Objetość Elipsoidy (Ale Nie Obrotowej, Tylko Takiej Dzikiej) Liczonej Całką Oznaczoną

Krystian Karczyński

Założyciel i szef serwisu eTrapez.

Magister matematyki Politechniki Poznańskiej. Korepetytor matematyki z wieloletnim stażem. Twórca pierwszych Kursów eTrapez, które zdobyły ogromną popularność wśród studentów w całej Polsce.

Mieszka w Szczecinie. Lubi spacery po lesie, plażowanie i kajaki.

Powiedzmy, że do policzenia mamy objętość elipsoidy:

Jest to elipsoida, która przecina osie x,y,z we współrzędnych odpowiednio: 2, i 3 (równanie ogólne elipsoidy to: , gdzie a,b, c to współrzędne przecięcia).

Nie jest to elipsoida obrotowa, nie powstaje przez obrót jakiejkolwiek krzywej wokół jakiejkolwiek osi, nie poradzimy sobie standardowym wzorem na objętość bryły obrotowej:

Trzeba kombinować inaczej.

 1. Obieramy dowolny punkt M(z) w środku elipsoidy i na osi OZ.

Płaszczyzna przechodząca przez ten punkt i prostopadła do osi OZ “wycina” nam z elipsoidy pewną elipsę:

2. Wyznaczamy równanie rzutu “wykrojonej” elipsy na płaszczyznę XY

Równanie tej elipsy, dla ustalonego ‘z’ (traktujemy ‘z’ jak stałą) wyznaczamy z równania ogólnego elipsoidy:

  /:

Widać, że nasze ‘a’ i ‘b’ z równania ogólnego elipsoidy (), to:

4. Obliczamy pole tego przekroju w zależności od zmiennej ‘z’

Pole tej elipsy wyjdzie zależne od obranego punktu ‘z’, czyli będzie to jakby funkcja zmiennej ‘z’. Obliczymy je albo z gotowego wzoru na pole elipsy ():

Albo licząc pracowicie odpowiednią całkę oznaczoną (wykorzystując oczywiście postać parametryczną elipsy i wzór na pole obszaru w postaci parametrycznej):

(liczymy, liczymy, liczymy…)=

5. Liczymy objętość bryły przy pomocy pól przekrojów

Teraz trudny moment. Objętość bryły równa jest – to trochę nieładnie zabrzmi – “sumie” (czyli całce) wszystkich przekrojów, czyli ogólnie:

gdzie to funkcja pól przekrojów bryły płaszczyzną prostopadłą do osi OZ, a ‘a’ i ‘b’ to granice, w których zmienia się ‘z’.

Czyli u nas:

=(liczymy, liczymy, liczymy…)=

Co się zgadza z ogólnym wzorem na elipsoidę ().

KONIEC

Warto zapamiętać ten ogólny schemat i przede wszystkim to, że objętość trudniejszych, nie-obrotowych brył można policzyć całkując funkcję ich pól przekrojów.