Kalkulator do pochodnych

Zapraszam do korzystania z przerobionego przeze mnie kalkulatora do pochodnych:

Myślę, że tutaj sprawa jest bardzo jasna. Wpisujemy funkcję, klikamy na ‚Oblicz” i mamy jej pochodną.

Funkcje należy wpisywać we właściwy sposób, zgodny z ogólną instrukcją wpisywania formuł matematycznych. Poniżej kilka przykładów.

 

Przykład 1

Chcemy obliczyć pochodną z funkcji y=4x^3.

Wpisujemy w kalkulator: 4x^3. Klikamy ‚Oblicz’.

Mamy wynik: y{prime}(x)=12x^2

 

Przykład 2

Chcemy obliczyć pochodną z funkcji y=ln^2{(sinx+12)}.

Wpisujemy w kalkulator: (ln(sinx+12))^2

Mamy wynik: y{prime}(x)={2cosxln(sinx+12)}/{sinx+12}

Przykład 3

Chcemy obliczyć pochodną z funkcji y={x+1}/{(x-2)(x+4)}.

Wpisujemy w kalkulator: (x+1)/((x-2)(x+4))

Mamy wynik: y{prime}(x)=…sami sprawdźcie jaki (trochę kosmiczny, ale tylko trochę) :)

Poznaj podstawy edukacji matematycznej na studiach

Dołącz do ponad 16000 studentów na Akademii eTrapez

Oto, co czeka na Ciebie:

  • 15 darmowych Lekcji (video + zadanie domowe)
  • 10 internetowych kalkulatorów
Załóż darmowe konto na Akademii eTrapez
O Krystian Karczyński

Nazywam się Krystian Karczyński, od kilkunastu lat pomagam studentom w matematyce.

Nowe technologie związane z Internetem pozwalają uczyć szybciej, bardziej ciekawie i skutecznie, co pokazuję na swojej Akademii eTrapez i na blogu.

Komentarze

  1. Basia napisał:

    Panie Krystianie,
    zupełnie nie wiem dlaczego pochodna z x^sinx wychodzi

    [x^(sinx-1)][sinx + lnxcosx]

    licząc tą pochodną zatrzymuję się w momencie: [x^sinx][sinx/x +cosxlnx], korzystam ze wzoru: a^b = e^blna

    • Krystian Karczyński napisał:

      A w tej tzw. „prawidłowej odpowiedzi” nie powinno być x przed lnxcosx? Tzn. xlnxcosx zamiast lnxcosx?

  2. Łukasz napisał:

    Witam
    Mam pewien problem
    Bo zupełnie nie wiem dlaczego \frac{-1}{{{x}^{2}}+1} ma pochodną \frac{2x}{{{x}^{2}}+1}?
    Prosiłbym o małą pomoc;)

    • Krystian Karczyński napisał:

      Dzień dobry

      No trochę niezupełnie, pochodna z \frac{-1}{{{x}^{2}}+1} to \frac{2x}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}}, a nie \frac{2x}{{{x}^{2}}+1}.

      Bierze się to – na przykład – z elementarnego wzoru {{\left( \frac{a}{x} \right)}^{\prime }}=-\frac{a}{{{x}^{2}}}.

      Licząc z tego wzoru i traktując funkcję {{x}^{2}}+1 jako funkcję wewnętrzną i przyjmując a=-1 mam:

      {{\left( \frac{-1}{{{x}^{2}}+1} \right)}^{\prime }}=-\frac{-1}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}}{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{\prime }}=\frac{1}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}}2x=\frac{2x}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}}

      Można też skorzystać z normalnego wzoru na dzielenie:

      {{\left( \frac{-1}{{{x}^{2}}+1} \right)}^{\prime }}=\frac{{{\left( -1 \right)}^{\prime }}\left( {{x}^{2}}+1 \right)-\left( -1 \right){{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{\prime }}}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}}=\frac{0\cdot \left( {{x}^{2}}+1 \right)+2x}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}}=\frac{2x}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}}

  3. Michał napisał:

    Ja mam problem z pochodną lnx-1/(lnx)^2 Jak to obliczyć ?
    proszę o pomoc i pozdrawiam

    • Krystian Karczyński napisał:

      Jasne, trzeba najpierw skorzystać z wzoru na dzielenie, a potem na funkcję złożoną:

      {{\left( \frac{\ln x-1}{{{\ln }^{2}}x} \right)}^{\prime }}=\frac{{{\left( \ln x-1 \right)}^{\prime }}{{\ln }^{2}}x-\left( \ln x-1 \right){{\left( {{\ln }^{2}}x \right)}^{\prime }}}{{{\left( {{\ln }^{2}}x \right)}^{2}}}=\frac{\tfrac{1}{x}{{\ln }^{2}}x-\left( \ln x-1 \right)2\ln x\cdot \tfrac{1}{x}}{{{\ln }^{4}}x}=

      =\frac{\tfrac{{{\ln }^{2}}x}{x}-\tfrac{2\ln x\left( \ln x-1 \right)}{x}}{{{\ln }^{4}}x}=\frac{{{\ln }^{2}}x-2\ln x\left( \ln x-1 \right)}{x{{\ln }^{4}}x}=\frac{\ln x\left[ \ln x-2\left( \ln x-1 \right) \right]}{x{{\ln }^{4}}x}=\frac{-\ln x+2}{x{{\ln }^{3}}x}

  4. Stanisław napisał:

    Witam Panie Krystianie,
    czy nie zna Pan jakiegoś kalkulatora do liczenia pochodnych cząstkowych wielu zmiennych?

    Dziękuję za pomoc i pozdrawiam:)

  5. Kasia napisał:

    Wstawiłam pochodną z
    y=ln2 −x2 * arctgx
    i wyszło jakieś kompletne dziwactwo -2x^3 tan^-1 ?

    Proszę o pomoc Panie Krystianie

    • Krystian Karczyński napisał:

      Wszystko jest chyba O.K. Rozumiem, że policzyć Pan chciał pochodną z: y= \ln 2-{{x}^{2}}arctgx – czy dobrze rozumiem?

      No to policzmy „ręcznie”:

      {{\left( \ln 2-{{x}^{2}}arctgx \right)}^{\prime }}={{\left( \ln 2 \right)}^{\prime }}-{{\left( {{x}^{2}}arctgx \right)}^{\prime }}=-\left( {{\left( {{x}^{2}} \right)}^{\prime }}arctgx+{{x}^{2}}{{\left( arctgx \right)}^{\prime }} \right)=

      =-2xarctgx-\frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}+1}

      W tym momencie Wolfram bardzo się stara „ułatwić” nam życie i przekształca ten wynik dalej, do wspólnego mianownika:

      -2xarctgx-\frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}+1}=\frac{-2xarctgx\cdot \left( {{x}^{2}}+1 \right)}{{{x}^{2}}+1}-\frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}+1}=\frac{-2{{x}^{3}}arctgx-2xarctgx-{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}+1}=\frac{-2{{x}^{3}}arctgx-{{x}^{2}}-2xarctgx}{{{x}^{2}}+1}

      W amerykańskim zapisie matematycznym funkcje odwrotne do trygonometrycznych nie zaznacza się tak jak u nas przez np. arctgx, tylko jako {{\tan }^{-1}}x, czyli mamy Wolframowy:

      \frac{-2{{x}^{3}}arctgx-{{x}^{2}}-2xarctgx}{{{x}^{2}}+1}=\frac{-2{{x}^{3}}{{\tan }^{-1}}x-{{x}^{2}}-2x{{\tan }^{-1}}x}{{{x}^{2}}+1}

      • Kasia napisał:

        miało być (ln2^-x^2) * arctgx
        ln2 do potęgi -x do potęgi 2 i to wszystko razy arctgx
        Więc przepraszam za błąd w zapisie i czy mogłabym jeszcze raz poprosić o pomoc ?

        • Krystian Karczyński napisał:

          Hmmm… Czyli w ten sposób: \ln {{2}^{-{{x}^{2}}}}arctgx ?

          • Kasia napisał:

            tak ;)

          • Krystian Karczyński napisał:

            No to troszkę dziwnie, ale liczę (przed rzuceniem się na pochodne korzystam z własności logarytmu)…

            {{\left( \ln {{2}^{-{{x}^{2}}}}arctgx \right)}^{\prime }}={{\left( -{{x}^{2}}\ln 2arctgx \right)}^{\prime }}=-2x\cdot \ln 2\cdot arctgx-{{x}^{2}}\ln 2\cdot \frac{1}{1+{{x}^{2}}}=-2x\cdot \ln 2\cdot arctgx-\frac{{{x}^{2}}\ln 2}{1+{{x}^{2}}}

            Tutaj niestety Wolfram znowu próbuje bardzo na siłę „ułatwić” Pani życie i sprowadza do wspólnego mianownika:

            -2x\cdot \ln 2\cdot arctgx-\frac{{{x}^{2}}\ln 2}{1+{{x}^{2}}}=\frac{-2x\cdot \ln 2\cdot arctgx\cdot \left( 1+{{x}^{2}} \right)}{1+{{x}^{2}}}-\frac{{{x}^{2}}\ln 2}{1+{{x}^{2}}}=\frac{-2x\cdot \ln 2\cdot arctgx-2{{x}^{3}}\cdot \ln 2\cdot arctgx-{{x}^{2}}\ln 2}{1+{{x}^{2}}}=\frac{-2x\cdot \ln 2\cdot arctgx-2{{x}^{3}}\cdot \ln 2\cdot arctgx+\ln {{2}^{-{{x}^{2}}}}}{1+{{x}^{2}}}

            No i zamieniając kolejność w liczniku i pamiętając o tym, że w Stanach arctgx={{\tan }^{-1}}x i \ln x=\log \left( x \right) mamy Wolframowy:

            \frac{-2{{x}^{3}}\log \left( 2 \right)\cdot {{\tan }^{-1}}x+\log \left( {{2}^{-{{x}^{2}}}} \right)-2x\log \left( 2 \right){{\tan }^{-1}}x}{1+{{x}^{2}}}

  6. Kasia napisał:

    Dziękuje bardzo za pomoc;)

  7. Bartek napisał:

    Prosiłbym o pomoc w rozwiązaniu zadania mojego szalonego wykładowcy, który jak zwykle na ćwiczeniach i wykładach robił jedno a na
    egzaminie drugie :P

    4. Dla jakiego n jest spełniona nierówność: [(x+n)/(x+1)]^x >7 Sorry, że to zadanie wrzuciłem pod stronę z kalkulatorem pochodnych, ale nie bardzo wiedziałem, gdzie indziej mogę o to zapytać. Z góry dzięki za pomoc

    • Bartek napisał:

      x -> nieskończoności

    • Krystian Karczyński napisał:

      Dzień dobry

      Jasne, rozumiem, że chodzi o nierówność:

      \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( \frac{x+n}{x+1} \right)}^{x}}>7 ?

      Liczę sobie spokojnie granicę z lewej strony nierówności (poprzez dojście do wzoru na liczbę e):

      \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( \frac{x+n}{x+1} \right)}^{x}}=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( \frac{x+1-1+n}{x+1} \right)}^{x}}=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1+\frac{-1+n}{x+1} \right)}^{x}}=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left[ {{\left( 1+\frac{-1+n}{x+1} \right)}^{x+1}} \right]}^{\frac{x}{x+1}}}=

      Na boku liczę granicę z wykładnika potęgi:

      \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{x+1}=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{x\left( 1+\tfrac{1}{x} \right)}=1

      Liczyli mam granicę po lewej stronie nierówności policzoną:

      \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left[ {{\left( 1+\frac{-1+n}{x+1} \right)}^{x+1}} \right]}^{\frac{x}{x+1}}}={{\left[ {{e}^{-1+n}} \right]}^{1}}={{e}^{-1+n}}

      Wracam się do nierówności:

      {{e}^{-1+n}}>7

      Jest to nierówność wykładnicza (z potęgą). Rozwiązuję ją logarytmując obie strony:

      {{e}^{-1+n}}>7\quad /\ln \left( \ldots  \right)

      \ln {{e}^{-1+n}}>\ln 7

      \left( -1+n \right)\ln e>\ln 7

      -1+n>\ln 7

      n>\ln 7+1

      W zadaniu było gdzieś powiedziane, że n musi być liczbą naturalną? Jeśli nie, to mam rozwiązanie, jeśli tak, to trzeba by jeszcze podumać nad tym, które liczby naturalne spełniają tą nierówność.

  8. Sebastian Stulej napisał:

    Jak rozwiązać pochodzną x^x ?

    • Adam napisał:

      Ponieważ nie ma takiego wzoru na pochodną jak x^x więc trzeba trochę pokombinować… można trzeba tez wzór rozpisać najlepiej jako e do jakiejś tam potęgi, a ponieważ a^(loga z b) = b więc e^(lnx)=x więc x już mamy i teraz to wszystko trzeba podnieść do potęgi x więc: (e^lnx)^x i korzystając z własności logarytmu wychodzi nam e^xlnx i liczysz jak pochodną funkcji złożonej e do. (e^xlnx)’ = e^xlnx * (lnx+x*(1/x)) (tam zastosowałem wzór na pochodną iloczynu) więc wychodzi ostatecznie
      (e^xlnx)*(lnx+1) ex można zamienić e^xlnx i wyjdzie prze arcy końcowy wynik: xlnx +x :)

  9. Adam napisał:

    Witam! Chcę tylko na początku dorzucić, że uwielbiam Pana i doceniam to co pan dla nas biednych studentów robi i dziękuję za to :) I mam takie małe pytanie, przy obliczaniu pochodnej z a^x kalkulator wylicza a^x * log(2) a nie powinno byc a^x*ln(x)? ln zamiast log? bo to trochę zmienia postać rzeczy :)

    • Krystian Karczyński napisał:

      A dzięki, dzięki, ale kalkulator wylicza {{a}^{x}}\log \left( a \right) jako wynik, a nie {{a}^{x}}\log \left( 2 \right)

      No ale poza tym sprawa jest prosta i zwrócił Pan uwagę na ważny problem: w zachodnim zapisie matematycznym logx oznacza logarytm NATURALNY (czyli nasz lnx). Oni w ogóle nie używają zapisu lnx. Trzeba więc zawsze odpowiednio „tłumaczyć” wyniki.

      Więcej informacji o WolframAlpha może Pan zasięgnąć z mojego ebooka i filmików video:

      WolframAlpha – Praktyczny Przewodnik

  10. Lena napisał:

    Witam,
    Mam obliczyć drugą pochodną z wyrażenia: 2^2+2x+lnx. I pierwsza pochodna wyszła mi taka: 4x+2+1/x. Licząc z tego drugą pochodną wychodzi 4+ ,,,, Własnie nie wiem jaka jest pochodna z 1/x :(

    • Krystian Karczyński napisał:

      Dzień dobry, obawiam się, że już pierwsza pochodna wyszła Pani nieprawidłowa…

      {{\left( {{2}^{2}}+2x+\ln x \right)}^{\prime }}=2+\frac{1}{x}

      Pochodna z {{2}^{2}} równa jest zero, bo to pochodna z liczby, stałej (dwa do kwadratu to po prostu cztery). Pochodna z {{x}^{2}} równa jest 2x, ale pochodna z {{2}^{2}} równa się 0.

      Licząc dalej mamy:

      {{\left( 2+\frac{1}{x} \right)}^{\prime }}=-\frac{1}{{{x}^{2}}}

      …niech Pani zerknie np. na moje wzory do pochodnych – wzór numer 4.

  11. Kuba napisał:

    witam, mam problem z przykładem ((1/x)^(sinx))^lnx . Czy tutaj trzeba użyć tego wzoru a^b=e^(blna)?
    Oraz czy mógłby Pan pomóc z tym zadaniem : )
    Pozdrawiam : )

    • Krystian Karczyński napisał:

      Jasne, trzeba skorzystać z wzoru: {{a}^{b}}={{e}^{b\ln a}}, a rozpisując krok po kroku pójdzie to tak:

      {{\left[ {{\left( {{\left( \frac{1}{x} \right)}^{\sin x}} \right)}^{\ln x}} \right]}^{\prime }}={{\left[ {{\left( \frac{1}{x} \right)}^{\sin x\cdot \ln x}} \right]}^{\prime }}={{\left[ {{e}^{\sin x\cdot \ln x\cdot \ln \tfrac{1}{x}}} \right]}^{\prime }}={{e}^{\sin x\cdot \ln x\cdot \ln \tfrac{1}{x}}}{{\left( \sin x\cdot \ln x\cdot \ln \tfrac{1}{x} \right)}^{\prime }}=

      ={{e}^{\sin x\cdot \ln x\cdot \ln \tfrac{1}{x}}}{{\left( \sin x\cdot \ln x\cdot \ln \tfrac{1}{x} \right)}^{\prime }}={{e}^{\sin x\cdot \ln x\cdot \ln \tfrac{1}{x}}}\left[ {{\left( \sin x \right)}^{\prime }}\left( \ln x\cdot \ln \tfrac{1}{x} \right)+\sin x{{\left( \ln x\cdot \ln \tfrac{1}{x} \right)}^{\prime }} \right]=

      ={{e}^{\sin x\cdot \ln x\cdot \ln \tfrac{1}{x}}}\left[ \cos x\cdot \ln x\cdot \ln \tfrac{1}{x}+\sin x\left( {{\left( \ln x \right)}^{\prime }}\cdot \ln \tfrac{1}{x}+\ln x\cdot {{\left( \ln \tfrac{1}{x} \right)}^{\prime }} \right) \right]=

      ={{e}^{\sin x\cdot \ln x\cdot \ln \tfrac{1}{x}}}\left[ \cos x\cdot \ln x\cdot \ln \tfrac{1}{x}+\sin x\left( \frac{1}{x}\cdot \ln \tfrac{1}{x}+\ln x\cdot \frac{1}{\tfrac{1}{x}}{{\left( \frac{1}{x} \right)}^{\prime }} \right) \right]=

      ={{e}^{\sin x\cdot \ln x\cdot \ln \tfrac{1}{x}}}\left[ \cos x\cdot \ln x\cdot \ln \tfrac{1}{x}+\sin x\left( \frac{\ln \tfrac{1}{x}}{x}+\ln x\cdot x\cdot \left( -\frac{1}{{{x}^{2}}} \right) \right) \right]=

      ={{e}^{\sin x\cdot \ln x\cdot \ln \tfrac{1}{x}}}\left[ \cos x\cdot \ln x\cdot \ln \tfrac{1}{x}+\sin x\left( \frac{\ln \tfrac{1}{x}}{x}-\ln x\cdot \frac{1}{x} \right) \right]=

      {{e}^{\sin x\cdot \ln x\cdot \ln \tfrac{1}{x}}}\left[ \cos x\cdot \ln x\cdot \ln \tfrac{1}{x}+\frac{\sin x\left( \ln \tfrac{1}{x}-\ln x \right)}{x} \right]

      No i mam tylko nadzieję, że dobrze odczytałem zapis na początku…

      • Kamil napisał:

        Witam, tak spoglądałem na komentarze i zauważyłem jak Pan tutaj wyliczał pochodną. Chciałbym się spytać Pana o dwie rzeczy:
        1. W pierwszej linijce na końcu skąd (z jakiego wzoru/własności) pochodna z e^(sin(x)*ln(x)*ln(1/x)) to ta sama liczba pomnożona przez pochodną wykładnika liczby e?
        2. W drugiej linijce na początku, jak mamy pochodną (sinx*lnx*ln(1/x) to na jej zapisanie korzystamy ze wzoru [ f(x) * g(x) ]’= f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x) tylko czemu nie potraktujemy (sin*ln(x)) jako czynnik 1, a lnx(1/x) jako drugi? tylko samo sin(x) jako czynnik 1?
        3. Czy w takich sytuacjach jak pytaniu 2 (kiedy mamy wiele iloczynów), po zastosowaniu przemienności mnożenia pochodne będą takie same?

        Pozdrawiam serdecznie :)

  12. Michał napisał:

    Witam, w kursie badania zmienności funkcji w ostatniej lekcji (rysowanie wykresu + tabelka) bada Pan zmienność funkcji e^(x)/x^(2)

    Mam wielki problem z obliczeniem drugiej pochodnej (potrzebnej do zbadania wklęsłości/wypukłości) tej funkcji, z pierwszą radzę sobie bez problemu, natomiast co do drugiej, to męczę się od dwóch godzin i za każdym razem wychodzi mi inny wynik, moi znajomi z kierunku też mają różne wyniki.
    Bardzo Pana proszę o pomoc, gdyż w czwartek mam egzamin właśnie z badania zmienności funkcji. Wynik znam, bo porównując mianownik tej pochodnej otrzymał Pan jedno rozwiązanie, którym jest zero. Natomiast jak dojść do tego wyniku? Bardzo proszę o poświęcenie mi chwili, gdyż nie umiem sobie poradzić, pozdrawiam :)

    ps: Wolfram niewiele pomaga

    • Krystian Karczyński napisał:

      Przepraszam, już trochę po ptokach (tzn. po czwartku), ale odpowiem.

      To jest mój ulubiony przykład, bo kiedyś udzielałem dużo korepetycji studentom Akademii Morskiej w Szczecinie i tam był taki bardzo znany profesor (może obejdźmy się bez nazwisk…) który zawsze na poprawkach dawał do rozwiązania TEN właśnie przykład. Było z tym trochę śmiechu zawsze.

      No ale do rzeczy. Dlaczego WolframAlpha nie pomaga? Proszę zerknąć, wystarczy prosta formuła:

      (e^x/x^2)”
      Polecam tutaj mój poradnik do tego kalkulatora: WolframAlpha Praktyczny Przewodnik .

      No a teraz dojdźmy do wyniku krok po kroku. Kluczem do sukcesu będzie stałe porządkowanie wyników (wyciąganie przed nawias).

      Liczę pierwszą pochodną:

      {{\left( \frac{{{e}^{x}}}{{{x}^{2}}} \right)}^{\prime }}=\frac{{{\left( {{e}^{x}} \right)}^{\prime }}{{x}^{2}}-{{e}^{x}}{{\left( {{x}^{2}} \right)}^{\prime }}}{{{\left( {{x}^{2}} \right)}^{2}}}=\frac{{{e}^{x}}{{x}^{2}}-{{e}^{x}}\cdot 2x}{{{x}^{4}}}=\frac{{{e}^{x}}x\left( x-2 \right)}{{{x}^{4}}}=\frac{{{e}^{x}}\left( x-2 \right)}{{{x}^{3}}}

      Teraz drugą:

      {{\left( \frac{{{e}^{x}}\left( x-2 \right)}{{{x}^{3}}} \right)}^{\prime }}=\frac{{{\left[ {{e}^{x}}\left( x-2 \right) \right]}^{\prime }}{{x}^{3}}-{{e}^{x}}\left( x-2 \right){{\left( {{x}^{3}} \right)}^{\prime }}}{{{\left( {{x}^{3}} \right)}^{2}}}=\frac{\left[ {{\left( {{e}^{x}} \right)}^{\prime }}\left( x-2 \right)+{{e}^{x}}{{\left( x-2 \right)}^{\prime }} \right]{{x}^{3}}-{{e}^{x}}\left( x-2 \right)3{{x}^{2}}}{{{x}^{6}}}=

      =\frac{\left[ {{e}^{x}}\left( x-2 \right)+{{e}^{x}} \right]{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}{{e}^{x}}\left( x-2 \right)}{{{x}^{6}}}=\frac{{{e}^{x}}\left[ x-2+1 \right]{{x}^{3}}-{{e}^{x}}\left( x-2 \right)3{{x}^{2}}}{{{x}^{6}}}=\frac{{{x}^{3}}{{e}^{x}}\left( x-1 \right)-3{{x}^{2}}{{e}^{x}}\left( x-2 \right)}{{{x}^{6}}}=

      =\frac{{{x}^{2}}{{e}^{x}}\left[ x\left( x-1 \right)-3\left( x-2 \right) \right]}{{{x}^{6}}}=\frac{{{e}^{x}}\left[ {{x}^{2}}-x-3x+6 \right]}{{{x}^{4}}}=\frac{{{e}^{x}}\left( {{x}^{2}}-4x+6 \right)}{{{x}^{4}}}

      No i tyle, powodzenia, polecam wszystkim mój Kurs, na którym krok po kroku na filmikach Video pokazuję, jak się robi takie rzeczy:

      Kurs Pochodne i Badanie Przebiegu Zmienności Funkcji

  13. Paulina napisał:

    a ja mam trochę inne pytanie. Czy pochodna z zera wynosi zero, czy nie istnieje?

  14. Arek napisał:

    Dzień dobry
    Ja mam nieco inne pytanie, na które ciężko znaleźć klarowną odpowiedź. Jak oblicza sie numerycznie (za pomoca kalkulatora czy komputera) pochodna funkcji jednej zmiennej?

    Z góry dziękuję za pomoc

  15. Mateusz napisał:

    Witam,
    Ja również mam pytanie – czy mógłby mi Pan wytłumaczyć, dlaczego i w jaki sposób, z pochodnej : 3/x^4 wychodzi wynik : -12/x^5 ?
    Byłbym wdzięczny :)

  16. Marcin napisał:

    Witam Panie Krystianie!
    Mam problem z pochodną f(x) = arctg sqrt1-x/1+x
    Czy mógłbym prosić Pana o pomoc.

    Pozdrawiam

  17. Karolina napisał:

    WITAM przeszłam cały Pana kurs pochodny ale mam problem z jedną która występuje w Krysickim bardzo proszę o pomoc
    y=4^xln4arctgx + 4^x/1+x^2

    • Krystian Karczyński napisał:

      Witam,

      Niestety, mogłem źle zinterpretować, co jest przez co dzielone, co podniesione do czego i przemnożone przez co, ale strzeliłem, że chodzi pochodną z funkcji:

      y={{4}^{x}}\ln \left( 4arctgx \right)+\frac{{{4}^{x}}}{1+{{x}^{2}}}

      Ruszam więc, stosując wzory i metody z mojego Kursu Pochodnych:

      {y}'={{\left( {{4}^{x}}\ln \left( 4arctgx \right)+\frac{{{4}^{x}}}{1+{{x}^{2}}} \right)}^{\prime }}={{\left( {{4}^{x}} \right)}^{\prime }}\ln \left( 4arctgx \right)+{{4}^{x}}{{\left[ \ln \left( 4arctgx \right) \right]}^{\prime }}+\frac{{{\left( {{4}^{x}} \right)}^{\prime }}\left( 1+{{x}^{2}} \right)-{{4}^{x}}{{\left( 1+{{x}^{2}} \right)}^{\prime }}}{{{\left( 1+{{x}^{2}} \right)}^{2}}}=

      ={{4}^{x}}\ln 4\cdot \ln \left( 4arctgx \right)+{{4}^{x}}\frac{1}{4arctgx}{{\left( 4arctgx \right)}^{\prime }}+\frac{{{4}^{x}}\ln 4\cdot \left( 1+{{x}^{2}} \right)-{{4}^{x}}\cdot 2x}{{{\left( 1+{{x}^{2}} \right)}^{2}}}=

      ={{4}^{x}}\left[ \ln 4\cdot \ln \left( 4arctgx \right)+\frac{1}{4arctgx}4\cdot \frac{1}{1+{{x}^{2}}}+\frac{\left( 1+{{x}^{2}} \right)\ln 4-2x}{{{\left( 1+{{x}^{2}} \right)}^{2}}} \right]=

      ={{4}^{x}}\left[ \ln 4\cdot \ln \left( 4arctgx \right)+\frac{1}{\left( 1+{{x}^{2}} \right)arctgx}+\frac{\left( 1+{{x}^{2}} \right)\ln 4-2x}{{{\left( 1+{{x}^{2}} \right)}^{2}}} \right]

  18. Piotr napisał:

    Dzień dobry. Czy mógłby mi Pan pomóc z pochodną:

    f(x) = 1/(2x) * ln(1+x^2) – arctgx

    tam jest na początku ułamek razy logarytm naturalny.

    Wynik przedstawić trzeba w najprostrzej postaci.

    • Awesome napisał:

      Wrzucasz ln(…) na góre i zwykłe rozwiązanie na f(x)-g(x) na ln(,,,)/2x stosujesz f(x)/ g(x) wzor i masz… ;)

  19. Mateusz napisał:

    Witam serdecznie, przerobiłem Pana kurs z geometrii analitycznej ciągi i pochodne…świetne przygotowanie do kolokwium.
    Miałem tylko problem z jedną pochodną i proszę o rozwiązanie
    y ‚ = arcsin(x^2) / pierwiastek z 2 – tgx

  20. witam, proszę o pomoc jak odczytać z rysunku asymptoty i granice (jak je odróżnić). oraz bardzo proszę o jakiś materiał o obliczaniu granic funkcji. :)

  21. Kuba napisał:

    Zupełnie nie mam pojęcia jak rozwiazać pochodna y=(lnx)^x

  22. Kuba napisał:

    Witam, mam problem z policzenie pochodnej y=(lnx)^x

  23. Adam napisał:

    Witam mam problem z taką pochodną:

    x*a^x/a^x-1

    liczyłem ją już kilka razy i za każdym razem wychodzi mi nieskaczonosc a powinno wyjść 1.

    Prosze o pomoc.

    Pozdrawiam :)

  24. Kamil napisał:

    Witam, egzamin tuż tuż a mam problem z zadaniem takiego typu:

    Wyprowadź z definicji wzór na pochodną funkcji f(x) = 2x^2 + 1.

    Próbowałem rozwiązać to korzystając z Pańskich filmików lecz nie potrafię się za to zabrać.
    Byłbym wdzięczny za odpowiedz.
    Pozdrawiam.

  25. Miko napisał:

    Witam, mam pytanie, dlaczego przy liczeniu ekstremum po obliczeniu pochodnej z xlnx wynik jest równy logx+1 a x wychodzi wg odpowiedzi 1/e?

    • Miko napisał:

      to już wiem, tylko nie wiem teraz dlaczego zbiór f(maleje) (0,1) suma z (1,e) przy y=x/lnx tego to całkiem nie pojmuje

  26. Kornelia napisał:

    Mam pytanie dlaczego jak wpisuję y=pi + 3t nie wychodzi mi wynik… pi jest jako stała? A z kolei jak wpisuję y= 4t to w ogóle nic nie wychodzi..
    .. Pozdrawiam ;)

    • Krystian Karczyński napisał:

      Kalkulator jest ustawiony na zmienną x, a nie zmienną t. Niech Pani wpisze y=pi+3x i y=4x, wszystko ładnie wyjdzie.

  27. Martyna napisał:

    Panie Krystianie a jak wpisać w ten kalkulator pierwiastek piątego stopnia ?

  28. Kasia napisał:

    Błagam o pomoc!!
    Nie mogę poradzić sobie z równaniem różniczkowym:

    y’ = ( (x+1)/x )y = 3x ^2 e^ -x

    Błagam o pomoc!!!!:(

    • Krystian Karczyński napisał:

      O.K. ale albo jest jakiś błąd w formule, albo to są dwa równania, Pani Kasiu.

      Jedno z nich to:

      y’ = ( (x+1)/x )y

      a drugie:

      ( (x+1)/x )y = 3x ^2 e^ -x

      ?

  29. Ela napisał:

    Witam serdecznie Panie Krystianie!
    Nie mogę sobie poradzić z przykładem z zakresu pochodnych cząstkowych

    z = xlny – rozumiem że tu należy skorzystać ze wzoru na mnożenie pochodnych , lecz dalej stoję i nie wiem jak to ciachnąć
    z= sin(xy)/x tak samo z tym

    Prosiłabym o jakąś dobrą porade.
    Pozdrawiam

  30. Marcin napisał:

    Dobry Wieczór Panie Krystianie!

    Męczy mnie ostatnio dość pewnie prosta ale dla mnie nie typowa całka mianowicie:
    http://www.wolframalpha.com/input/?i=Integral+%281%2F%28xsqrtx%29%29dx+

    Całka 1/xsqrtx dx

    Za pomocą jakiej metody można ten przykład rozwiązać?

    Pozdrawiam serdecznie!

  31. Iza napisał:

    Dzień Dobry Panie Krystianie

    Mam wielki problem z równaniem różniczkowym: y’ – 2xy = x
    dochodzę do momentu obliczenia pochodnej i dalej ani rusz
    Bardzo proszę Pana o pomoc

    Pozdrawiam serdecznie

  32. angelika napisał:

    Witam,

    mam problem z pochodną cząstkową z/y:
    z=x^2*pierwiastek z (x+y/x-y)

    Bardzo proszę o pomoc,
    pozdrawiam.

    • Krystian Karczyński napisał:

      Witam, bardzo proszę:

      z={{x}^{2}}\sqrt{\frac{x+y}{x-y}}

      \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}\left( {{x}^{2}}\sqrt{\frac{x+y}{x-y}} \right)={{x}^{2}}\frac{\partial }{\partial y}\left( \sqrt{\frac{x+y}{x-y}} \right)=

      ={{x}^{2}}\frac{1}{2\sqrt{\tfrac{x+y}{x-y}}}\frac{\partial }{\partial y}\left( \frac{x+y}{x-y} \right)=

      ={{x}^{2}}\frac{1}{2\tfrac{\sqrt{x+y}}{\sqrt{x-y}}}\frac{\tfrac{\partial }{\partial y}\left( x+y \right)\left( x-y \right)-\left( x+y \right)\tfrac{\partial }{\partial y}\left( x-y \right)}{{{\left( x-y \right)}^{2}}}=

      =\frac{{{x}^{2}}\sqrt{x-y}}{2\sqrt{x+y}}\frac{x-y+x+y}{{{\left( x-y \right)}^{2}}}=\frac{{{x}^{2}}\sqrt{x-y}}{2\sqrt{x+y}}\frac{2x}{{{\left( x-y \right)}^{2}}}=\frac{{{x}^{3}}\sqrt{x-y}}{\sqrt{x+y}{{\left( x-y \right)}^{2}}}

      Jakby coś było niejasne, proszę dać znać :)

      • Mateusz napisał:

        Witam. Panie Krystianie od 2 dni nurtuje mnie pewien problem, który polega na pewnych pochodnych. Otóż mam problem z rozwiązanie pochodnych cząstkowych ( I i II rzędu ) oczywiście potrzebnych do obliczenia eksteremum funkcji. Oto funkcja :

        z = e ^ – x ( y ^ 2 – 2x ). Nie wychodzą mi pochodne cząstkowe. Drugi problem to : Oblicz ekstermum funkcji : z = x ^ 4 + y ^ 4 – 2 x ^ 2 – 2 y ^ 2 + 4xy. Dostalem takie zadanie na egzmainie i do dzisiaj nie mogę się z tym uporać.

        Bardzo proszę o pomoc. Pozdrawiam.

        • Krystian Karczyński napisał:

          Co do pierwszego przykładu, to trochę się rozmachnąłem i zrobiłem cały. Mam nadzieję, że dobrze odczytałem Pana zapis.

          Jak rozumiem, chodzi o funkcję: z={{e}^{-x}}\left( {{y}^{2}}-2x \right)

          Liczę:

          \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}\left( {{e}^{-x}}\left( {{y}^{2}}-2x \right) \right)=\frac{\partial }{\partial x}\left( {{e}^{-x}} \right)\left( {{y}^{2}}-2x \right)+{{e}^{-x}}\frac{\partial }{\partial x}\left( {{y}^{2}}-2x \right)=

          =-{{e}^{-x}}\left( {{y}^{2}}-2x \right)+{{e}^{-x}}\left( -2 \right)={{e}^{-x}}\left( -{{y}^{2}}+2x-2 \right)

          \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}\left( {{e}^{-x}}\left( {{y}^{2}}-2x \right) \right)={{e}^{-x}}\frac{\partial }{\partial y}\left( {{y}^{2}}-2x \right)=2y{{e}^{-x}}

          Teraz układ równań:

          \left\{ \begin{matrix}   & {{e}^{-x}}\left( -{{y}^{2}}+2x-2 \right)=0\quad /:{{e}^{-x}}\\   & 2y{{e}^{-x}}=0\quad /:{{e}^{-x}}\\  \end{matrix} \right.

          \left\{ \begin{matrix}   & -{{y}^{2}}+2x-2=0 \\   & 2y=0\quad \Rightarrow \ y=0 \\  \end{matrix} \right.

          Czyli biorąc pierwsze równanie:

          -{{0}^{2}}+2x-2=0

          2x-2=0

          2x=2\quad /:1

          x=1

          Mój punkt stacjonarny ma zatem współrzędne: {{P}_{1}}\left( 1,0 \right)

          Teraz druga część zadania:

          \frac{{{\partial }^{2}}z}{\partial {{x}^{2}}}=\frac{\partial }{\partial x}\left[ {{e}^{-x}}\left( -{{y}^{2}}+2x-2 \right) \right]=

          =\frac{\partial }{\partial x}\left( {{e}^{-x}} \right)\left( -{{y}^{2}}+2x-2 \right)+{{e}^{-x}}\frac{\partial }{\partial x}\left( -{{y}^{2}}+2x-2 \right)=

          =-{{e}^{-x}}\left( -{{y}^{2}}+2x-2 \right)+{{e}^{-x}}\cdot 2={{e}^{-x}}\left( {{y}^{2}}-2x+4 \right)

          \frac{{{\partial }^{2}}z}{\partial y\partial x}=\frac{\partial }{\partial y}\left[ {{e}^{-x}}\left( -{{y}^{2}}+2x-2 \right) \right]={{e}^{-x}}\frac{\partial }{\partial y}\left( -{{y}^{2}}+2x-2 \right)=-2y{{e}^{-x}}

          \frac{{{\partial }^{2}}z}{\partial x\partial y}=\frac{\partial }{\partial x}\left( 2y{{e}^{-x}} \right)=2y\frac{\partial }{\partial x}\left( {{e}^{-x}} \right)=-2y{{e}^{-x}}

          \frac{{{\partial }^{2}}z}{\partial y\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}\left( 2y{{e}^{-x}} \right)={{e}^{-x}}\frac{\partial }{\partial y}\left( 2y \right)=2{{e}^{-x}}

          Tworzę z tych pochodnych cząstkowych drugiego rzędu odpowiedni wyznacznik:

          W=\left| \begin{matrix}    {{e}^{-x}}\left( {{y}^{2}}-2x+4 \right) & -2y{{e}^{-x}} \\    -2y{{e}^{-x}} & 2{{e}^{-x}} \\ \end{matrix} \right|

          Podstawiam do niego współrzędne punktu stacjonarnego:

          W\left( {{P}_{1}} \right)=\left| \begin{matrix}    {{e}^{-1}}\left( {{0}^{2}}-2\cdot 1+4 \right) & -2\cdot 0\cdot {{e}^{-1}} \\    -2\cdot 0\cdot {{e}^{-1}} & 2{{e}^{-1}} \\ \end{matrix} \right|=\left| \begin{matrix}    2{{e}^{-1}} & 0 \\    0 & 2{{e}^{-1}} \\ \end{matrix} \right|={{\left( 2{{e}^{-1}} \right)}^{2}}

          Wyznacznik jest większy od zera, a \frac{{{\partial }^{2}}z}{\partial {{x}^{2}}} w tym punkcie także przyjmuje wartość większą od zera, zatem w punkcie {{P}_{1}}\left( 1,0 \right) funkcja osiąga minimum.

          {{z}_{\min }}={{e}^{-1}}\left( {{0}^{2}}-2\cdot 1 \right)=-2{{e}^{-1}}=-2\cdot \frac{1}{e}=-\frac{2}{e}

          • Mateusz napisał:

            Bardzo dziękuję panie Krystianie odpowiedż otrzymałem dzień przed egzamine poprawkowym co pomoglo rozwiązać jeden problem :) Pozdrawiam serdecznie !!!

          • Krystian Karczyński napisał:

            No to dorzucę jeszcze ekstremum do tego drugiego przykładu i gratuluję (jak rozumiem) poprawkowego:

  33. Natalia napisał:

    jak w tym programie policzyć pochodną po x1 z lnx1+x2 oraz pochodna po x2 z tej samej funkcji?

  34. jak policzyć pochodną układu? y= {x=ln(27+t^2), y=2sin^28t

  35. Natalia napisał:

    Czy ktoś może mi podpowiedzieć jaka będzie pochodna po x1 z lnx1+x2 oraz pochodna po x2 z tej samej funkcji?

  36. i jeszcze jedno pytanko:
    z=lnx+cos27y-(27x/27y) czy pochodna z’=(1/x)-(1/y)? :)

  37. Witam,
    Trochę poza tematem, ale może ktoś pomoże w rozwiązaniu zadań:
    Witam, czy ktoś mógłby pomóc w rozwiązaniu kilku zadań? Obliczyć pole figury ograniczonej krzywymi:
    a) x+27y=27, y=0, x=-3, x=2
    b) y=x/27, y=0, x=-2, x=-1
    wystarczy podać co ma być pod całką, dalej już łatwo pójdzie.
    a także:
    wierzchołki figury są w punktach:
    A1 (27; 3;6); A2( 2; 27; 1) ; A3(-27;0; 1) i A4(-4; 6;-27).
    znaleźć:
    1. długość krawędzi A1A2
    2. kąt między krawędziami A1A1 i A1A3
    3. równanie krawędzi A1A4
    4. równanie ściany A1,A2,A3
    5. kąt pomiędzy krawędzią A1A4 a ścianą A1,A2
    6. pole ściany A1,A2,A3
    7. pojemność figury
    Jeżeli ktoś ma jakiś podobny przykład rozwiązany może być, najważniejsze mi poznać zasadę rozwiązania takiego typu zadania…
    Będę bardzo bardzo wdzięczna za pomoc.

  38. anna napisał:

    czy mogłby ktoś napisać ile wynosi pochodan po x1 i po x2 ze wzroru (x1 do potęgi 1/3 + x2 do potęgi 1/3 )^3

  39. michał napisał:

    Panie Krystianie, skorzystałem z Pana kalkulatora dla przykładu pochodnej y=ln(x+sqrt(x^2+1)) i otrzymałem prawidłowy wynik (skonfrontowałem go z odpowiedzią w mojej książce do analizy matematycznej). Z przykładem tym męczę się już jakiś czas i nie wiem jak dojść do końcowego, najbardziej uproszczonego wyniku wyniku. Bardzo proszę o pomoc i pozdrawiam serdecznie, ten kalkulator to wspaniała sprawa : )

  40. Łukasz napisał:

    Witam, nie mogę rozwiązać przykładu 7 z Twierdzenia de L’Hospitala, a mianowicie: lim x->nieskończoność x^3/10^x.
    W mianowniku wychodzi mi jakieś 10^x razy ln10 z wzoru na pochodną a^x. Kolejna pochodna z tego to jakieś cuda na kiju :D.

    • Krystian Karczyński napisał:

      Eeeeee tam, jakie cuda na kiju, prościutka pochodna. ln10 to jest zwykła stała, taka sama jak 2 , albo 15 .

      Robi się tak:

      \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{3}}}{{{10}^{x}}}\underset{H}{\overset{\left[ \tfrac{\infty }{\infty } \right]}{\mathop{=}}}\,\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{3{{x}^{2}}}{{{10}^{x}}\ln 10}\underset{H}{\overset{\left[ \tfrac{\infty }{\infty } \right]}{\mathop{=}}}\,\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\left( 3{{x}^{2}} \right)}^{\prime }}}{{{\left( {{10}^{x}}\ln 10 \right)}^{\prime }}}=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{3{{\left( {{x}^{2}} \right)}^{\prime }}}{\ln 10{{\left( {{10}^{x}} \right)}^{\prime }}}=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{6x}{{{10}^{x}}{{\left( \ln 10 \right)}^{2}}}\underset{H}{\overset{\left[ \tfrac{\infty }{\infty } \right]}{\mathop{=}}}\,\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{6}{{{10}^{x}}{{\left( \ln 10 \right)}^{3}}}=0

  41. Łukasz napisał:

    hmm to teraz wszystko jasne, nie wiedziałem, że ln10 to stała. Dziękuje za rozwiązanie.

  42. konrad napisał:

    Mam wielki problem z przykładem z mojego kolokwium, mianowicie: Zbadać monotoniczność i wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji: y= 2x/x^2+1, oraz funkcji y= x*sqrt(4 – x^2). W pierwszej funkcji znak „/” zastępuje kreskę ułamkową. Bardzo proszę o pomoc z tymi przykładami. Będę bardzo wdzięczny.

  43. Kamil napisał:

    Witam
    mam wzór g=4pi^2*n^2(l+d/2)/t^2 mam niepewność pomiaru oszacować metodą rożniczkowania wzoru, delta g=|dg/dt|* delta t + |dg/dd| * delta d+ |dg/dl|* delta l = ?
    mam wzór dg/dt=-8pi^2n^2(l+d/2)/t^3. a jak policzyc |dg/dd| i |dg/dl| czy mógłby mi ktoś pomóc ?

  44. Piotrek napisał:

    Witam Panie krystianie czy mógłbym liczyć na pomoc w zadaniach nr 36,37 z kursu pochodnych ? mianowicie chodzi mi o przykład
    (lnx)^x oraz (1+x)^sinx . Z góry Dziękuje i Pozdrawiam

  45. Dominika napisał:

    Witam Mam mały problem z matematyką .
    Mianowicie dostałam zadanie na pierwszym roku studiów i mam z nim ogromny kłopot.
    Lim=(1/x-1/sinx) oczywiscie x dąży do zera. Czy mogę liczyć na szczegółowe rozwiązanie z wytłumaczeniem krok po kroku ?

  46. Magda napisał:

    witam, mam problem z obliczeniem pochodnych arcsin^9 4x i log3(cosx) . Moge liczyc na pomoc?

  47. Dominika napisał:

    Witam, mam prośbę, męcze się z zadaniem już pare dni i nie moge rozwiązać, mogę liczyć na pomoc?
    Obliczyć pochodną:
    (a/b)^x * (b/x)^a * (x/a)^b , gdzie a,b>0

  48. Krystian napisał:

    Mam pytanie , dla mnie dosyć ważne x^2*2^x*sinx jak obliczyć z tego pochodną , aby wyszło coś takiego y'(x) = 2^x x (x cos(x)+(x log(2)+2) sin(x)) . Nie mam pojęcia z jakiego wzoru pan to obliczył , gdyż w kursie w drugiej lekcji nie było żadnego przykładu z pochodną z trzema czynnikami pomnożone przez siebie , próbowałem ze wzoru na mnożenie ale mi nie wyszło PROSZĘ O POMOC

    • Damian M napisał:

      Ziom, wzór na pochodna 3 czynnikow wydlada tak, mniej wiecej. fx-1czynnik, gx-2czynnik, tx-3czynnik
      a więc masz y’= fx’*gx*tx + fx*gx’*tx + fx*gx*tx’

  49. Ania napisał:

    Dzień dobry. Mam do obliczenia takie pochodne sin^2*3x oraz cos^2*3x. W książce odpowiedź do pierwszej funkcji 6sin6x, a do drugiej -6sin6x, kiedy mnie cały czas uparcie wychodzi 6sin3xcos3x oraz 6cos3xsin3x. Nie mam pojęcia co dzieję się w obu przypadkach z cosinusem,jaki wzór tu zastosowano… Bardzo proszę o pomoc!

  50. (sin(2×-1))’
    dlaczego w wyniku jest 2cos(1-2x), a nie 2cos(2×-1)??

    • Krystian Karczyński napisał:

      To ten sam wynik.

      Cosinus jest funkcją parzystą, czyli \cos x=\cos \left( -x \right).

      Czyli: \cos \left( 2x-1 \right)=\cos \left[ -\left( 2x-1 \right) \right]=\cos \left( -2x+1 \right)=\cos \left( 1-2x \right)

      Niestety, taki wątpliwy „urok” kalkulatorów, że czasami przedstawiają wynik nie w tej postaci, w której nam wychodzi z „naszych” algorytmów liczenia.

  51. Ada napisał:

    Potrzebuje pomocy obliczyć drugą pochodną funkcji: f(x)=e^3x^2+2x, wszystko po „e” jest w jej potędze.?

  52. Paulina napisał:

    Witam, mam taki problem próbuję wyliczyć pochodną z y=x^2*2^x*sinx, kompletnie nie wiem jak się do tego zabrać. Bardzo proszę o pomoc.

  53. Katarzyna napisał:

    Witam, mam problem z pochodną: f(x)=cosx^sinlatex x^3$$ . Muszę obliczyć pochodne 1 i 2 stopnia.
    Proszę o pomoc

  54. Katarzyna napisał:

    widzę, że niestety źle musiałam wpisać formułę, więc wpisuję pochodną jeszcze raz:
    f(x)=cosx^sinx^3 (czyli cos x podniesiony do potęgi sinx^3)

    • Krystian Karczyński napisał:

      Witam, zakładam, że chodzi o funkcję: f\left( x \right)={{\left( \cos x \right)}^{\sin {{x}^{3}}}}

      Jedziemy, sposobem z mojego Kursu Video:

      {f}'\left( x \right)={{\left( {{\left( \cos x \right)}^{\sin {{x}^{3}}}} \right)}^{\prime }}={{\left( {{e}^{\sin {{x}^{3}}\ln \cos x}} \right)}^{\prime }}={{e}^{\sin {{x}^{3}}\ln \cos x}}{{\left( \sin {{x}^{3}}\ln \cos x \right)}^{\prime }}=

      ={{e}^{\sin {{x}^{3}}\ln \cos x}}\left( {{\left( \sin {{x}^{3}} \right)}^{\prime }}\ln \cos x+\sin {{x}^{3}}{{\left( \ln \cos x \right)}^{\prime }} \right)={{e}^{\sin {{x}^{3}}\ln \cos x}}\left( \cos {{x}^{3}}\cdot {{\left( {{x}^{3}} \right)}^{\prime }}\ln \cos x+\sin {{x}^{3}}\frac{1}{\cos x}{{\left( \cos x \right)}^{\prime }} \right)=

      ={{e}^{\sin {{x}^{3}}\ln \cos x}}\left( 3{{x}^{2}}\cos {{x}^{3}}\ln \cos x+\sin {{x}^{3}}\frac{1}{\cos x}\left( -\sin x \right) \right)={{e}^{\sin {{x}^{3}}\ln \cos x}}\left( 3{{x}^{2}}\cos {{x}^{3}}\ln \cos x-tgx\sin {{x}^{3}} \right)

      Z pochodną drugiego rzędu już wymiękłem, przepraszam, p. Katarzyno.

      • Katarzyna napisał:

        Dziękuję za odpowiedź. Nie spodziewałam się, że to jest aż TAKIE trudne, szczególnie, że nie jestem na studiach matematycznych. Bardzo mi Pan pomógł.
        Pozdrawiam, Katarzyna

  55. Łukasz napisał:

    Przepraszam, co oznacza skrót „sec” i „csc”? przy obliczniu pochodnych z 1/cos^x i – 1/sin^x

  56. Paula napisał:

    Mógłby mi Pan pomóc w krotkim zadanku y=sqrt((a+bx)/(a-bx)) y’=? tzn wynik wiem jaki wyjść powinien jednak przy obliczeniach wychodzi mi zupełnie co innego

  57. Justyna napisał:

    Witam, czy byłaby możliwość pomocy z taką pochodną, bo za nic nie mogę jej wyliczyć, próbowałam sto razy i wychodzą mi jakieś dziwne, do niczego nie podobne wyniki.

    Pochodna:
    U(q)=D(1-e^(-S(q-q_0)))^2

    Z góry dziękuję za pomoc.

  58. aga napisał:

    mam pewien problem robię zadanie z fizyki i mam wzór ogólny: I=1/8md^2. Muszę obliczyc pochodną I/d oraz I/m czy może mo ktoś pomóc ????Proszę

  59. Ania napisał:

    Witam,
    czy mógłby mi ktoś powiedzieć ( i wytłumaczyć)
    ile wynosi pochodna z f(x)=log 10x ?
    Chyba nie umiem tego wpisać do kalkulatora pochodnych albo czegoś nie rozumiem.
    Z góry dziękuje za pomoc

    • Krystian Karczyński napisał:

      Pochodna z \log 10x to pochodna z logarytmu o podstawie 10 , liczymy ją ze wzoru: {{\left( {{\log }_{a}}x \right)}^{\prime }}=\frac{1}{x\ln a}, czyli:

      {{\left( \log 10x \right)}^{\prime }}=\frac{1}{10x\ln 10}{{\left( 10x \right)}^{\prime }}=\frac{1}{10x\ln 10}\cdot 10=\frac{1}{x\ln 10}

      Problem z kalkulatorem jest taki, że on czyta „po amerykańsku”, a tam log oznaczana logarytm NATURALNY (a u nas ln).

      Trzeba więc kalkulatorowi „zapodać” odpowiednią podstawę, np. wpisując: log_10(x)

  60. Sylwia napisał:

    Witam. mam do obliczenia pochodną arcctg(1/sqrt(x)) jest to funkcja złożona wiadomo , gdy wstawiłam do kalkulatora wychodzi na początku inny wynik http://www.wolframalpha.com/share/clip?f=d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427ehf53quid60
    ale gdy wciskam step by step solution to na końcu jest inny wynik (ten mi wyszedł) jak z tamtego przejść na ten wynik z linku ?

  61. monika napisał:

    Witam Panie Krystianie ! mam problem z obliczeniem 1 i 2giej pochodnej z lnx/sqrt(x). :( potrzebne mi to do punktow przegiecia i wypukłości.. wynik z kalkulatora mi nie pomaga, ani nawet kroki.. prosze o pomoc

  62. Paweł napisał:

    Witam.Mam do obliczenia kilka pochodnych, ogólnie wzory,rozkład mam obcykane co i jak się robi.Jednak problem zaczyna pojawiać się wtedy kiedy zamiast literki x pojawiają się t,v,z itp.Nie do końca wiem jak mam się zachować w takim przykładzie jak : lnsqrt(1+t)/(1-t). Kiedy mam te literki traktować jako stałe a kiedy jako zmienne?

  63. Jakub napisał:

    Witam, mam do obliczenia następującą pochodną

    .

    w przykładzie zamias „log” jest „ln” niewiem czy to coś zmienia, a już kompletnie nie wiem jak się za to zabrać :/ Z góry dziękuję za pomoc, szczególnie jeżeli ktoś mi to rozpisze. Pozdrawiam :)

  64. Magda napisał:

    Witam :) nie mogę sobie dać rady z dwoma przykładami z równań różniczkowych i proszę o pomoc: 1. y’=2y*(x-2) 2. y”-(x^2+1)=2xy’
    Będę wdzięczna za pomoc POZDRAWIAM Magda

  65. Marek napisał:

    Mógłby Pan wytłumaczyć dlaczego pochodna z x(x-1)^3 wynosi (x-1)^2(4×-1)^3 a nie 3x^2+6x+3? Moje rozumowanie: pochodna=3(x-1)^2*1

    • Krystian Karczyński napisał:

      Tutaj na początku trzeba skorzystać z wzoru na pochodną mnożenia. Polecam mój Kurs , tam powolutku tłumaczę od podstaw :)

  66. Witam. Czy mógłby mi Pan podpowiedzieć jak obliczyć pochodną wyrażenia: Lnx^Lnx ?

  67. Tomek napisał:

    WItam, mam problem z pochodną czastkową (x + y) ^y . Jaka będzie wartość pochodnej po x i po y? Bardzo prosze o pomoc

  68. Krystian napisał:

    Dzień dobry.

    Czy w Pańskich kursach znajdę coś takiego jak „ZASTOSOWANIE CAŁEK” ? Chodzi mi głównie o :
    – Pole obszaru ograniczonego przez funkcje (krzywe, sinusoidy, parabole pionowe/poziome itd.)
    – Długość łuku krzywej
    – Objętość bryły/bryły obrotowej,
    – Pole powierzchni bryły obrotowej.

    Pozdrawiam.

  69. witek napisał:

    Witam, mam problem z pochodną
    (1/x+linx)^1/2 /3x^4+x^3+1
    proszę o pomoc

  70. Grzesiek napisał:

    Witam .
    Mam problem z granicą lim x->infinity (x-x^2 *ln(1+1/x))
    Próbowałem ja na różne sposoby , wychodziło mi 2, lub 0 . Opowiedz w książce jak i na wolframie to 1/2
    Pozdrawiam

  71. Magda napisał:

    Witam :) nie mogę sobie dać rady z dwoma przykładami z równań różniczkowych i proszę o pomoc: 1. y’=2y*(x-2) 2. y”-(x^2+1)=2xy’
    Będę wdzięczna za pomoc POZDRAWIAM Magda

  72. Ola napisał:

    WItam :D Borykam się z przykładowym zadaniem z egzaminu, dotyczącego badania przbeiegu funkcji. Wygląda tak: sinx – sin^2x. Dziedzina = R. Pochodna to cosx – 2sinx cosx dziedzina pochodnej też rzeczywiste.. Problem mam z przyrównaniem do zera, nie wiem jakie bedą rozwiązania, proszę o pomoc!:)

  73. Marcin napisał:

    Witam serdecznie :>

    czy w Pańskich kursach znajdują się gdzieś rzeczy dotyczące różniczkowalności funkcji w danym punkcie i zadania z parametrem z tym związane ?

    Z góry dziękuję za odpowiedź.

    Pozdrawiam.

  74. Ania napisał:

    Witam :) mam problem z taką dziedziną : arcsin√9-x^2 + 1/sinπx, to pod pierwiastkiem wiadomo, jeśli chodzi o arcsin po rozpatrzeniu dwóch przypadków wyszły mi wszystkie liczby rzeczywiste o ile się nie mylę i nie jestem pewna co z sinusem… będę bardzo wdzięczna za pomoc :)

  75. Natalia napisał:

    Witam. Czy mógłby mi pan pomóc wyznaczyć ekstrema lokalne i calke nieoznaczoną funkcji f(x)=xexp(x)? Mam wielki problem z „exp”..

    • Krystian Karczyński napisał:

      Witam. Te całe wielkie „exp” to po prostu funkcja e do tego co tam jest w nawiasie, czyli ma tu Pani funkcję: f\left( x \right)=x{{e}^{x}} .

  76. Piotrek napisał:

    witam, potrzebne obliczenie pochodnej jak dla mnie strasznej.
    f(x) = log2(3^x+x^1/3)*arcsinx/2

  77. Iga napisał:

    Witam Panie Krystianie,
    mam okropny problem w postaci policzenia ekstrema lokalnego funkcji f(x,y)=(x^2-y^2)e^x
    Nie wychodzi mi policzenie pochodnej po df/dx i df/dy :(
    Proszę o pomoc! :)

  78. Witam mam problem z obliczeniem długości łuku spirali i nie wiem zbytnio jak za to się zabrać. Wychodzę do pana z zapytaniem o pomoc :D Zadanie brzmi następująco :D 20. Oblicz długość łuku spirali o równaniu r=ae^k(fi), gdzie a>0,k>0 oraz w przedziale 0<(fi)<2pi. Załącz szkic tego łuku. Z góry dziękuje za pomoc :D

  79. Grzegorz napisał:

    Jaka pochodna wyjdzie z y=(lnx)^ (1/x) ?

  80. Agnieszka napisał:

    Pochodna jakaś kosmos – na kalkulatorze wychodzi ładny wynik, ale dochodzę do pewnego momentu i koniec :[
    (1/x)*e^(2x^2)
    Pomocy proszę!

  81. Hubert napisał:

    Witam, mam pewien problem z pochodną z definicji w której i w liczniku i w mianowniku jest x. a mianowicie wygląda to tak : 2×-5/x-2 w punkcie 5. Czy mógłby Pan zapisac mi tylko początek ?
    Ogólnie mam tak:
    1) ta pochodna do oblicznia w pukcie x0=3
    2) i tę samą do oblicznia normlnie z definicji
    Pozdrawiam

  82. Kasia napisał:

    jak obliczyć pochodną drugiego rzędu z x^(1/2)*lnx?

  83. Karolina napisał:

    mam problem z obliczeniem pochodnej ((e^x)((x^2)-2x))/(x^4)

  84. Kamil napisał:

    y(x)=2^ln|ax-1| oblicz y'(x)

    Mogę prosić o pomoc w rozwiązaniu?

  85. ola napisał:

    nie ma pojęcia, jaki może być wzór na n-tą pochodną pierwiastka (dowolnego stopnia). Czy mogę liczyć na pomoc?

    • Krystian Karczyński napisał:

      Policzę kilka „pierwszych” pochodnych i zauważę ogólny wzór, O.K.?

      \sqrt[a]{x}

      {{\left( \sqrt[a]{x} \right)}^{\prime }}={{\left( {{x}^{\frac{1}{a}}} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{a}{{x}^{\tfrac{1}{a}-1}}

      {{\left( \sqrt[a]{x} \right)}^{\prime \prime }}={{\left( \frac{1}{a}{{x}^{\tfrac{1}{a}-1}} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{a}{{\left( {{x}^{\tfrac{1}{a}-1}} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{a}\left( \tfrac{1}{a}-1 \right){{x}^{\tfrac{1}{a}-2}}

      {{\left( \sqrt[a]{x} \right)}^{\prime \prime \prime }}={{\left( \frac{1}{a}\left( \tfrac{1}{a}-1 \right){{x}^{\tfrac{1}{a}-2}} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{a}\left( \tfrac{1}{a}-1 \right){{\left( {{x}^{\tfrac{1}{a}-2}} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{a}\left( \tfrac{1}{a}-1 \right)\left( \tfrac{1}{a}-2 \right){{x}^{\tfrac{1}{a}-3}}

      {{\left( \sqrt[a]{x} \right)}^{\left( 4 \right)}}={{\left( \frac{1}{a}\left( \tfrac{1}{a}-1 \right)\left( \tfrac{1}{a}-2 \right){{x}^{\tfrac{1}{a}-3}} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{a}\left( \tfrac{1}{a}-1 \right)\left( \tfrac{1}{a}-2 \right){{\left( {{x}^{\tfrac{1}{a}-3}} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{a}\left( \tfrac{1}{a}-1 \right)\left( \tfrac{1}{a}-2 \right)\left( \tfrac{1}{a}-3 \right){{x}^{\tfrac{1}{a}-4}}

      I myślę, że jest już dosyć jasne, że pochodna dowolnego rzędu n z pierwiastka stopnia a równa jest:

      {{\left( \sqrt[a]{x} \right)}^{\left( n \right)}}=\frac{1}{a}\left( \tfrac{1}{a}-1 \right)\left( \tfrac{1}{a}-2 \right)\cdot \ldots \cdot \left( \tfrac{1}{a}-\left( n-1 \right) \right){{x}^{\tfrac{1}{a}-n}}=\frac{1}{a}\left( \tfrac{1}{a}-1 \right)\left( \tfrac{1}{a}-2 \right)\cdot \ldots \cdot \left( \tfrac{1}{a}-n+1 \right){{x}^{\tfrac{1}{a}-n}}

  86. adam napisał:

    czy przypadkiem współczynnik przy drugiej pochodnej nie powinien być (1/a)(1/a-1) ?

  87. Paweł napisał:

    Witam
    Mam problem z obliczeniem całki x^3*e^(-2x^4). Jak sie do tego zabrac? Jak na razie ani przez podstawienie ani przez częsci nic nie wychodzi chocbym nie wiem jak kombinował. Bardzo proszę o pomoc. Chciałbym jeszcze zapytac jak narysowac wykres takiego „cuda”?

  88. Karcia20 napisał:

    Wiatm
    Mój problem polega na tym że kompletnie zapomniałam jak liczyło się pochodne, przykład podam napewno banalnie prosty, ale może uda mi się jakoś odświeżyć pamieć.
    cos^2 (x) – sinus^2 (x) .
    Z góry dziękuję za pomoc

  89. jonsi napisał:

    Panie Krystianie, a ile wynosi pochodna z f(x)=ln(x+\/(ax-1))?

  90. zustek napisał:

    Co się stało z możliwością, zobaczenia krok po kroku jak jest wyliczana pochodna

  91. kamil napisał:

    Witam, mam pytanie ile wynoszą pochodne cząstkowe pierwszego rzędu z x^lny.

  92. Panie Krystianie zwracam się z ogromną prośbą…:) Otóż chodzi mi o zbadanie funkcji(tzn.zb.wartości,gdzie funkcja rośnie,gdzie maleje) ,ekstrema,punkty stałe, maksima i minima:
    a)f(x)=Ax/(1+x),A>=2
    b)f(x)=2/3x+1/3A,A>=11

    • Krystian Karczyński napisał:

      a) ‚A’ traktować trzeba jak stałą. Stosuję zasady i umowy podane w moim Kursie: Kurs Pochodne na Akademii

      f\left( x \right)=\frac{Ax}{1+x},\quad A\ge 2

      Najpierw dziedzina funkcji:

      {{1}^{0}}\quad Df:x\in R\backslash \left\{ -1 \right\}

      {{2}^{0}}\quad {f}'\left( x \right)=\frac{{{\left( Ax \right)}^{\prime }}\left( 1+x \right)-Ax{{\left( 1+x \right)}^{\prime }}}{{{\left( 1+x \right)}^{2}}}=\frac{A\left( 1+x \right)-Ax}{{{\left( 1+x \right)}^{2}}}=\frac{A+Ax-Ax}{{{\left( 1+x \right)}^{2}}}=\frac{A}{{{\left( 1+x \right)}^{2}}}

      {{3}^{0}}\quad \frac{A}{{{\left( 1+x \right)}^{2}}}=0\quad /\cdot {{\left( 1+x \right)}^{2}} – mogę wykonać to mnożenie, ponieważ {{\left( 1+x \right)}^{2}} jest zawsze nieujemne

      A=0

      Ale stała A nie może być równa 0, ze względu na założenie na początku zadania A\ge 2. Czyli równanie nie ma rozwiązań, czyli pochodna nie ma miejsc zerowych.

      {{4}^{0}} Rysuję jej przybliżony wykres:

      Wykres pochodnej

      i piszę odpowiedź:

      {{5}^{0}} Odp. Funkcja jest rosnąca w całej swojej dziedzinie, tzn. x\in R\backslash \left\{ -1 \right\} .

      Nie osiąga żadnych ekstremów.

  93. Proszę o pomoc w obliczeniu pochodnej z funkcji f(x)=〖log〗_2^5 (x+x^3)/arctgx (tzn f(x)=log stopnia 2 w potędze 5 z ((x+x^3)/arctgx) ). Radzę sobie z takim zadaniem, gdy log nie jest w potędze. W tym przypadku nie mam pewności jak to ma być prawidłowo obliczone.

  94. mam pare zadan i nie wiem jak je rozwiazac

  95. Katarzyna napisał:

    Mam takie zadanie i nie umię go rozwiązać prosze o pomoc Z góry dziękuję :)
    Znaleźć:
    ∂z/∂y dla danej funkcji:
    z=x^2 √((x+y)/(x-y))

  96. Hej:)
    Mam problem z policzeniem pochodnych II rzędu.
    Przykład wygląda tak:
    f(x,y)= 7- 4x/y – 2x^4y^3

    Byłabym wdzięczna za pomoc:)
    Pozdrawiam.

  97. Michał napisał:

    Mama pytanie, jak bedzie wygladala pochodna z arcsin(2×-1)? Czy po tym jak „trafi” pod pierwiastek to (2×-1)^2 nalezy rozwinac jak rownanie kwadratowe?

  98. Dominik napisał:

    Mam pytanie, ile wynosi pochodna z sqrt(2x-sinx(cos(x))^3)

  99. KASIA napisał:

    pochodna sin(x^x) – krok po kroku, proszę !

  100. Karolina napisał:

    Dzień dobry, jak policzyć pochodną (x-1)^3(x-2) krok po kroku i dlaczego wyznacza się 3 przed nawias? Nie rozumiem tego. Byłabym wdzięczna za wytłumaczenie. Pozdrawiam

  101. Kasia napisał:

    Pomoże ktoś mam do obliczenia 2 pochodne : (sinx / sinx-cosx) i pierwiastek z 5 tgx -2ctgx. Z góry dziękuje za odpowiedź :)

  102. Paulina napisał:

    Mam pytanie
    dlaczego √x(1-2x^2) ma pochodną 1-10x^2/2√x ? Prosze o wytłumaczenie. Z gódy dziękuje :)

  103. pilarczyk123 napisał:

    chcialbym zapytac jako co traktujemy a/t przy funkcji cos t/a

Skomentuj, zapraszam