blog

Kilka Rzeczy, Których Powinieneś Się Dobrze Nauczyć w Średniej, Ale Nikt Ci Tego Nie Powiedział – część 3 Funkcja kwadratowa

Krystian

Założyciel i szef serwisu eTrapez.

Magister matematyki Politechniki Poznańskiej. Korepetytor matematyki z wieloletnim stażem. Twórca Kursów eTrapez, które zdobyły ogromną popularność wśród studentów w całej Polsce.

Mieszka koło Szczecina. Lubi spacery po lesie, plażowanie i piłkę nożną.


Ten post to już trzeci z kolei post, w którym chciałbym zwrócić Ci uwagę na rzeczy, które warto powtórzyć sobie na samym początku nauki matematyki na studiach. Ich szybka powtórka bardzo ułatwi Ci życie na studiach. W poprzednich postach poruszyłem tematy:

Interpretacji geometrycznej wartości bezwzględnej

Kwantyfikatorów

Dzisiaj kolej na funkcję kwadratową.

 

Funkcja kwadratowa? Ale myśmy to chyba przez dwa miesiące robili…

Temat funkcji kwadratowej jest oczywiście bardzo szeroki i nie chodzi mi w ogóle o to, żeby brać podręcznik ze średniej i przerabiać cały rozdział od deski do deski.

Skupmy się tylko na kilku istotnych szczegółach, niuansach i pułapkach.

 

Funkcja kwadratowa a równanie kwadratowe

Funkcja kwadratowa to oczywiście coś takiego:

f(x)=ax^2+bx+c albo: y=ax^2+bx+c

Gdzie a,b,c to dowolne liczby. Przykładowe funkcje kwadratowe to:

f(x)=x^2+4x-5

f(x)=x^2+1

itd…

Pojęcie funkcji kwadratowej należy odróżniać od pojęcia równania kwadratowego, na przykład:

x^2+2x+1=0

3x^2+9x-4=0

x^2-1=0

itd…

To nie to samo!!!!

y=x^2-3x+2 to funkcja kwadratowa, a x^2-3x+2=0 to równanie kwadratowe.

Z nierozróżniania funkcji od równania bierze się częsty na studiach…

 

 Makabryczny błąd numer 1

Licząc na przykład pochodne i mając daną funkcję:

y=2x^2+4x+2

Ludzie często robią coś takiego:

y=2x^2+4x+2

y=2x^2+4x+2 /:2

y=x^2+2x+1

…i liczą sobie dalej co tam potrzeba.

Mylą się tak, ponieważ pamiętają, że można było robić coś takiego na równaniach:

2x^2+4x+2=0

2x^2+4x+2=0 /:2

x^2+2x+1=0

…i na równaniu wszystko jest O.K., można podzielić obustronnie, 0 po prawej podzielone przez 2 daje faktycznie 0 i równania są równoważne (mają takie same rozwiązania).

Tego numeru nie można jednak wykonywać na funkcjach – trzeba by przecież chyba jakoś też ten y po lewej podzielić itd. Po zwykłym podzieleniu wartości funkcji przez 2 otrzymamy inną funkcję!

 

Co trzeba sobie powtórzyć z funkcji?

Nie tak wiele. Właściwie tylko dwie postaci funkcji: kanoniczną i iloczynową.

 

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej

Zakładam, że postać ogólną funkcji kwadratowej już mamy:

f(x)=ax^2+bx+c

Jej postać kanoniczna to:

f(x)=a(x+b/{2a})^2-{Delta}/{4a}

Czyli:

ax^2+bx+c=a(x+b/{2a})^2-{Delta}/{4a}

Co to jest a,b i Delta to jakoś tak wiadomo, mało kto ma problem z tym, że {Delta}=b^2-4ac.

Można nawet zauważyć, że jeśli w postaci kanonicznej wyciągniemy a przed nawias, otrzymamy:

ax^2+bx+c=a(x+b/{2a})^2-{Delta}/{4a}=a[(x+b/{2a})^2-{Delta}/{4a^2}]

…co czasami może się przydać, a czasami niekoniecznie.

Jesli uczyłeś się tego licząc na boku współrzędne wierzchołka (zwykle jako p i q) i wpisując do wzoru:

f(x)=a(x-p)^2+q no to oczywiście trochę dookoła, ale też fajnie.

Pamiętaj o a na początku wzoru na postać kanoniczną!

 

Postać iloczynowa funkcji kwadratowej (jej rozkład na czynniki):

Wracając teraz do naszej ogólnej funkcji kwadratowej:

f(x)=ax^2+bx+c

Bardzo często trzeba będzie “rozłożyć ją na czynniki”, wykorzystując w tym celu postać iloczynową funkcji kwadratowej:

ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)

Gdzie x_1 i x_2 liczymy ze znanych i lubianych wzorów:

x_1={-b-sqrt{Delta}}/{2a},  x_2={-b+sqrt{Delta}}/{2a}

Tutaj również musisz pamiętać o a na początku wzoru!!!

Zauważ także, że te x_1 i x_2 nie zawsze istnieją (jeśli delta jest ujemna, to nie istnieją), czyli funkcję nie zawsze da się zapisać w postaci iloczynowej, czyli funkcję kwadratową nie zawsze da się rozłożyć na czynniki.

 

Co trzeba sobie powtórzyć z równań kwadratowych?

Z równaniami kwadratowymi jak przypuszczam nie jest najgorzej. Raczej radzimy sobie z rozwiązaniem ogólnego równania:

ax^2+bx+c=0

Na przykład:

2x^2+x-1=0

Liczymy po prostu:

{Delta}=b^2-4ac

A potem, jeśli delta wyszła nieujemna rozwiązania równania:

x_1={-b-sqrt{Delta}}/{2a}

x_1={-b+sqrt{Delta}}/{2a}

Pamiętaj, że tam na dole w mianownikach jest 2a a nie po prostu 2!

Chciałbym jednak zatrzymać się na przypadku szczególnym równania:

x^2=a

Tutaj dochodzi do wielu błędów. Na przykład:

 

Makabryczny błąd numer 2

x^2=4

x=2

Na czym polega błąd właściwie? Liczba 2 jest rzeczywiście rozwiązaniem równania  x^2=4, ale zostało pominięte zupełnie drugie rozwiązanie tego równania, mianowicie liczba -2. Powinno być:

x^2=4

x=2~v~x=-2

Rozwiązanie ujemne można pomijać tylko w geometrii (bo odległość nie może być ujemna).

 

Inny problem z równaniem w postaci: x^2=a to:

 

Makabryczny błąd numer 3

x^2=-4

x=2~v~x=-2

Co jest oczywiście bzdurą, bo 2 do kwadratu nie daje -4. W ogóle nic do kwadratu nie daje -4 (Ci którzy mieli już liczby zespolone niech siedzą cicho). Równanie:

x^2=-4

…nie ma w ogóle rozwiązań.

 

Trzeba więc być czujnym. Równanie x^2=1 ma dwa rozwiązania, a równanie x^2=-1 nie ma w ogóle rozwiązań.

 

Zapraszam do spokojnego powtórzenia sobie tego wszystkiego, co było powiedziane do tej pory i oczywiście do pytań w komentarzach.

Jedna z wielu opinii o naszych Kursach...

Kurs z pewnością godny polecenia, po obejrzeniu kilku kursów stwierdzam, że zostanę z eTrapezem na dłużej! Wszystko wytłumaczone w sposób prosty, zadania domowe zoptymalizowane w taki sposób, że zaczynamy od zadań podstawowych a kończymy na tych trudniejszych.

Konrad

Szukasz korepetycji z matematyki na poziomie studiów lub szkoły średniej? A może potrzebujesz kursu, który przygotuje Cię do matury?

Jesteśmy ekipą eTrapez. Uczymy matematyki w sposób jasny, prosty i bardzo dokładny - trafimy nawet do najbardziej opornego na wiedzę.

Stworzyliśmy tłumaczone zrozumiałym językiem Kursy video do pobrania na komputer, tablet czy telefon. Włączasz nagranie, oglądasz i słuchasz, jak na korepetycjach. O dowolnej porze dnia i nocy.

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *

Twój komentarz będzie dostępny publicznie na naszej stronie razem z powyższym podpisem. Adres email nie będzie dostępny publicznie. Komentarz możesz zmienić, lub usunąć w każdej chwili. Dane osobowe zawarte w komentarzu i podpisie traktujemy zgodnie z naszą polityką prywatności.

  1. Mateusz pisze:

    Witam, witam.

    Normalnie się od tej strony nie mogę odkleić ale to takie pozytywne:)
    Jak moje studia? Do przodu. Brakuje mi co prawda matematyki jako przedmiotu w tym roku, ale będzie się przewijać przez inne przedmioty. Mamy teraz dużo laboratoriów. Od czasu do czasu wracam do list z zadaniami, żeby sobie odświeżyć niektóre rzeczy.

    Powodzenia dla wszystkich, którzy będą się z matematyką zmagać w tym roku na studiach. W razie problemów macie Pana Krystiana.

    Poleciłem Pana kursy studen\tom na mojej uczelni:)
    Pozdrawiam

    1. Krystian Karczyński pisze:

      To powodzenia, dzięki i pozdrawiam.

  2. Mateusz pisze:

    Witam Panie Krystianie.

    Fajne te ostatnie artykuły. Szczególnie do szybkiej powtórki. A jeżeli komuś NAPRAWDĘ tęskno do tej funkcji kwadratowej… Pozostaje podręcznik a w nim takie cuda jak np. rodziny parabol…

    Autora poprzedniego posta zapytał Pan o studia. Chyba nikt nie weźmie mi tego za złe, jak napiszę troszkę o swoich. Pierwszy, jedyny, wymarzony kierunek studiów – MATEMATYKA, którą od dawna się \interesowałem. Przerabiałem materiał ze studiów, żeby mi było lżej, byłem na etapie równań różniczkowych… A poszedłem na Administrację. Jednak… do Królowej Nauk z pewnością jeszcze wrócę w przyszłości. 😉 A na obecnym kierunku – to więcej prawa niż tej administracji…

    Dobra nie będę się za bardzo rozpisywał, bo bym musiał pół życia opisać, a poza tym – jest już późno (dochodzi pierwsza w nocy) 😛

    Pozdrawiam.

    Mateusz

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Jeszcze PRZED rozpoczęciem studiów przerobił Pan materiał aż do równań różniczkowych?

      Respect 🙂

      Administracja to szlachetny kierunek, niech Pan studiuje z dumą 🙂

      Pozdrawiam
      Krystian

  3. Mateusz pisze:

    Nic do kwadratu nie daje -4? Hmmm.. dobrze będę siedział cicho hihi:D Widzę, że działa Pan na blogu bez przerwy. Bardzo fajnie, że powstają takie wpisy jak te 3 ostatnie:) Wpadłem, żeby zobaczyć co słychać. Pozdrawiam

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Pozdrawiam, dzięki za komentarz. A jak tam studia?

  4. Marek pisze:

    pierwiastki oznacza się x1 oraz x2 a nie znów x1. oczywiście jest to Pana małe przeoczenie, które jest zrozumiałe,lecz może nie dla wszystkich.nie pisze bo się czepiam, lecz ktoś kto słabo zna materiał pomyśli ze dwa razy piszemy x1. napisze tak w szkole i nauczyciel się będzie czepiał.

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Racja, dzięki, że Pan zwrócił na to uwagę.