
Objetość Elipsoidy (Ale Nie Obrotowej, Tylko Takiej Dzikiej) Liczonej Całką Oznaczoną
Krystian Karczyński
Założyciel i szef serwisu eTrapez.
Magister matematyki Politechniki Poznańskiej. Korepetytor matematyki z wieloletnim stażem. Twórca pierwszych Kursów eTrapez, które zdobyły ogromną popularność wśród studentów w całej Polsce.
Mieszka w Szczecinie. Lubi spacery po lesie, plażowanie i kajaki.
Powiedzmy, że do policzenia mamy objętość elipsoidy:
Jest to elipsoida, która przecina osie x,y,z we współrzędnych odpowiednio: 2,
Nie jest to elipsoida obrotowa, nie powstaje przez obrót jakiejkolwiek krzywej wokół jakiejkolwiek osi, nie poradzimy sobie standardowym wzorem na objętość bryły obrotowej:
Trzeba kombinować inaczej.
1. Obieramy dowolny punkt M(z) w środku elipsoidy i na osi OZ.
Płaszczyzna przechodząca przez ten punkt i prostopadła do osi OZ “wycina” nam z elipsoidy pewną elipsę:
2. Wyznaczamy równanie rzutu “wykrojonej” elipsy na płaszczyznę XY
Równanie tej elipsy, dla ustalonego ‘z’ (traktujemy ‘z’ jak stałą) wyznaczamy z równania ogólnego elipsoidy:
Widać, że nasze ‘a’ i ‘b’ z równania ogólnego elipsoidy (
4. Obliczamy pole tego przekroju w zależności od zmiennej ‘z’
Pole tej elipsy wyjdzie zależne od obranego punktu ‘z’, czyli będzie to jakby funkcja zmiennej ‘z’. Obliczymy je albo z gotowego wzoru na pole elipsy (
Albo licząc pracowicie odpowiednią całkę oznaczoną (wykorzystując oczywiście postać parametryczną elipsy i wzór na pole obszaru w postaci parametrycznej):
5. Liczymy objętość bryły przy pomocy pól przekrojów
Teraz trudny moment. Objętość bryły równa jest – to trochę nieładnie zabrzmi – “sumie” (czyli całce) wszystkich przekrojów, czyli ogólnie:
gdzie
Czyli u nas:
Co się zgadza z ogólnym wzorem na elipsoidę (
KONIEC
Warto zapamiętać ten ogólny schemat i przede wszystkim to, że objętość trudniejszych, nie-obrotowych brył można policzyć całkując funkcję ich pól przekrojów.
Bestsellery w tym miesiącu
-
Kurs Statystyka
Prawdopodobieństwo, Statystyka, Ekonometria / Autor: 39,00 zł Dodaj do koszyka -
Kurs Całki Wielokrotne
Analiza / Autor: 39,00 zł Dodaj do koszyka -
Kurs Ekonometria
Ekonometria / Autor: 39,00 zł Dodaj do koszyka -
Kurs Macierze
Algebra / Autor: 39,00 zł Dodaj do koszyka -
Kurs Funkcje Wielu Zmiennych
Analiza / Autor: 39,00 zł Dodaj do koszyka
Szukasz korepetycji z matematyki na poziomie studiów lub szkoły średniej? A może potrzebujesz kursu, który przygotuje Cię do matury?
Jesteśmy ekipą eTrapez. Uczymy matematyki w sposób jasny, prosty i bardzo dokładny - trafimy nawet do najbardziej opornego na wiedzę.
Stworzyliśmy tłumaczone zrozumiałym językiem Kursy video do pobrania na komputer, tablet czy telefon. Włączasz nagranie, oglądasz i słuchasz, jak na korepetycjach. O dowolnej porze dnia i nocy.
Po co tak kombinować z objętością elipsoidy??? Przecież objętość najłatwiej policzyć jako całkę potrójną z jedynki, zamieniając zmienne w taki sposób, aby otrzymać całkę, która będzie równa objętości kuli.
Witam,
mam za zadanie wyznaczyć wierzchołek paraboloidy. Uważam, że dwie elipsy jednoznacznie wyznaczą mi kształt paraboloidy. Środki ciężkości obu elips leżą na jednej prostej (nie w tych samych płaszczyznach).
Bardzo prosiłbym o pomysły rozwiązania takiego zagadnienia.
Wyznaczą kształt elipsoidy a nie paraboloidy. Należy dodać, że środek elipsoidy nie znajduje się pomiędzy elipsami. dane to wymiary elips oraz odległość miedzy nimi.
Nie jestem dobry z geometrii wykreślnej, przykro mi…
Niestety ale gubie sie w obliczeniach jestem przyzwyczajona ze promien przyjmuje wartosci liczbowe i cos mi sie nie zgadza. Czy da Pan rade to rozwiązać z komentarzami co i jak się robi?
Witam, nie mogę sobie poradzić z pewnym poleceniem. Proszę o pomoc gdyż niedługo mam egzamin z analizy a chcę to dobrze zrozumieć. Polecenie brzmi : Oblicz objętość brył ograniczonej powierzchniami x^2+y^2=hz,z=h. Jak się do tego zabrać bardzo mi na tym zależy.
To będzie paraboloida ograniczona z góry płaszczyzną. Zacząć trzeba oczywiście od rysunku.
Równanie jej rzutu na płaszczyznę XoY to będzie:

, czyli swojskie kółeczko o promieniu h.
Dalej wszystko ładnie się składa (trzeba przejść na współrzędne biegunowe).