Granica ciągu z logarytmami

Krystian Karczyński

Do granic wielu ciągów z logarytmami śmiało stosować można przekształcenia i wzory na logarytmy znane ze szkoły średniej. Na przykład:

Przykład

${lim}under{n{right}{infty}}{{log_5(3n-1)}/{log_4(3n-1)}}$

W sytuacjach, w których w logarytmach były różne podstawy i za bardzo nie dało się nic z tym zrobić sprowadzało się je do jednej podstawy ze wzoru: $log_a{b}={log_c{b}}/{log_c{a}}$ . W naszej granicy fajnie i dogodnie będzie za tą podstawę przyjąć: 3n-1 . Będziemy mieli więc granicę ciągu:

${lim}under{n{right}{infty}}{{log_5(3n-1)}/{log_4(3n-1)}}={lim}under{n{right}{infty}}{{log_{3n-1}(3n-1)}/{log_{3n-1}{5}}}/{{log_{3n-1}(3n-1)}/{log_{3n-1}{4}}}$

Wiemy, że $log_a{a}=1$ , czyli w naszym wyrażeniu $log_{3n-1}(3n-1)=1$ . Zatem:

${lim}under{n{right}{infty}}{{log_{3n-1}(3n-1)}/{log_{3n-1}{5}}}/{{log_{3n-1}(3n-1)}/{log_{3n-1}{4}}}={lim}under{n{right}{infty}}{1/{log_{3n-1}{5}}}/{1/{log_{3n-1}{4}}}={lim}under{n{right}{infty}}{1/{log_{3n-1}{5}}}*{{log_{3n-1}{4}}/1}$

$~={lim}under{n{right}{infty}}{log_{3n-1}{4}}/{log_{3n-1}{5}}$

A to wyrażenie korzystając znowu ze wzoru ze szkoły średniej (tylko tym razem w drugą stronę) równe będzie $log_a{b}={log_c{b}}/{log_c{a}}$ …

$~={lim}under{n{right}{infty}}{log_{3n-1}{4}}/{log_{3n-1}{5}}=log_5{4}$

Co jest oczywiście wynikiem (liczbą niewymierną).

Obeszło się nawet bez stosowania jakiś metod na granice – wystarczyły same przekształcenia logarytmów ze szkoły średniej.

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

matheavyk pisze:

17 października 2011 o 13:10

zdaje się, że przedostatnie równanie jest błędne. b powinno być u góry, a – na dole

Odpowiedz
1. Krystian Karczyński pisze:
  
  17 października 2011 o 17:56
  
  Tak, poprawiłem już (był błąd), przepraszam!!!
Karla pisze:

10 grudnia 2011 o 23:03

mam pytanie co do granicy ciągu lim n->plus nieskończoność log n gdyż w odp do zadania mam plus nieskończoność a w pewnych materiałach w \internecie znalazłam że powinno to byc minus nieskończoność i nierozumiem tej rozbieżności. Pozdrawiam

Odpowiedz
1. Krystian Karczyński pisze:
  
  12 grudnia 2011 o 09:08
  
  Powinno być plus nieskończoność.
  
  Jeżeli w podstawie logarytmu jest liczba mniejsza od 1 (np. $log_{o,5}{n}$ , wtedy dąży on do -.
  
  Jednaj w przypadku log n w podstawie logarytmu jest liczba 10 (jest to logarytm dziesiętny), zatem dąży on do +.

Założenia Klasycznej Metody Najmniejszych Kwadratów. I dlaczego klasycznej?

29 czerwca 2018 / Joanna Grochowska

read on

O regresji i Metodzie Najmniejszych Kwadratów, czyli skąd wzięły się oszacowania parametrów modelu

15 czerwca 2018 / Joanna Grochowska

read on

Metoda Hellwiga w Excelu dla wielu zmiennych, czyli jak sprawnie wszystko obliczyć (VIDEO)

07 czerwca 2018 / Joanna Grochowska

read on