Równania wielomianowe czwartego stopnia w liczbach zespolonych

Przy rozwiązywaniu równań wielomianowych zespolonych stosujemy generalnie te same metody, co w rozwiązywaniu równań wielomianowych rzeczywistych w szkole średniej.

 

Równania zespolone czwartego stopnia sprowadzalne do drugiego stopnia

Dotyczy to także równań zespolonych 4 stopnia sprowadzalnych do równań stopnia 2, czyli takich, w których mamy niewiadomą do 4 potęgi, niewiadomą do 2 potęgi i wyraz wolny, na przykład:

z^4+5z^2+1=0

albo:

2z^4-5z^2+10=0

Tego typu równania zespolone sprowadzamy do równań zespolonych stopnia drugiego poprzez podstawienie z^2=t, gdzie t jest oczywiście niewiadomą zespoloną.

Przykład

z^4-3z^2+4=0

Podstawiamy z^2=t (oczywiście z^4=(z^2)^2), otrzymamy więc:

t^2-3t+4=0

A to równanie rozwiązujmy więc już normalnie deltą (oczywiście pierwiastki z liczb ujemnych w liczbach zespolonych istnieją). Dostaniemy dwa rozwiązania zespolone:

t_1=3/2-{sqrt{7}}/2i

t_2=3/2+{sqrt{7}}/2i

Skoro podstawiliśmy: z^2=t, mamy:

z^2=3/2-{sqrt{7}}/2i

lub:

z^2=3/2+{sqrt{7}}/2i

czyli:

z=sqrt{3/2-{sqrt{7}}/2i}

lub:

z=sqrt{3/2+{sqrt{7}}/2i}

Po policzeniu pierwiastków (oczywiście wyjdą cztery pierwiastki zespolone) będziemy mieli cztery rozwiązania:

z_1={sqrt{7}}/2+1/2i

z_2=-{sqrt{7}}/2+1/2i

z_3={sqrt{7}}/2-1/2i

z_4=-{sqrt{7}}/2-1/2i

Paczka wszystkich Kursów eTrapez

139 zł

Zobacz więcej