Całki nieoznaczone wymierne – wielomian trzeciego stopnia w mianowniku

W całkach nieoznaczonych wymiernych, jak wiemy, często należy rozłożyć mianownik funkcji podcałkowej na czynniki i rozłożyć dalej na ułamki proste.

Samo rozłożenie na czynniki jednak może być często kłopotliwe.

Typowe sytuacje

Z prostymi sytuacjami typu:

int{}{}{{dx}/{x^2+3x-4}}

int{}{}{x/{x^2-4}dx}

Damy sobie radę:

int{}{}{{dx}/{x^2+3x-4}}=int{}{}{{dx}/{(x+4)(x-1)}}

int{}{}{x/{x^2-4}dx}=int{}{}{x/{(x+2)(x-2)}dx}

Jeśli w mianowniku będzie wielomian trzeciego stopnia odpowiednio „ustawiony” również damy jeszcze radę:

int{}{}{{x-1}/{x^3-8}dx}=int{}{}{{x-1}/{(x-2)(x^2+2x+4)}dx}

int{}{}{{dx}/{x^3+4x^2-x}}=int{}{}{{dx}/{x(x^2+2x-1)}}

Mianownik z nieprzyjaznym wielomianem trzeciego stopnia

Problem zaczyna się wtedy, kiedy w mianowniku jest wielomian trzeciego stopnia bardziej „nieprzyjazny” do rozkładu, na przykład:

int{}{}{{dx}/{x^3+4x^2-2x-8}}

Głęboki wdech.

Opanowujemy panikę.

Takie rzeczy (rozłożenie tego typu wielomianu na czynniki) robiło się już w szkole średniej i to na poziomie podstawowym.

Wystarczy sprytna sztuczka:

x^3+4x^2-2x-8=x^2(x+4)-2(x+4)=(x+4)(x^2-2)=(x+4)(x-sqrt{2})(x+sqrt{2})

Pamiętamy? Na pewno tak…

Możemy więc rozłożyć wielomian w mianowniku:

int{}{}{{dx}/{x^3+4x^2-2x-8}}=int{}{}{{dx}/{(x+4)(x-sqrt{2})(x+sqrt{2})}}

I dalej dziarsko rozkładać na trzy ułamki proste, jak nam reguły każą.

Jeszcze trudniejszy rozkład na czynniki

A co z taką sytuacją? Pamiętamy ze średniej (to już raczej zakres rozszerzony)?

int{}{}{{dx}/{x^3+x-2}}

Tu było trochę gorzej. Środkowy składnik trzeba było rozbić na dwa:

x^3+x-2=x^3-x+2x-2

I dalej już po staremu:

x^3+2x-x-2=x(x^2-1)+2(x-1)=x(x-1)(x+1)+2(x-1)=

~=(x-1)(x(x+1)+2)=(x-1)(x^2+x+2)

Czyli całkę należy zapisać:

int{}{}{{dx}/{x^3+x-2}}=int{}{}{{dx}/{(x-1)(x^2+x+2)}}

I liczyć spokojnie dalej.

Metody rozkładu mianownika na czynniki w całkach wymiernych

Ogólnie pamiętaj w całkach wymiernych, że jeśli przyjdzie do rozkładu na czynniki wielomianu wszystkie chwyty ze szkoły średniej są dozwolone, a mogą to być jeszcze na przykład:

  • rozkład niektórych wielomianów 4-go stopnia przez podstawienie pomocnicze x^2=t
  • szukanie „na ślepo” pierwiastka i dzielenie wielomianu, żeby obniżyć jego stopnień

Oczywiście gadamy już teraz tylko o trudniejszych całkach nieoznaczonych wymiernych, których w wielu (większości?) uczelni nawet się nie wprowadza!

Kurs Całki Nieoznaczone

Dołącz do tysięcy studentów, którzy skorzystali z mojego Kursu Video...

  • 7 Lekcji
  • 6 godzin nagrań video
  • 70 pytań testowych i 140 przykładów do zadań domowych
  • materiały bonusowe: video (w tym o liczeniu całek w WolframAlpha) i artykuły
  • cena: 39 zł
Zobacz więcej