blog

Objetość Elipsoidy (Ale Nie Obrotowej, Tylko Takiej Dzikiej) Liczonej Całką Oznaczoną

Krystian Karczyński

Założyciel i szef serwisu eTrapez.

Magister matematyki Politechniki Poznańskiej. Korepetytor matematyki z wieloletnim stażem. Twórca Kursów eTrapez, które zdobyły ogromną popularność wśród studentów w całej Polsce.

Mieszka koło Szczecina. Lubi spacery po lesie, plażowanie i piłkę nożną.


Elipsoida nieobrotowa, której objętość mamy policzyć całką oznaczonąPowiedzmy, że do policzenia mamy objętość elipsoidy:

{x^2}/4+{y^2}/5+{z^2}/9=1

Jest to elipsoida, która przecina osie x,y,z we współrzędnych odpowiednio: 2,sqrt{5} i 3 (równanie ogólne elipsoidy to: {x^2}/{a^2}+{y^2}/{b^2}+{z^2}/{c^2}=1, gdzie a,b, c to współrzędne przecięcia).

Nie jest to elipsoida obrotowa, nie powstaje przez obrót jakiejkolwiek krzywej wokół jakiejkolwiek osi, nie poradzimy sobie standardowym wzorem na objętość bryły obrotowej:

V={pi}int{a}{b}{f^2(x)dx}

Trzeba kombinować inaczej.

 1. Obieramy dowolny punkt M(z) w środku elipsoidy i na osi OZ.

Płaszczyzna przechodząca przez ten punkt i prostopadła do osi OZ “wycina” nam z elipsoidy pewną elipsę:

Elipsoida przekrojona elipsą

2. Wyznaczamy równanie rzutu “wykrojonej” elipsy na płaszczyznę XY

Rzut elipsy wykrojonej z elipsoidy na płaszczyznę XY

Równanie tej elipsy, dla ustalonego ‘z’ (traktujemy ‘z’ jak stałą) wyznaczamy z równania ogólnego elipsoidy:

{x^2}/4+{y^2}/5+{z^2}/9=1

{x^2}/4+{y^2}/5=1-{z^2}/9  /:(1-{z^2}/9)

{x^2}/{4(1-{z^2}/9)}+{y^2}/{5(1-{z^2}/9)}=1

Widać, że nasze ‘a’ i ‘b’ z równania ogólnego elipsoidy ({x^2}/{a^2}+{y^2}/{b^2}=1), to:

a=sqrt{4(1-{z^2}/9)}=2{sqrt{1-{z^2}/9}}

b=sqrt{5(1-{z^2}/9)}=sqrt{5}{sqrt{1-{z^2}/9}}

4. Obliczamy pole tego przekroju w zależności od zmiennej ‘z’

Pole tej elipsy wyjdzie zależne od obranego punktu ‘z’, czyli będzie to jakby funkcja zmiennej ‘z’. Obliczymy je albo z gotowego wzoru na pole elipsy (P={pi}ab):

P(z)={pi}2{sqrt{1-{z^2}/9}}sqrt{5}{sqrt{1-{z^2}/9}}=2{sqrt{5}}{pi}(sqrt{1-{z^2}/9})^2=

~=2{sqrt{5}}{pi}(1-{z^2}/9)

Albo licząc pracowicie odpowiednią całkę oznaczoną (wykorzystując oczywiście postać parametryczną elipsy i wzór na pole obszaru w postaci parametrycznej):

P(z)=int{0}{2{pi}}{delim{|}{sqrt{5}{sqrt{1-{z^2}/9}}sint*{2{sqrt{1-{z^2}/9}}}(~-sint)}{|}dt}=

~=2{sqrt{5}}(1-{z^2}/9)int{0}{2{pi}}{delim{|}{-sin^2{t}}{|}dt}=(liczymy, liczymy, liczymy…)=~=2{sqrt{5}}{pi}(1-{z^2}/9)

5. Liczymy objętość bryły przy pomocy pól przekrojów

Teraz trudny moment. Objętość bryły równa jest – to trochę nieładnie zabrzmi – “sumie” (czyli całce) wszystkich przekrojów, czyli ogólnie:

V=int{a}{b}{P(z)}dz

gdzie P(z) to funkcja pól przekrojów bryły płaszczyzną prostopadłą do osi OZ, a ‘a’ i ‘b’ to granice, w których zmienia się ‘z’.

Czyli u nas:

V=int{-3}{3}{2{sqrt{5}}{pi}(1-{z^2}/9)}dz=(liczymy, liczymy, liczymy…)=8{pi}sqrt{5}

Co się zgadza z ogólnym wzorem na elipsoidę (V={4/3}abc{pi}).

KONIEC

Warto zapamiętać ten ogólny schemat i przede wszystkim to, że objętość trudniejszych, nie-obrotowych brył można policzyć całkując funkcję ich pól przekrojów.

Jedna z wielu opinii o naszych Kursach...

Nie wyobrażam sobie już studiowania bez eTrapez ! Nareszcie kończą się moje problemy z matematyką.. Na studiach wykładowca tłumaczy szybko i często niezrozumiałym językiem. Tutaj wszystko jest wytłumaczone PROSTYM/ LUDZKIM JĘZYKIEM i na spokojnie Żałuję, że nie znalazłam kursu wcześniej, pomógł mi zrozumieć wiele rzeczy. Szczerze polecam wszystkim, którym matematyka spędza sen z powiek !

Klaudia

Szukasz korepetycji z matematyki na poziomie studiów lub szkoły średniej? A może potrzebujesz kursu, który przygotuje Cię do matury?

Jesteśmy ekipą eTrapez. Uczymy matematyki w sposób jasny, prosty i bardzo dokładny - trafimy nawet do najbardziej opornego na wiedzę.

Stworzyliśmy tłumaczone zrozumiałym językiem Kursy video do pobrania na komputer, tablet czy telefon. Włączasz nagranie, oglądasz i słuchasz, jak na korepetycjach. O dowolnej porze dnia i nocy.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *

Twój komentarz będzie dostępny publicznie na naszej stronie razem z powyższym podpisem. Adres email nie będzie dostępny publicznie. Komentarz możesz zmienić, lub usunąć w każdej chwili. Dane osobowe zawarte w komentarzu i podpisie traktujemy zgodnie z naszą polityką prywatności.

  1. Piotrek pisze:

    Witam,

    mam za zadanie wyznaczyć wierzchołek paraboloidy. Uważam, że dwie elipsy jednoznacznie wyznaczą mi kształt paraboloidy. Środki ciężkości obu elips leżą na jednej prostej (nie w tych samych płaszczyznach).
    Bardzo prosiłbym o pomysły rozwiązania takiego zagadnienia.

    1. Piotrek pisze:

      Wyznaczą kształt elipsoidy a nie paraboloidy. Należy dodać, że środek elipsoidy nie znajduje się pomiędzy elipsami. dane to wymiary elips oraz odległość miedzy nimi.

    2. Krystian Karczyński pisze:

      Nie jestem dobry z geometrii wykreślnej, przykro mi…

  2. Monika pisze:

    Niestety ale gubie sie w obliczeniach jestem przyzwyczajona ze promien przyjmuje wartosci liczbowe i cos mi sie nie zgadza. Czy da Pan rade to rozwiązać z komentarzami co i jak się robi?

  3. Monika pisze:

    Witam, nie mogę sobie poradzić z pewnym poleceniem. Proszę o pomoc gdyż niedługo mam egzamin z analizy a chcę to dobrze zrozumieć. Polecenie brzmi : Oblicz objętość brył ograniczonej powierzchniami x^2+y^2=hz,z=h. Jak się do tego zabrać bardzo mi na tym zależy.

    1. Krystian Karczyński pisze:

      To będzie paraboloida ograniczona z góry płaszczyzną. Zacząć trzeba oczywiście od rysunku.

      Równanie jej rzutu na płaszczyznę XoY to będzie: x^2+y^2=h^2, czyli swojskie kółeczko o promieniu h.

      Dalej wszystko ładnie się składa (trzeba przejść na współrzędne biegunowe).