Kilka Rzeczy, Których Powinieneś Się Dobrze Nauczyć w Średniej, Ale Nikt Ci Tego Nie Powiedział – część 3 Funkcja kwadratowa

Ten post to już trzeci z kolei post, w którym chciałbym zwrócić Ci uwagę na rzeczy, które warto powtórzyć sobie na samym początku nauki matematyki na studiach. Ich szybka powtórka bardzo ułatwi Ci życie na studiach. W poprzednich postach poruszyłem tematy:

Interpretacji geometrycznej wartości bezwzględnej

Kwantyfikatorów

Dzisiaj kolej na funkcję kwadratową.

 

Funkcja kwadratowa? Ale myśmy to chyba przez dwa miesiące robili…

Temat funkcji kwadratowej jest oczywiście bardzo szeroki i nie chodzi mi w ogóle o to, żeby brać podręcznik ze średniej i przerabiać cały rozdział od deski do deski.

Skupmy się tylko na kilku istotnych szczegółach, niuansach i pułapkach.

 

Funkcja kwadratowa a równanie kwadratowe

Funkcja kwadratowa to oczywiście coś takiego:

f(x)=ax^2+bx+c albo: y=ax^2+bx+c

Gdzie a,b,c to dowolne liczby. Przykładowe funkcje kwadratowe to:

f(x)=x^2+4x-5

f(x)=x^2+1

itd…

Pojęcie funkcji kwadratowej należy odróżniać od pojęcia równania kwadratowego, na przykład:

x^2+2x+1=0

3x^2+9x-4=0

x^2-1=0

itd…

To nie to samo!!!!

y=x^2-3x+2 to funkcja kwadratowa, a x^2-3x+2=0 to równanie kwadratowe.

Z nierozróżniania funkcji od równania bierze się częsty na studiach…

 

 Makabryczny błąd numer 1

Licząc na przykład pochodne i mając daną funkcję:

y=2x^2+4x+2

Ludzie często robią coś takiego:

y=2x^2+4x+2

y=2x^2+4x+2 /:2

y=x^2+2x+1

…i liczą sobie dalej co tam potrzeba.

Mylą się tak, ponieważ pamiętają, że można było robić coś takiego na równaniach:

2x^2+4x+2=0

2x^2+4x+2=0 /:2

x^2+2x+1=0

…i na równaniu wszystko jest O.K., można podzielić obustronnie, 0 po prawej podzielone przez 2 daje faktycznie 0 i równania są równoważne (mają takie same rozwiązania).

Tego numeru nie można jednak wykonywać na funkcjach – trzeba by przecież chyba jakoś też ten y po lewej podzielić itd. Po zwykłym podzieleniu wartości funkcji przez 2 otrzymamy inną funkcję!

 

Co trzeba sobie powtórzyć z funkcji?

Nie tak wiele. Właściwie tylko dwie postaci funkcji: kanoniczną i iloczynową.

 

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej

Zakładam, że postać ogólną funkcji kwadratowej już mamy:

f(x)=ax^2+bx+c

Jej postać kanoniczna to:

f(x)=a(x+b/{2a})^2-{Delta}/{4a}

Czyli:

ax^2+bx+c=a(x+b/{2a})^2-{Delta}/{4a}

Co to jest a,b i Delta to jakoś tak wiadomo, mało kto ma problem z tym, że {Delta}=b^2-4ac.

Można nawet zauważyć, że jeśli w postaci kanonicznej wyciągniemy a przed nawias, otrzymamy:

ax^2+bx+c=a(x+b/{2a})^2-{Delta}/{4a}=a[(x+b/{2a})^2-{Delta}/{4a^2}]

…co czasami może się przydać, a czasami niekoniecznie.

Jesli uczyłeś się tego licząc na boku współrzędne wierzchołka (zwykle jako p i q) i wpisując do wzoru:

f(x)=a(x-p)^2+q no to oczywiście trochę dookoła, ale też fajnie.

Pamiętaj o a na początku wzoru na postać kanoniczną!

 

Postać iloczynowa funkcji kwadratowej (jej rozkład na czynniki):

Wracając teraz do naszej ogólnej funkcji kwadratowej:

f(x)=ax^2+bx+c

Bardzo często trzeba będzie „rozłożyć ją na czynniki”, wykorzystując w tym celu postać iloczynową funkcji kwadratowej:

ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)

Gdzie x_1 i x_2 liczymy ze znanych i lubianych wzorów:

x_1={-b-sqrt{Delta}}/{2a},  x_2={-b+sqrt{Delta}}/{2a}

Tutaj również musisz pamiętać o a na początku wzoru!!!

Zauważ także, że te x_1 i x_2 nie zawsze istnieją (jeśli delta jest ujemna, to nie istnieją), czyli funkcję nie zawsze da się zapisać w postaci iloczynowej, czyli funkcję kwadratową nie zawsze da się rozłożyć na czynniki.

 

Co trzeba sobie powtórzyć z równań kwadratowych?

Z równaniami kwadratowymi jak przypuszczam nie jest najgorzej. Raczej radzimy sobie z rozwiązaniem ogólnego równania:

ax^2+bx+c=0

Na przykład:

2x^2+x-1=0

Liczymy po prostu:

{Delta}=b^2-4ac

A potem, jeśli delta wyszła nieujemna rozwiązania równania:

x_1={-b-sqrt{Delta}}/{2a}

x_1={-b+sqrt{Delta}}/{2a}

Pamiętaj, że tam na dole w mianownikach jest 2a a nie po prostu 2!

Chciałbym jednak zatrzymać się na przypadku szczególnym równania:

x^2=a

Tutaj dochodzi do wielu błędów. Na przykład:

 

Makabryczny błąd numer 2

x^2=4

x=2

Na czym polega błąd właściwie? Liczba 2 jest rzeczywiście rozwiązaniem równania  x^2=4, ale zostało pominięte zupełnie drugie rozwiązanie tego równania, mianowicie liczba -2. Powinno być:

x^2=4

x=2~v~x=-2

Rozwiązanie ujemne można pomijać tylko w geometrii (bo odległość nie może być ujemna).

 

Inny problem z równaniem w postaci: x^2=a to:

 

Makabryczny błąd numer 3

x^2=-4

x=2~v~x=-2

Co jest oczywiście bzdurą, bo 2 do kwadratu nie daje -4. W ogóle nic do kwadratu nie daje -4 (Ci którzy mieli już liczby zespolone niech siedzą cicho). Równanie:

x^2=-4

…nie ma w ogóle rozwiązań.

 

Trzeba więc być czujnym. Równanie x^2=1 ma dwa rozwiązania, a równanie x^2=-1 nie ma w ogóle rozwiązań.

 

Zapraszam do spokojnego powtórzenia sobie tego wszystkiego, co było powiedziane do tej pory i oczywiście do pytań w komentarzach.

Paczka wszystkich Kursów eTrapez

139 zł

Zobacz więcej