blog

Granica ciągu z logarytmami

Krystian

Założyciel i szef serwisu eTrapez.

Magister matematyki Politechniki Poznańskiej. Korepetytor matematyki z wieloletnim stażem. Twórca Kursów eTrapez, które zdobyły ogromną popularność wśród studentów w całej Polsce.

Mieszka koło Szczecina. Lubi spacery po lesie, plażowanie i piłkę nożną.


Do granic wielu ciągów z logarytmami śmiało stosować można przekształcenia i wzory na logarytmy znane ze szkoły średniej. Na przykład:

Przykład

{lim}under{n{right}{infty}}{{log_5(3n-1)}/{log_4(3n-1)}}

W sytuacjach, w których w logarytmach były różne podstawy i za bardzo nie dało się nic z tym zrobić sprowadzało się je do jednej podstawy ze wzoru: log_a{b}={log_c{b}}/{log_c{a}}. W naszej granicy fajnie i dogodnie będzie za tą podstawę przyjąć: 3n-1. Będziemy mieli więc granicę ciągu:

{lim}under{n{right}{infty}}{{log_5(3n-1)}/{log_4(3n-1)}}={lim}under{n{right}{infty}}{{log_{3n-1}(3n-1)}/{log_{3n-1}{5}}}/{{log_{3n-1}(3n-1)}/{log_{3n-1}{4}}}

Wiemy, że log_a{a}=1, czyli w naszym wyrażeniu log_{3n-1}(3n-1)=1. Zatem:

{lim}under{n{right}{infty}}{{log_{3n-1}(3n-1)}/{log_{3n-1}{5}}}/{{log_{3n-1}(3n-1)}/{log_{3n-1}{4}}}={lim}under{n{right}{infty}}{1/{log_{3n-1}{5}}}/{1/{log_{3n-1}{4}}}={lim}under{n{right}{infty}}{1/{log_{3n-1}{5}}}*{{log_{3n-1}{4}}/1}

~={lim}under{n{right}{infty}}{log_{3n-1}{4}}/{log_{3n-1}{5}}

A to wyrażenie korzystając znowu ze wzoru ze szkoły średniej (tylko tym razem w drugą stronę) równe będzie log_a{b}={log_c{b}}/{log_c{a}}

~={lim}under{n{right}{infty}}{log_{3n-1}{4}}/{log_{3n-1}{5}}=log_5{4}

Co jest oczywiście wynikiem (liczbą niewymierną).

Obeszło się nawet bez stosowania jakiś metod na granice – wystarczyły same przekształcenia logarytmów ze szkoły średniej.

Jedna z wielu opinii o naszych Kursach...

Nigdy nie spotkałem się z tak łopatologicznym (i skutecznym) tłumaczeniem Królowy Nauk. Nie jeden z moich towarzyszy niedoli na polibudzie chwalił te kursy (każdy, który z nich skorzystał). Nie jeden uważa, że za ects powinno się Panu Krystianowi postawić pomnik na kampusie. Kursy ogląda się z wielką przyjemnością gdyż po kilku porażkach nauki z pomocą dydaktyczną z ćwiczeń i wykładów człowiek tracił wiarę w siebie. Jednak po każdej minucie z e-trapezem odzyskuje się wiarę w siebie gdyż wszystko staje się jasne. Polecam!

Szukasz korepetycji z matematyki na poziomie studiów lub szkoły średniej? A może potrzebujesz kursu, który przygotuje Cię do matury?

Jesteśmy ekipą eTrapez. Uczymy matematyki w sposób jasny, prosty i bardzo dokładny - trafimy nawet do najbardziej opornego na wiedzę.

Stworzyliśmy tłumaczone zrozumiałym językiem Kursy video do pobrania na komputer, tablet czy telefon. Włączasz nagranie, oglądasz i słuchasz, jak na korepetycjach. O dowolnej porze dnia i nocy.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *

Twój komentarz będzie dostępny publicznie na naszej stronie razem z powyższym podpisem. Adres email nie będzie dostępny publicznie. Komentarz możesz zmienić, lub usunąć w każdej chwili. Dane osobowe zawarte w komentarzu i podpisie traktujemy zgodnie z naszą polityką prywatności.

  1. Karla pisze:

    mam pytanie co do granicy ciągu lim n->plus nieskończoność log n gdyż w odp do zadania mam plus nieskończoność a w pewnych materiałach w \internecie znalazłam że powinno to byc minus nieskończoność i nierozumiem tej rozbieżności. Pozdrawiam

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Powinno być plus nieskończoność.

      Jeżeli w podstawie logarytmu jest liczba mniejsza od 1 (np. log_{o,5}{n}, wtedy dąży on do -infty.

      Jednaj w przypadku log n w podstawie logarytmu jest liczba 10 (jest to logarytm dziesiętny), zatem dąży on do +infty.

  2. matheavyk pisze:

    zdaje się, że przedostatnie równanie jest błędne. b powinno być u góry, a – na dole

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Tak, poprawiłem już (był błąd), przepraszam!!!