Granica ciągu z logarytmami

Do granic wielu ciągów z logarytmami śmiało stosować można przekształcenia i wzory na logarytmy znane ze szkoły średniej. Na przykład:

Przykład

{lim}under{n{right}{infty}}{{log_5(3n-1)}/{log_4(3n-1)}}

W sytuacjach, w których w logarytmach były różne podstawy i za bardzo nie dało się nic z tym zrobić sprowadzało się je do jednej podstawy ze wzoru: log_a{b}={log_c{b}}/{log_c{a}}. W naszej granicy fajnie i dogodnie będzie za tą podstawę przyjąć: 3n-1. Będziemy mieli więc granicę ciągu:

{lim}under{n{right}{infty}}{{log_5(3n-1)}/{log_4(3n-1)}}={lim}under{n{right}{infty}}{{log_{3n-1}(3n-1)}/{log_{3n-1}{5}}}/{{log_{3n-1}(3n-1)}/{log_{3n-1}{4}}}

Wiemy, że log_a{a}=1, czyli w naszym wyrażeniu log_{3n-1}(3n-1)=1. Zatem:

{lim}under{n{right}{infty}}{{log_{3n-1}(3n-1)}/{log_{3n-1}{5}}}/{{log_{3n-1}(3n-1)}/{log_{3n-1}{4}}}={lim}under{n{right}{infty}}{1/{log_{3n-1}{5}}}/{1/{log_{3n-1}{4}}}={lim}under{n{right}{infty}}{1/{log_{3n-1}{5}}}*{{log_{3n-1}{4}}/1}

~={lim}under{n{right}{infty}}{log_{3n-1}{4}}/{log_{3n-1}{5}}

A to wyrażenie korzystając znowu ze wzoru ze szkoły średniej (tylko tym razem w drugą stronę) równe będzie log_a{b}={log_c{b}}/{log_c{a}}

~={lim}under{n{right}{infty}}{log_{3n-1}{4}}/{log_{3n-1}{5}}=log_5{4}

Co jest oczywiście wynikiem (liczbą niewymierną).

Obeszło się nawet bez stosowania jakiś metod na granice – wystarczyły same przekształcenia logarytmów ze szkoły średniej.