Asymptoty poziome i ukośne funkcji

Związek pomiędzy asymptotami poziomymi i ukośnymi jest następujący: asymptoty poziome to są szczególnymi asymptotami ukośnymi. Każda asymptota pozioma zatem jest asymptotą ukośną, ale nie każda ukośna jest poziomą.

Można i należy to wykorzystać, aby skrócić sobie liczenie asymptot funkcji. Możliwe są bowiem dwa zasadnicze podejścia do tego tematu:

1. Najpierw liczymy asymptoty poziome

Warunkiem na istnienie asymptoty poziomej funkcji jest:

lim{x{right}{infty}}f(x)=liczba lub lim{x{right}-{infty}}f(x)=liczba

Jeżeli wyjdą nam asymptoty poziome, nie liczymy już ukośnych (bo jest tak, jakby ukośne nam już wyszły – pamiętamy, że poziome to ukośne). Jednak jeżeli poziome nam nie wyjdą to mamy kłopot – musimy od nowa liczyć asymptoty ukośne.

Oczywiście sytuacja jest trochę bardziej skomplikowana: asymptota pozioma może nam „wyjść” w +{infty}, a „nie wyjść” w -{infty}. W takim przypadku nie badalibyśmy istnienia asymptoty ukośnej w +{infty} (bo już nam tam wyszła), ale musielibyśmy badać jej istnienie w -{infty}.

2. Najpierw liczymy asymptoty ukośne

…i wtedy asymptoty poziome wyjdą nam (albo i nie) automatycznie, trzeba będzie tylko właściwie zinterpretować odpowiedzi. Minusem jest to, że na istnienie asymptoty ukośnej funkcji są troszeczkę bardziej skomplikowane warunki:

lim{x{right}{infty}}{{f(x)}/x}=liczba a i lim{x{right}{infty}}({f(x)-ax})=liczba b

lub:

lim{x{right}{-infty}}{{f(x)}/x}=liczba c i lim{x{right}{-infty}}({f(x)-cx})=liczba d

…a plusem jest to, że jak już je policzymy nie trzeba liczyć nic dalej. Jeżeli warunki są spełnione i liczba a (lub c) z warunków na istnienie asymptoty ukośnej wyjdzie równa 0, to znaczy, że asymptota ukośna jest asymptotą poziomą.

Żeby dodatkowo skrócić sobie robotę, można liczyć od razu:

lim{x{right}{{pm}infty}}{{f(x)}/x}=liczba a i lim{x{right}{{pm}infty}}({f(x)-ax})=liczba b

A rozbicie na liczenie osobno warunków dla x{right}{infty} i x{right}-{infty} tylko wtedy, kiedy będzie to konieczne (kiedy będzie robiło różnicę w yniku, czy x dąży do +{infty}, czy do -{infty}).