 \\0 & \lambda \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix}3-\lambda & 2 \\4 & 1-\lambda \end{matrix} \right]
3.
\left| \begin{matrix}3-\lambda & 2 \\4 & 1-\lambda \end{matrix} \right| = \left( 3-\lambda \right) \left( 1-\lambda \right) – 2 \cdot 4 = 3-3\lambda -\lambda + {{\lambda}^2} – 8 = {{\lambda}^2} – 4\lambda – 5
4.
{{\lambda}^2} – 4\lambda – 5 = 0
\Delta = {{(-4)}^2} – 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36
{{\lambda}_{1}} = \frac{-(-4) – \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{4 – 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1
{{\lambda}_{2}} = \frac{-(-4) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5
Власні значення матриці це: -1 і 5.
5.
Власні вектори для {{\lambda}_{1}}=-1
Для {{\lambda}_{1}}=-1:
{{A}_{{{\lambda}_{1}}}}=\left[\begin{matrix}3-\left(-1\right) & 2 \\ 4 & 1-\left(-1\right)\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}4 & 2 \\ 4 & 2\end{matrix}\right]
\left[\begin{matrix}4 & 2 \\ 4 & 2\end{matrix}\right]X=0
\left[\begin{matrix}4 & 2 \\ 4 & 2\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}x \\ y\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}0 \\ 0\end{matrix}\right]
Отже (множачи матриці зліва та прирівнюючи до відповідного елементу матриці справа):
\left\{\begin{matrix}&4x+2y=0\\&4x+2y=0\\\end{matrix}\right.
Отже, має бути виконана умова:
4x+2y=0
Це рівняння має нескінченну кількість пар x та y, отже, має нескінченну кількість розв’язків.
Отже, власних векторів для власного значення {{\lambda}_{1}}=-1 є нескінченна кількість.
Наприклад, встановивши x=1, отримаємо 4\cdot1+2y=0, тобто y=-2.
Прикладний власний вектор тоді буде:
\left[\begin{matrix}1 \\ -2\end{matrix}\right]Загалом власні вектори матимуть координати:
\left[\begin{matrix}x \\ -2x\end{matrix}\right]бо з залежності 4x+2y=0 можна вивести, що y=-2x.
Власні вектори для {{\lambda }_{2}}=5
Для {{\lambda}_{2}}=5:
{{A}_{{{\lambda}_{2}}}}=\left[\begin{matrix}3-5 & 2 \\ 4 & 1-5\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}-2 & 2 \\ 4 & -4\end{matrix}\right]
\left[\begin{matrix}-2 & 2 \\ 4 & -4\end{matrix}\right]X=0
\left[\begin{matrix}-2 & 2 \\ 4 & -4\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}x \\ y\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}0 \\ 0\end{matrix}\right]
Тепер (знову множачи матриці зліва та прирівнюючи до відповідного елементу матриці справа):
\left\{\begin{matrix}&-2x+2y=0\\&4x-4y=0\\\end{matrix}\right.
Система, як завжди тут, є невизначеною (має нескінченну кількість розв’язків), але існує залежність:
Це рівняння задовольняє нескінченну кількість пар, де x=y, отже, має нескінченну кількість розв’язків.
Отже, власних векторів для власного значення {{\lambda}_{2}}=5 є нескінченна кількість і загалом мають рівняння:
\left[\begin{matrix}x \\ x\end{matrix}\right]Наприклад, встановивши x=1, отримаємо власний вектор:
\left[\begin{matrix}1 \\ 1\end{matrix}\right]Приклад 2 (з квадратною матрицею третього порядку)
Обчисліть вектори та власні значення матриці A=\left[ \begin{matrix}2 & 1 & 0 \\-6 & 1 & -6 \\-3 & 1 & -1 \end{matrix} \right].
Розв’язую завдання крок за кроком, використовуючи той самий схему.
1.
A=\left[ \begin{matrix}2 & 1 & 0 \\-6 & 1 & -6 \\-3 & 1 & -1 \end{matrix} \right]
2.
{{A}_{\lambda }}= \left[ \begin{matrix}2 & 1 & 0 \\-6 & 1 & -6 \\-3 & 1 & -1 \end{matrix} \right]-\lambda \cdot\left[ \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix}2 & 1 & 0 \\-6 & 1 & -6 \\-3 & 1 & -1 \end{matrix} \right]-\left[ \begin{matrix}\lambda & 0 & 0 \\0 & \lambda & 0 \\0 & 0 & \lambda \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix}2-\lambda& 1 & 0 \\-6 & 1-\lambda & -6 \\-3 & 1 & -1-\lambda \end{matrix} \right]
3.
Обчислюю за правилом Саррюса і отримую:
\left| A \right| = -{{\lambda }^{3}}+2{{\lambda }^{2}}-11\lambda +22
4.
-{{\lambda }^{3}}+2{{\lambda }^{2}}-11\lambda +22=0
Тепер трюк з групуванням термів (як у середній школі):
{{\lambda }^{2}}\left( -\lambda +2 \right)+11\left( -\lambda +2 \right)=0
\left( {{\lambda }^{2}}+11 \right)\left( -\lambda +2 \right)=0
Отже:
{{\lambda }^{2}}+11=0 або -\lambda +2=0
{{\lambda }^{2}}+11 = 0 не має розв’язків у дійсних числах (але якщо ваш професор вимагає обчислювати власні значення також у комплексних числах, то вперед, тут зазвичай буде два корені – комплексні числа).
-\lambda +2 = 0 \lambda = 2
Власним значенням (у дійсних числах) матриці є: 2.
Власні вектори для {{\lambda }}=2
Для \lambda=2:
\left[ \begin{matrix}2-2& 1 & 0 \\-6 & 1-2 & -6 \\-3 & 1 & -1-2\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}0& 1 & 0 \\-6 & -1 & -6 \\-3 & 1 & -3\end{matrix} \right]
\left[ \begin{matrix}0& 1 & 0 \\-6 & -1 & -6 \\-3 & 1 & -3\end{matrix} \right]X=0
\left[ \begin{matrix}0& 1 & 0 \\-6 & -1 & -6 \\-3 & 1 & -3\end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix}x \\y \\z \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}0 \\0 \\0 \end{matrix} \right]
Отже, (множачи матриці зліва і прирівнюючи до відповідного елементу матриці справа):
\left\{ \begin{matrix}y=0\\-6x-y-6z=0\\-3x+y-3z=0\\ \end{matrix} \right.
Пам’ятай, що це завжди невизначена система, яка має нескінченно багато розв’язків. Щоб її розв’язати, можна застосувати теорему Кронекера-Капеллі, але ця тут дуже проста.
Враховуючи, що спочатку маю y=0 , отримую з інших двох рівнянь:
\left\{ \begin{matrix}-6x-6z=0\\-3x-3z=0\\ \end{matrix} \right.З цих рівнянь маю залежність z=-x.
Отже, власних векторів для власного значення \lambda=2 є нескінченно багато і їх можна описати залежністю:
\left[ \begin{matrix}x \\0 \\-x \end{matrix} \right]Наприклад, вибравши x=1 , отримаю власний вектор:
\left[ \begin{matrix}1 \\0 \\-1 \end{matrix} \right]Як порахувати вектори та власні значення у WolframAlpha?
Якщо тобі потрібні лише готові розв’язки, або хочеш перевірити результат, можеш скористатися інтернетовим калькулятором Wolfram. Зайди на сайт:
Потім введи у пошуковик матрицю, вектори та власні значення якої хочеш порахувати наступним чином:
{{елементи 1-го рядка розділені комами},{елементи 2-го рядка розділені комами},…}
Наприклад:
Потім просто підтверди, натиснувши ENTER.
Характеристичний поліном – можеш прочитати у полі Characteristic polynomial
Власні значення – можеш прочитати у полі Eigenvalues
Власні вектори – можеш прочитати у полі Eigenvectors
Відео
У іншому пості я також записав відео, де показую розрахунок власних значень і векторів на 3 прикладах, запрошую:
Власні значення та вектори – 3 приклади Відео
Дякую
Сподіваюся, що після прочитання цього посту та виконання кількох прикладів ти не матимеш проблем із розрахунком власних значень і векторів на навчанні.
Якщо у тебе є будь-які сумніви, або приклади, які ти не розумієш – дай мені знати в коментарях під постом.
