Objetość Elipsoidy (Ale Nie Obrotowej, Tylko Takiej Dzikiej) Liczonej Całką Oznaczoną

Elipsoida nieobrotowa, której objętość mamy policzyć całką oznaczonąPowiedzmy, że do policzenia mamy objętość elipsoidy:

{x^2}/4+{y^2}/5+{z^2}/9=1

Jest to elipsoida, która przecina osie x,y,z we współrzędnych odpowiednio: 2,sqrt{5} i 3 (równanie ogólne elipsoidy to: {x^2}/{a^2}+{y^2}/{b^2}+{z^2}/{c^2}=1, gdzie a,b, c to współrzędne przecięcia).

Nie jest to elipsoida obrotowa, nie powstaje przez obrót jakiejkolwiek krzywej wokół jakiejkolwiek osi, nie poradzimy sobie standardowym wzorem na objętość bryły obrotowej:

V={pi}int{a}{b}{f^2(x)dx}

Trzeba kombinować inaczej.

 

 1. Obieramy dowolny punkt M(z) w środku elipsoidy i na osi OZ.

Płaszczyzna przechodząca przez ten punkt i prostopadła do osi OZ „wycina” nam z elipsoidy pewną elipsę:

 

Elipsoida przekrojona elipsą

2. Wyznaczamy równanie rzutu „wykrojonej” elipsy na płaszczyznę XY

Rzut elipsy wykrojonej z elipsoidy na płaszczyznę XY

Równanie tej elipsy, dla ustalonego ‚z’ (traktujemy ‚z’ jak stałą) wyznaczamy z równania ogólnego elipsoidy:

{x^2}/4+{y^2}/5+{z^2}/9=1

{x^2}/4+{y^2}/5=1-{z^2}/9  /:(1-{z^2}/9)

{x^2}/{4(1-{z^2}/9)}+{y^2}/{5(1-{z^2}/9)}=1

Widać, że nasze ‚a’ i ‚b’ z równania ogólnego elipsoidy ({x^2}/{a^2}+{y^2}/{b^2}=1), to:

a=sqrt{4(1-{z^2}/9)}=2{sqrt{1-{z^2}/9}}

b=sqrt{5(1-{z^2}/9)}=sqrt{5}{sqrt{1-{z^2}/9}}

 

4. Obliczamy pole tego przekroju w zależności od zmiennej ‚z’

Pole tej elipsy wyjdzie zależne od obranego punktu ‚z’, czyli będzie to jakby funkcja zmiennej ‚z’. Obliczymy je albo z gotowego wzoru na pole elipsy (P={pi}ab):

P(z)={pi}2{sqrt{1-{z^2}/9}}sqrt{5}{sqrt{1-{z^2}/9}}=2{sqrt{5}}{pi}(sqrt{1-{z^2}/9})^2=

~=2{sqrt{5}}{pi}(1-{z^2}/9)

Albo licząc pracowicie odpowiednią całkę oznaczoną (wykorzystując oczywiście postać parametryczną elipsy i wzór na pole obszaru w postaci parametrycznej):

P(z)=int{0}{2{pi}}{delim{|}{sqrt{5}{sqrt{1-{z^2}/9}}sint*{2{sqrt{1-{z^2}/9}}}(~-sint)}{|}dt}=

~=2{sqrt{5}}(1-{z^2}/9)int{0}{2{pi}}{delim{|}{-sin^2{t}}{|}dt}=(liczymy, liczymy, liczymy…)=~=2{sqrt{5}}{pi}(1-{z^2}/9)

 

5. Liczymy objętość bryły przy pomocy pól przekrojów

Teraz trudny moment. Objętość bryły równa jest – to trochę nieładnie zabrzmi – „sumie” (czyli całce) wszystkich przekrojów, czyli ogólnie:

V=int{a}{b}{P(z)}dz

gdzie P(z) to funkcja pól przekrojów bryły płaszczyzną prostopadłą do osi OZ, a ‚a’ i ‚b’ to granice, w których zmienia się ‚z’.

Czyli u nas:

V=int{-3}{3}{2{sqrt{5}}{pi}(1-{z^2}/9)}dz=(liczymy, liczymy, liczymy…)=8{pi}sqrt{5}

Co się zgadza z ogólnym wzorem na elipsoidę (V={4/3}abc{pi}).

KONIEC

 

Warto zapamiętać ten ogólny schemat i przede wszystkim to, że objętość trudniejszych, nie-obrotowych brył można policzyć całkując funkcję ich pól przekrojów.

 

Paczka wszystkich Kursów eTrapez

139 zł

Zobacz więcej