DODAJ SOBIE SKRZYDEŁ NA SESJI - ZGARNIJ DWUPAK REDBULLA!
Razem z każdym zakupem Kursów studenckich otrzymujesz kod na odbiór darmowych Red Bulli.

blog

Objetość Elipsoidy (Ale Nie Obrotowej, Tylko Takiej Dzikiej) Liczonej Całką Oznaczoną

Krystian Karczyński

Elipsoida nieobrotowa, której objętość mamy policzyć całką oznaczonąPowiedzmy, że do policzenia mamy objętość elipsoidy:

{x^2}/4+{y^2}/5+{z^2}/9=1

Jest to elipsoida, która przecina osie x,y,z we współrzędnych odpowiednio: 2,sqrt{5} i 3 (równanie ogólne elipsoidy to: {x^2}/{a^2}+{y^2}/{b^2}+{z^2}/{c^2}=1, gdzie a,b, c to współrzędne przecięcia).

Nie jest to elipsoida obrotowa, nie powstaje przez obrót jakiejkolwiek krzywej wokół jakiejkolwiek osi, nie poradzimy sobie standardowym wzorem na objętość bryły obrotowej:

V={pi}int{a}{b}{f^2(x)dx}

Trzeba kombinować inaczej.

 1. Obieramy dowolny punkt M(z) w środku elipsoidy i na osi OZ.

Płaszczyzna przechodząca przez ten punkt i prostopadła do osi OZ „wycina” nam z elipsoidy pewną elipsę:

Elipsoida przekrojona elipsą

2. Wyznaczamy równanie rzutu „wykrojonej” elipsy na płaszczyznę XY

Rzut elipsy wykrojonej z elipsoidy na płaszczyznę XY

Równanie tej elipsy, dla ustalonego 'z' (traktujemy 'z' jak stałą) wyznaczamy z równania ogólnego elipsoidy:

{x^2}/4+{y^2}/5+{z^2}/9=1

{x^2}/4+{y^2}/5=1-{z^2}/9  /:(1-{z^2}/9)

{x^2}/{4(1-{z^2}/9)}+{y^2}/{5(1-{z^2}/9)}=1

Widać, że nasze 'a' i 'b' z równania ogólnego elipsoidy ({x^2}/{a^2}+{y^2}/{b^2}=1), to:

a=sqrt{4(1-{z^2}/9)}=2{sqrt{1-{z^2}/9}}

b=sqrt{5(1-{z^2}/9)}=sqrt{5}{sqrt{1-{z^2}/9}}

4. Obliczamy pole tego przekroju w zależności od zmiennej 'z'

Pole tej elipsy wyjdzie zależne od obranego punktu 'z', czyli będzie to jakby funkcja zmiennej 'z'. Obliczymy je albo z gotowego wzoru na pole elipsy (P={pi}ab):

P(z)={pi}2{sqrt{1-{z^2}/9}}sqrt{5}{sqrt{1-{z^2}/9}}=2{sqrt{5}}{pi}(sqrt{1-{z^2}/9})^2=

~=2{sqrt{5}}{pi}(1-{z^2}/9)

Albo licząc pracowicie odpowiednią całkę oznaczoną (wykorzystując oczywiście postać parametryczną elipsy i wzór na pole obszaru w postaci parametrycznej):

P(z)=int{0}{2{pi}}{delim{|}{sqrt{5}{sqrt{1-{z^2}/9}}sint*{2{sqrt{1-{z^2}/9}}}(~-sint)}{|}dt}=

~=2{sqrt{5}}(1-{z^2}/9)int{0}{2{pi}}{delim{|}{-sin^2{t}}{|}dt}=(liczymy, liczymy, liczymy…)=~=2{sqrt{5}}{pi}(1-{z^2}/9)

5. Liczymy objętość bryły przy pomocy pól przekrojów

Teraz trudny moment. Objętość bryły równa jest – to trochę nieładnie zabrzmi – „sumie” (czyli całce) wszystkich przekrojów, czyli ogólnie:

V=int{a}{b}{P(z)}dz

gdzie P(z) to funkcja pól przekrojów bryły płaszczyzną prostopadłą do osi OZ, a 'a' i 'b' to granice, w których zmienia się 'z'.

Czyli u nas:

V=int{-3}{3}{2{sqrt{5}}{pi}(1-{z^2}/9)}dz=(liczymy, liczymy, liczymy…)=8{pi}sqrt{5}

Co się zgadza z ogólnym wzorem na elipsoidę (V={4/3}abc{pi}).

KONIEC

Warto zapamiętać ten ogólny schemat i przede wszystkim to, że objętość trudniejszych, nie-obrotowych brył można policzyć całkując funkcję ich pól przekrojów.

Jedna z wielu opinii o naszych Kursach...

Jestem zadowolony z kursu. Logika zaliczona. Do łba przez prawie miesiąc nic nie nie wchodziło a tu raptem w trakcie kursu doznałem olśnienia. Dodam, iż dokonałem jego zakupu dwa dni przed ogłoszeniem wyroku i to wystarczyło, aby go odroczyć – mam nadzieję, że na zawsze. Teraz studiuję pozostałe kursy i patrzę jasno w przyszłość. Polecam go każdemu a w szczególności tym koleżankom i kolegom, którzy uważają, że wszystko jest stracone.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *

  1. Monika pisze:

    Witam, nie mogę sobie poradzić z pewnym poleceniem. Proszę o pomoc gdyż niedługo mam egzamin z analizy a chcę to dobrze zrozumieć. Polecenie brzmi : Oblicz objętość brył ograniczonej powierzchniami x^2+y^2=hz,z=h. Jak się do tego zabrać bardzo mi na tym zależy.

    1. Krystian Karczyński pisze:

      To będzie paraboloida ograniczona z góry płaszczyzną. Zacząć trzeba oczywiście od rysunku.

      Równanie jej rzutu na płaszczyznę XoY to będzie: x^2+y^2=h^2, czyli swojskie kółeczko o promieniu h.

      Dalej wszystko ładnie się składa (trzeba przejść na współrzędne biegunowe).

  2. Monika pisze:

    Niestety ale gubie sie w obliczeniach jestem przyzwyczajona ze promien przyjmuje wartosci liczbowe i cos mi sie nie zgadza. Czy da Pan rade to rozwiązać z komentarzami co i jak się robi?

  3. Piotrek pisze:

    Witam,

    mam za zadanie wyznaczyć wierzchołek paraboloidy. Uważam, że dwie elipsy jednoznacznie wyznaczą mi kształt paraboloidy. Środki ciężkości obu elips leżą na jednej prostej (nie w tych samych płaszczyznach).
    Bardzo prosiłbym o pomysły rozwiązania takiego zagadnienia.

    1. Piotrek pisze:

      Wyznaczą kształt elipsoidy a nie paraboloidy. Należy dodać, że środek elipsoidy nie znajduje się pomiędzy elipsami. dane to wymiary elips oraz odległość miedzy nimi.

    2. Krystian Karczyński pisze:

      Nie jestem dobry z geometrii wykreślnej, przykro mi…