x do x do x … Co Robić? (Przykład z Morałami)

Obrazek x do x do x do x do x...Jako ciekawostkę policzę granicę funkcji:

{lim}under{x{right}0}(x^x^x-cosx)

Ciekawsze od samych obliczeń będą dwa morały, które można z nich wyciągnąć. Ale morały na koniec (czy ktoś widział historyjkę z morałem na początku)? Teraz liczę:

{lim}under{x{right}0}(x^x^x-cosx)

Na początku patrzę, co do czego zmierza i mam:

[0^0^0-cos0=0^0^0-1]

Czyli nie mam pojęcia co do czego zmierza, bo nie wiem nawet, do czego zmierza 0^0 (jest to symbol nieoznaczony), a co dopiero takie dziwadło jak: 0^0^0.

Wygląda jednak na to, że z cosinusem nie ma problemów, liczę więc na boku, do czego zmierza samo:

{lim}under{x{right}0}x^x^x

Będę stosował dojście do d’Hospitala (pokazałem dokładnie o co chodzi w moim Kursie ), czyli skorzystam ze wzoru (a^b=e^{blna}):

{lim}under{x{right}0}e^{{x^x}lnx}

Ale nadal nie jest fajnie, bo mam dalej w wykładniku symbol nieoznaczony [0^0], przekształcam więc to drugi raz:

{lim}under{x{right}0}e^{e^{xlnx}lnx}

Teraz mogę już spokojnie brać się do roboty. Liczę na boku:

{lim}under{x{right}0}xlnx={lim}under{x{right}0}{lnx}/{1/x}=

ln0{right}~-infty, mam więc symbol nieoznaczony {infty}/{infty} de l’Hospitalem więc to:

{lim}under{x{right}0}{(lnx){prime}}/{(1/x){prime}}={lim}under{x{right}0}{1/x}/{-1/{x^2}}={lim}under{x{right}0}1/x(~-x^2/1)={lim}under{x{right}0}(~-x)=0

Czyli mam policzone na boku, że: {lim}under{x{right}0}xlnx=0.

Wracając więc do granicy:

{lim}under{x{right}0}e^{e^{xlnx}lnx}

Wiem już, że mam tu sytuację:

[e^{{e^0}ln0}]=[e^{1*(~-infty)}=e^{~-infty}=1/{e^{infty}}=1/{infty}=0]

Czyli okazało się, że:

{lim}under{x{right}0}x^x^x=0

Zatem cała moja granica:

{lim}under{x{right}0}(x^x^x-cosx)=0-1=-1

A cosinus był tylko na postrach.

 

Morały z tej historii

Są dwa.

  1. W trudniejszych granicach zawsze można i czasem trzeba brać jej kawałek i obliczać, do czego zmierza „na boku”.
  2. Czasami niektóre fragmenty w formule granicy mogą być dodane tak jak ten cosinus. Okazało się, że nic z nim nie muszę kombinować, tylko podstawić zero na końcu.

 

Kurs Granice

Dołącz do tysięcy studentów, którzy skorzystali z mojego Kursu Video...

  • 8 Lekcji
  • 350 minut nagrań video
  • 80 pytań testowych i 120 przykłady do zadań domowych
  • materiały bonusowe: video (w tym o liczeniu granic w WolframAlpha) i artykuły
  • cena: 39 zł
Zobacz więcej