Granica ciągu z logarytmami

Krystian Karczyński

Założyciel i szef serwisu eTrapez.

Magister matematyki Politechniki Poznańskiej. Korepetytor matematyki z wieloletnim stażem. Twórca Kursów eTrapez, które zdobyły ogromną popularność wśród studentów w całej Polsce.

Mieszka koło Szczecina. Lubi spacery po lesie, plażowanie i piłkę nożną.

Do granic wielu ciągów z logarytmami śmiało stosować można przekształcenia i wzory na logarytmy znane ze szkoły średniej. Na przykład:

Przykład

${lim}under{n{right}{infty}}{{log_5(3n-1)}/{log_4(3n-1)}}$

W sytuacjach, w których w logarytmach były różne podstawy i za bardzo nie dało się nic z tym zrobić sprowadzało się je do jednej podstawy ze wzoru: $log_a{b}={log_c{b}}/{log_c{a}}$ . W naszej granicy fajnie i dogodnie będzie za tą podstawę przyjąć: . Będziemy mieli więc granicę ciągu:

${lim}under{n{right}{infty}}{{log_5(3n-1)}/{log_4(3n-1)}}={lim}under{n{right}{infty}}{{log_{3n-1}(3n-1)}/{log_{3n-1}{5}}}/{{log_{3n-1}(3n-1)}/{log_{3n-1}{4}}}$

Wiemy, że $log_a{a}=1$ , czyli w naszym wyrażeniu $log_{3n-1}(3n-1)=1$ . Zatem:

${lim}under{n{right}{infty}}{{log_{3n-1}(3n-1)}/{log_{3n-1}{5}}}/{{log_{3n-1}(3n-1)}/{log_{3n-1}{4}}}={lim}under{n{right}{infty}}{1/{log_{3n-1}{5}}}/{1/{log_{3n-1}{4}}}={lim}under{n{right}{infty}}{1/{log_{3n-1}{5}}}*{{log_{3n-1}{4}}/1}$

$~={lim}under{n{right}{infty}}{log_{3n-1}{4}}/{log_{3n-1}{5}}$

A to wyrażenie korzystając znowu ze wzoru ze szkoły średniej (tylko tym razem w drugą stronę) równe będzie $log_a{b}={log_c{b}}/{log_c{a}}$ …

$~={lim}under{n{right}{infty}}{log_{3n-1}{4}}/{log_{3n-1}{5}}=log_5{4}$

Co jest oczywiście wynikiem (liczbą niewymierną).

Obeszło się nawet bez stosowania jakiś metod na granice – wystarczyły same przekształcenia logarytmów ze szkoły średniej.

Jedna z wielu opinii o naszych Kursach...

Zakupiłem cały pakiet kursów mimo, że już dobijam do wieku emerytalnego i jestem po studiach technicznych. Nie znaczy to jednak , że zainteresowanie matematyką osłabło. Wręcz przeciwnie! Jestem w trakcie ich „konsumowania”. Mogę stwierdzić jedno – to co robicie jest fantastyczne. Pomoc dla wszystkich, czy to uczniów szkół ponadpodstawowych czy też dla studentów. To nie są pieniądze wyrzucone w błoto!

Aleksander M.

Szukasz korepetycji z matematyki na poziomie studiów lub szkoły średniej? A może potrzebujesz kursu, który przygotuje Cię do matury?

Jesteśmy ekipą eTrapez. Uczymy matematyki w sposób jasny, prosty i bardzo dokładny - trafimy nawet do najbardziej opornego na wiedzę.

Stworzyliśmy tłumaczone zrozumiałym językiem Kursy video do pobrania na komputer, tablet czy telefon. Włączasz nagranie, oglądasz i słuchasz, jak na korepetycjach. O dowolnej porze dnia i nocy.

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Karla pisze:

10 grudnia 2011 o 23:03

mam pytanie co do granicy ciągu lim n->plus nieskończoność log n gdyż w odp do zadania mam plus nieskończoność a w pewnych materiałach w \internecie znalazłam że powinno to byc minus nieskończoność i nierozumiem tej rozbieżności. Pozdrawiam

Odpowiedz
1. Krystian Karczyński pisze:
  
  12 grudnia 2011 o 09:08
  
  Powinno być plus nieskończoność.
  
  Jeżeli w podstawie logarytmu jest liczba mniejsza od 1 (np. $log_{o,5}{n}$ , wtedy dąży on do -.
  
  Jednaj w przypadku log n w podstawie logarytmu jest liczba 10 (jest to logarytm dziesiętny), zatem dąży on do +.
matheavyk pisze:

17 października 2011 o 13:10

zdaje się, że przedostatnie równanie jest błędne. b powinno być u góry, a – na dole

Odpowiedz
1. Krystian Karczyński pisze:
  
  17 października 2011 o 17:56
  
  Tak, poprawiłem już (był błąd), przepraszam!!!

Wprowadzenie do granic ciągów. Wyciąganie przed nawias najwyższej potęgi. Pełna DARMOWA Lekcja Kursu Granice [VIDEO]

13 stycznia 2022 / Krystian Karczyński

Czytaj więcej

Elementy kombinatoryki: reguła mnożenia, permutacje, wariacje, kombinacje. Pełna darmowa Lekcja Kursu Prawdopodobieństwo. [VIDEO]

03 stycznia 2022 / Krystian Karczyński

Czytaj więcej

Wprowadzenie do macierzy: dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy. Kurs Macierze – pełna Lekcja 1. [VIDEO]

03 stycznia 2022 / Krystian Karczyński

Czytaj więcej

Najpopularniejsze Kursy w maju

Zobacz demo