Skąd się wziął ten Pana patent w pierwiastkach zespolonych?

Przy liczeniu pierwiastków drugiego stopnia w postaci kartezjańskiej (albo: algebraicznej) w moim Kursie Liczb Zespolonych pokazałem pewien patent, polegający na dopisaniu trzeciego równania do układu już dwóch istniejących, co w rezultacie gigantycznie skracało i upraszczało dalsze obliczenia.

Patent pokazałem, ale w żaden sposób nie uzasadniłem.

No i właśnie na tą okazję otrzymałem ostatnio maila o treści:

Witam

Czy mógłby Pan wyjaśnić dlaczego możemy użyć patentu na dodanie trzeciego równania podczas obliczania pierwiastka drugiego stopnia z liczby zespolonej?

 

x^2 + y^2 = moduł liczby której pierwiastek mamy obliczyć

Jest to BARDZO dobre pytanie i naprawdę błogosławieni w matematyce Ci, którzy nie wierzą profesorom na słowo, tylko cały czas pytają: „A skąd to się wzięło?” 🙂

Uzasadnienie

No to nie pozostało mi już nic, tylko uzasadnić ten patent na jeden z możliwych sposobów:

Po kilku pierwszych złożeniach w obliczaniu pierwiastka mamy sytuację:

(x+iy)^2=LICZBA

Skoro liczby (nie będę już za każdym razem pisał: „liczby zespolone”) po lewej i po prawej są równe, to ich moduły też muszą być równe (w drugą stronę to nie zachodzi, ale to nieważne), czyli:

delim{|}{(x+iy)^2}{|}=delim{|}{LICZBA}{|}

liczba do kwadratu to jest liczba razy liczba, czyli:

delim{|}{(x+iy)(x+iy)}{|}=delim{|}{LICZBA}{|}

Moduł liczby zespolonej ma własność: delim{|}{{z_1}{z_2}}{|}=delim{|}{z_1}{|}delim{|}{z_2}{|}, czyli po lewej stronie możemy zapisać:

delim{|}{x+iy}{|}delim{|}{x+iy}{|}=delim{|}{LICZBA}{|}

…no i licząc moduły po lewej mamy:

sqrt{x^2+y^2}sqrt{x^2+y^2}=delim{|}{LICZBA}{|}

czyli:

(sqrt{x^2+y^2})^2=delim{|}{LICZBA}{|}

czyli:

x^2+y^2=delim{|}{LICZBA}{|}

czyli:

BINGO

 

Dzięki za dobre pytanie!

Paczka wszystkich Kursów eTrapez

139 zł

Zobacz więcej