Asymptoty poziome i ukośne funkcji

Związek pomiędzy asymptotami poziomymi i ukośnymi jest następujący: asymptoty poziome to są szczególnymi asymptotami ukośnymi. Każda asymptota pozioma zatem jest asymptotą ukośną, ale nie każda ukośna jest poziomą.

Można i należy to wykorzystać, aby skrócić sobie liczenie asymptot funkcji. Możliwe są bowiem dwa zasadnicze podejścia do tego tematu:

1. Najpierw liczymy asymptoty poziome

Warunkiem na istnienie asymptoty poziomej funkcji jest:

lim{x{right}{infty}}f(x)=liczba lub lim{x{right}-{infty}}f(x)=liczba

Jeżeli wyjdą nam asymptoty poziome, nie liczymy już ukośnych (bo jest tak, jakby ukośne nam już wyszły – pamiętamy, że poziome to ukośne). Jednak jeżeli poziome nam nie wyjdą to mamy kłopot – musimy od nowa liczyć asymptoty ukośne.

Oczywiście sytuacja jest trochę bardziej skomplikowana: asymptota pozioma może nam „wyjść” w +{infty}, a „nie wyjść” w -{infty}. W takim przypadku nie badalibyśmy istnienia asymptoty ukośnej w +{infty} (bo już nam tam wyszła), ale musielibyśmy badać jej istnienie w -{infty}.

2. Najpierw liczymy asymptoty ukośne

…i wtedy asymptoty poziome wyjdą nam (albo i nie) automatycznie, trzeba będzie tylko właściwie zinterpretować odpowiedzi. Minusem jest to, że na istnienie asymptoty ukośnej funkcji są troszeczkę bardziej skomplikowane warunki:

lim{x{right}{infty}}{{f(x)}/x}=liczba a i lim{x{right}{infty}}({f(x)-ax})=liczba b

lub:

lim{x{right}{-infty}}{{f(x)}/x}=liczba c i lim{x{right}{-infty}}({f(x)-cx})=liczba d

…a plusem jest to, że jak już je policzymy nie trzeba liczyć nic dalej. Jeżeli warunki są spełnione i liczba a (lub c) z warunków na istnienie asymptoty ukośnej wyjdzie równa 0, to znaczy, że asymptota ukośna jest asymptotą poziomą.

Żeby dodatkowo skrócić sobie robotę, można liczyć od razu:

lim{x{right}{{pm}infty}}{{f(x)}/x}=liczba a i lim{x{right}{{pm}infty}}({f(x)-ax})=liczba b

A rozbicie na liczenie osobno warunków dla x{right}{infty} i x{right}-{infty} tylko wtedy, kiedy będzie to konieczne (kiedy będzie robiło różnicę w yniku, czy x dąży do +{infty}, czy do -{infty}).

Poznaj podstawy edukacji matematycznej na studiach

Dołącz do ponad 16000 studentów na Akademii eTrapez

Oto, co czeka na Ciebie:

  • 15 darmowych Lekcji (video + zadanie domowe)
  • 10 internetowych kalkulatorów
Załóż darmowe konto na Akademii eTrapez
O Krystian Karczyński

Nazywam się Krystian Karczyński, od kilkunastu lat pomagam studentom w matematyce.

Nowe technologie związane z Internetem pozwalają uczyć szybciej, bardziej ciekawie i skutecznie, co pokazuję na swojej Akademii eTrapez i na blogu.

Komentarze

  1. marek napisał:

    Super wyjaśnione :)

  2. Artur napisał:

    A co jeśli podczas liczenia asymptoty skośnej wyjdzie nam nieskończoność?

    • Krystian Karczyński napisał:

      Wtedy asymptota ukośna nie istnieje (no i oczywiście pozioma też, bo każda pozioma to ukośna), tam gdzie wyszła nam nieskończoność (a mogła nam wyjść przy x{right}+{infty} lub x{right}-{infty} lub tu i tu).

  3. Vivson napisał:

    kurcze, jakbys tak jeszce zadnie jakies dal :D

    • Krystian Karczyński napisał:

      No weźmy na przykład funkcję \left( x \right)=\frac{1+x}{1-x}

      Licząc pierwszym podejściem liczę najpierw asymptoty poziome:

      \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1+x}{1-x}=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x\left( \frac{1}{x}+1 \right)}{x\left( \frac{1}{x}-1 \right)}=-1

      \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1+x}{1-x}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x\left( \frac{1}{x}+1 \right)}{x\left( \frac{1}{x}-1 \right)}=-1

      Stwierdzam więc, że asymptoty poziome istnieją (przy x\to \infty i x\to -\infty , o równaniu y=-1) i ukośnych już nie szukam. Bo poziome to są właśnie szczególne ukośne.

      Licząc drugim podejściem liczę najpierw asymptoty ukośne:

      \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{1+x}{1-x}}{x}=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1+x}{x-{{x}^{2}}}=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x\left( \tfrac{1}{x}+1 \right)}{{{x}^{2}}\left( \tfrac{1}{x}-1 \right)}=0

      \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{1+x}{1-x}-0\cdot x \right)=-1

      \underset{x\to -\infty  }{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{1+x}{1-x}}{x}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1+x}{x-{{x}^{2}}}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x\left( \tfrac{1}{x}+1 \right)}{{{x}^{2}}\left( \tfrac{1}{x}-1 \right)}=0

      \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{1+x}{1-x}-0\cdot x \right)=-1

      I stwierdzam, że asymptoty ukośne istnieją (przy x\to \infty i x\to -\infty , o równaniu y=-1) i poziomych już nie szukam, bo poziome to i tak szczególne ukośne.

      W tym konkretnym przykładzie punkt dla podejścia pierwszego, ale jakby były ukośne nie-poziome, drugie podejście jest krótsze.

      Mnóstwo przykładów krok-po-kroku na video jest w moim Kursie .

      • To napisał:

        \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{1+x}{1-x}}{x}=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1+x}{x-{{x}^{2}}}=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x\left( \tfrac{1}{x}+1 \right)}{{{x}^{2}}\left( \tfrac{1}{x}-1 \right)}=0

      • To napisał:

        Z tego wszystkiego nie rozumiem niestety jednego. Skąd wyszło 0 przy obliczaniu asymptoty ukośnej? Mozna skrócić sobie tak po prostu x i x² i z tego wychodzi nam zero?

        • Krystian Karczyński napisał:

          No bo to idzie tak:

          \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{1+x}{1-x}}{x}=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1+x}{x-{{x}^{2}}}=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x\left( \tfrac{1}{x}+1 \right)}{{{x}^{2}}\left( \tfrac{1}{x}-1 \right)}=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\tfrac{1}{x}+1}{x\left( \tfrac{1}{x}-1 \right)}

          I teraz wiemy, że stała przez nieskończoność dąży do zera: \left[ \frac{A}{\pm \infty } \right]=0 (polecam mój Kurs Granic z omówieniem tych wzorów).

          Tak więc licznik dąży do 1, a mianownik do nieskończoności. Zatem całość do zera:

          \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\tfrac{1}{x}+1}{x\left( \tfrac{1}{x}-1 \right)}=0

  4. Damian napisał:

    A jest jakas zasada np gdy w dziedzinie wychodzi nam przedzial (-1,1] i bedzie asymptota pionowa w x=-1 to mozna od razu stwierdzic ze nie bedzie ukosnych?
    Mialem wlasnie problem z obliczeniem ukosnych, wrzucilem zadania na forum i dostalem od razu odpowiedz ze skoro jest tylko taki jeden przedzial, to nie bedzie ukosnych.

    (Funckcja jest taka: f(x) = sqrt{ {1-x} / {1+x} } )

    • Krystian Karczyński napisał:

      No tak, w pewnym sensie „jest taka zasada” asymptoty ukośne mogą istnieć tylko dla x\to \infty lub x\to -\infty tak więc gdy dziedziną funkcji jest przedział \left. x\in \left( -1,1 \right. \right\rangle , to nie ma nawet gdzie jej szukać i oczywiście nie istnieje.

      Ale nie jest to kwestia jakiś asymptot pionowych.

  5. Magda napisał:

    A co jeżeli mam policzyć asymptoty dla funkcji

    f(x) = pierw. z x^2+1
    ——————-
    x

    Czy to możliwe, żeby asymptoty poziome wyszły +nieskończoność i – nieskończoność i po policzeniu skośnych dla +nieskończoności wyszło 1? Wydaje mi się, że nie umiem za bardzo wykonywać działań z pierwiastkami :)

  6. Kuba napisał:

    Witam. Mam pytanie czy jest możliwość żeby funkcji nie miała w ogóle asymptot ? Żadnych.. ?

  7. Martyna napisał:

    a jeżeli mam funkcję x^3-x^2-2x / x^2+x-6 to co wtedy? bo nie jestem pewna..

    • Martyna napisał:

      ten pierwszy już wiem :) ale problem mam z takim przykładem x^3+2x^2-x-1 / x^2+3x+2 , nie mam pojęcia jak to rozpisać, dzieliłam wielomiany przez siebie ale to też nic mi nie dało, nie wiem co i jak.

  8. Sylwia napisał:

    mam problem jak wyznaczyc asymptotę z takiej funkcji f(x)=x-arc tgx

    • Krystian Karczyński napisał:

      Wyznaczyłem tutaj, zapraszam:

      • juras napisał:

        Dlaczego nie można tego przykładu policzyć za pomocą reguły De L’Hospitala? Przy x->nieskończoność:
        (x-arctgx)/x daje nam symbol [nieskończoność/nieskończoność].
        Licząc pochodne wychodzi:
        [1+1/(x^2+1)]/1, czyli (x^2+2)/(x^2+1).
        Wyciągamy x^2 przed nawias, skracamy i wychodzi 1.
        Pozdrawiam!

  9. Szymon napisał:

    Witam, mam pytanie odnośnie funkcji y=(x^2 + 4) / x. jakie ona ma asymptoty i ukośne i poziome ? może ktoś wyjaśnić ?

  10. Rafał napisał:

    Witam!
    Mam taki problem. takie zadanie y= 1/x^2
    Df x różny od 0
    więc liczymy granice w -0 i +0 i obie wychodzą +nieskończoność
    więc asymptota pionowa jest prawo Stronna, a w odpowiedziach jest obustronna dlaczego??

    • Krystian Karczyński napisał:

      Witam!

      Granica w -0 wyszła nam nieskończoność (nieważne, czy +nieskończoność, czy -nieskończoność) -> zatem jest asymptota pionowa lewostronna.
      Granica w +0 wyszła nam nieskończoność (nieważne, czy +, czy -) -> zatem jest asymptota pionowa prawostronna.

      Istnieje granica lewostronna i istnieje granica prawostronna -> zatem istnieje granica obustronna.

      Widać to dobrze na wykresie funkcji:

      1przezx^2

  11. fred napisał:

    co jeżeli przy liczeniu granicy funkcji przy x -> +nieskończoności wychodzi nieskończoność, a przy x-> -nieskończoności wychodzi liczba 0.
    sprawdzam wtedy ukośne tylko przy x_. do -nieskoncznosci czy do +nieskonczonosci rowniez?

  12. polaco napisał:

    a mój wykładowca liczy asymptote poziomą normalnie na żywca tzn żę lim dąży do nieskaczonosci z wzoru na funkcje tego co na poczatku zadania…mozna tak?

  13. Agnieszka napisał:

    Badam następującą funkcję: y=((x^3)-1)/((x^2)-4). Policzyłam asymptoty pionowe i wyszły mi x=-2 oraz x=2 (i jest to zgodne z wykresem). Policzyłam również asymptotę ukośną i wyszła mi y=x, ale nie jestem pewna czy jest to poprawne (podejrzewam, że popełniłam błąd). Proszę o pomoc

  14. mam problem z wyznaczeniem asympmtot w takim przykładzie 3stopnia√x^2−x

  15. Justyna napisał:

    Jak obliczyć asymptoty ukośne tutaj : x^2+1/x

    • Krystian Karczyński napisał:

      Pozwoliłem sobie zinterpretować wzór funkcji tak: f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}+1}{x} (inaczej wykres nie miałby w ogóle asymptot ukośnych)

      Liczę przy x->oo :

      \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\tfrac{{{x}^{2}}+1}{x}}{x}=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}+1}{x}\cdot \frac{1}{x}=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}+1}{{{x}^{2}}}=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}\left( 1+\tfrac{1}{{{x}^{2}}} \right)}{{{x}^{2}}}=1

      \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{{{x}^{2}}+1}{x}-1\cdot x \right)=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{{{x}^{2}}+1}{x}-\frac{{{x}^{2}}}{x} \right)=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{1}{x} \right)=0

      i przy x -> -oo :

      \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\tfrac{{{x}^{2}}+1}{x}}{x}=1 – korzystając z poprzednich obliczeń

      \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{{{x}^{2}}+1}{x}-1\cdot x \right)=0 – korzystając z poprzednich obliczeń

      Piszę odpowiedź: y=x jest asymptotą ukośną badanej funkcji zarówno przy x->oo, jak i x-> -oo.

      Co potwierdza wykres funkcji f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}+1}{x}:

      Wykres funkcji (x^2+1)/x

Skomentuj, zapraszam