Granica ciągu udająca granicę z liczbą e

Granica ciągu z liczbą e… czy rzeczywiście?

{lim}under{n{right}{infty}}({n+1}/{2n-4})^{n+7}

Jeśli mamy już trochę zadań z granic ciągu na koncie, możemy popaść już w pewien automatyzm. I zabrać się za liczenie powyższej granicy, tak jak liczy się granice z wzorem na liczbę e w wyniku, tzn. odjąć i dodać 4 w liczniku, rozbić na dwa ułamki itd. Ale licząc tak dojdziemy do pewnego, delikatnie pisząc, problemu…

{lim}under{n{right}{infty}}({n+1}/{2n-4})^{n+7}={lim}under{n{right}{infty}}({n-4+4+1}/{2n-4})^{n+7}{lim}under{n{right}{infty}}({n-4}/{2n-4}+{4+1}/{2n-4})^{n+7}

Tym razem pierwszy ułamek nie skraca się wcale i nie daje jedynki!

Nauczyciele często nie rozwodzą się nad tym zwykle, ale granice z liczbą e w wyniku stosujemy wtedy, gdy mamy symbol nieoznaczony delim{[}{1^{infty}}{]}, a w naszym przykładzie:

{lim}under{n{right}{infty}}({n+1}/{2n-4})^{n+7}

iloraz wielomianów podniesiony do potęgi nie dąży bynajmniej  do 1, tylko do 1/2 – o czym przekonać się można wyciągając w nim największe potęgi przed nawias:

{lim}under{n{right}{infty}}({n+1}/{2n-4})^{n+7}={lim}under{n{right}{infty}}({n(1+1/n)}/{n(2-4/n)})^{n+7}

Mamy więc sytuację (1/2)^{infty}, a taka granica ciągu z odpowiedniego wzoru równa jest o:

{lim}under{n{right}{infty}}({n+1}/{2n-4})^{n+7}={lim}under{n{right}{infty}}({n(1+1/n)}/{n(2-4/n)})^{n+7}=0

Problem z tego typu granicami

Zanim zaatakujesz więc granicę ciągu wzorami na liczbę e, warto się zastanowić, czy wyrażenie podniesione do potęgi dąży do 1 w ogóle. W przypadku dzielenia wielomianu przez wielomian można to sprawdzić łatwo, bez wykonywania obliczeń. To dzielenie dążyć będzie do 1, jeśli największe potęgi wielomianów będą takie same i współczynniki przy nich też będą takie same. Wtedy stosuj metodą na granicę ciągu z liczbą e. Jeśli tak nie jest – najprawdopodobniej trzeba wyciągać największą potęgę przed nawias.

Oceń sam, na oko

Na koniec ćwiczenie. Spójrz na poniższe granice i oceń „na oko”, które z nich trzeba rozwiązywać metodą granicy z liczbą e, a które metodą wyciągania przed nawias największej potęgi:

1) {lim}under{n{right}{infty}}({4n-7}/{4n+5})^{3n+2}

2) {lim}under{n{right}{infty}}({-2n-2}/{2n+2})^{n-2}

3) {lim}under{n{right}{infty}}({n^2}/{n^2-1})^{n^2-1}

4) {lim}under{n{right}{infty}}({1+n}/{1-n})^n

5) {lim}under{n{right}{infty}}({5n+4}/{2n^2+7})^{n^3}

…a  wszystkie wyglądają tak podobnie… :)

Poznaj podstawy edukacji matematycznej na studiach

Dołącz do ponad 16000 studentów na Akademii eTrapez

Oto, co czeka na Ciebie:

  • 15 darmowych Lekcji (video + zadanie domowe)
  • 10 internetowych kalkulatorów
Załóż darmowe konto na Akademii eTrapez
O Krystian Karczyński

Nazywam się Krystian Karczyński, od kilkunastu lat pomagam studentom w matematyce.

Nowe technologie związane z Internetem pozwalają uczyć szybciej, bardziej ciekawie i skutecznie, co pokazuję na swojej Akademii eTrapez i na blogu.

Komentarze

  1. pawel napisał:

    Zatem, idąc tym tokiem rozumowania, granica ciągu (1+1/n)^n powinna być równa 1, ponieważ 1 do potęgi nieskończoność jest równe 1…
    Wiadomo, że granica ta jest równa e.

  2. pawel napisał:

    chociaż faktycznie w opisanym przykładzie granica jest równa zero, ale dla uzasadnienia należałoby wyłączyć przed nawias w liczniku n, a w mianowniku 2n i mamy wyrażenie (1/2)^n oraz inne z zastosowaniem w granicy liczby e.

Skomentuj, zapraszam