DODAJ SOBIE SKRZYDEŁ NA SESJI - ZGARNIJ DWUPAK REDBULLA!
Razem z każdym zakupem Kursów studenckich otrzymujesz kod na odbiór darmowych Red Bulli.

blog

Całki nieoznaczone wymierne – wielomian trzeciego stopnia w mianowniku

Krystian Karczyński

W całkach nieoznaczonych wymiernych, jak wiemy, często należy rozłożyć mianownik funkcji podcałkowej na czynniki i rozłożyć dalej na ułamki proste.

Samo rozłożenie na czynniki jednak może być często kłopotliwe.

Typowe sytuacje

Z prostymi sytuacjami typu:

int{}{}{{dx}/{x^2+3x-4}}

int{}{}{x/{x^2-4}dx}

Damy sobie radę:

int{}{}{{dx}/{x^2+3x-4}}=int{}{}{{dx}/{(x+4)(x-1)}}

int{}{}{x/{x^2-4}dx}=int{}{}{x/{(x+2)(x-2)}dx}

Jeśli w mianowniku będzie wielomian trzeciego stopnia odpowiednio „ustawiony” również damy jeszcze radę:

int{}{}{{x-1}/{x^3-8}dx}=int{}{}{{x-1}/{(x-2)(x^2+2x+4)}dx}

int{}{}{{dx}/{x^3+4x^2-x}}=int{}{}{{dx}/{x(x^2+2x-1)}}

Mianownik z nieprzyjaznym wielomianem trzeciego stopnia

Problem zaczyna się wtedy, kiedy w mianowniku jest wielomian trzeciego stopnia bardziej „nieprzyjazny” do rozkładu, na przykład:

int{}{}{{dx}/{x^3+4x^2-2x-8}}

Głęboki wdech.

Opanowujemy panikę.

Takie rzeczy (rozłożenie tego typu wielomianu na czynniki) robiło się już w szkole średniej i to na poziomie podstawowym.

Wystarczy sprytna sztuczka:

x^3+4x^2-2x-8=x^2(x+4)-2(x+4)=(x+4)(x^2-2)=(x+4)(x-sqrt{2})(x+sqrt{2})

Pamiętamy? Na pewno tak…

Możemy więc rozłożyć wielomian w mianowniku:

int{}{}{{dx}/{x^3+4x^2-2x-8}}=int{}{}{{dx}/{(x+4)(x-sqrt{2})(x+sqrt{2})}}

I dalej dziarsko rozkładać na trzy ułamki proste, jak nam reguły każą.

Jeszcze trudniejszy rozkład na czynniki

A co z taką sytuacją? Pamiętamy ze średniej (to już raczej zakres rozszerzony)?

int{}{}{{dx}/{x^3+x-2}}

Tu było trochę gorzej. Środkowy składnik trzeba było rozbić na dwa:

x^3+x-2=x^3-x+2x-2

I dalej już po staremu:

x^3+2x-x-2=x(x^2-1)+2(x-1)=x(x-1)(x+1)+2(x-1)=

~=(x-1)(x(x+1)+2)=(x-1)(x^2+x+2)

Czyli całkę należy zapisać:

int{}{}{{dx}/{x^3+x-2}}=int{}{}{{dx}/{(x-1)(x^2+x+2)}}

I liczyć spokojnie dalej.

Metody rozkładu mianownika na czynniki w całkach wymiernych

Ogólnie pamiętaj w całkach wymiernych, że jeśli przyjdzie do rozkładu na czynniki wielomianu wszystkie chwyty ze szkoły średniej są dozwolone, a mogą to być jeszcze na przykład:

  • rozkład niektórych wielomianów 4-go stopnia przez podstawienie pomocnicze x^2=t
  • szukanie „na ślepo” pierwiastka i dzielenie wielomianu, żeby obniżyć jego stopnień

Oczywiście gadamy już teraz tylko o trudniejszych całkach nieoznaczonych wymiernych, których w wielu (większości?) uczelni nawet się nie wprowadza!

Jedna z wielu opinii o naszych Kursach...

Wszystkie poruszone zagadnienia zostały BARDZO przejrzyście wytłumaczone. Myślę, że dla znacznej większości studentów kurs powinien być wystarczający. (Dla tych, dla których te 7 lekcji nie wyczerpie tematu, na pewno kurs będzie dobrą bazą do dalszej nauki). Polecam!

Wojciech Trojak

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *

  1. Kajetan pisze:

    Panie Krystianie! Uratował Pan tyłek wielu studentom.

  2. Izabela pisze:

    A gdy mam całkę 1/(x^3-4x^2+5-2) ? To jak rozłożyć ten mianownik?

    1. Joanna Grochowska pisze:

      Chodzi o rozłożenie mianownika: \displaystyle {{x}^{3}}-4{{x}^{{^{2}}}}+5x-2?

      Jest to równanie 3-go stopnia, nie widzę tu zastosowania żadnego wzoru skróconego mnożenia wprost, więc chcę sprowadzić to równanie do stopnia 2-go (a potem zastosować deltę).

      Wykorzystam do tego tzw SCHEMAT HORNERA

      Na początku muszę znaleźć jeden z pierwiastków tego wielomianu.
      Najpierw wypisuje możliwe liczby jakie mogą być pierwiastkami (są to dzielniki wyrazu wolnego: \displaystyle \pm 1,\pm 2)
      Następnie sprawdzam dla którego z dzielników wartość wielomianu równa się zero
      (bo x jest pierwiastkiem, gdy f(x)=0 )
      \displaystyle \begin{array}{l}w(-1)={{(-1)}^{3}}-4\cdot {{(-1)}^{{^{2}}}}+5\cdot (-1)-2=-1-4-5-2=-12\ne 0\\w(1)={{1}^{3}}-4\cdot {{1}^{{^{2}}}}+5\cdot 1-2=1-4+5-2=0\end{array}

      Mam więc już pierwsze rozwiązanie równania: x=1.

      Sprowadzam dany wielomian do stopnia o 1 niższy za pomocą schematu Hornera (opisany np tutaj: http://matematyka.pisz.pl/strona/1401.html )

      Po podzieleniu powinniśmy otrzymać wielomian:
      \displaystyle (x-1)({{x}^{2}}-3x+2)

      Wyliczam pierwiastki z równania kwadratowego:
      \displaystyle \begin{array}{l}\Delta ={{b}^{2}}-4ac={{(-3)}^{2}}-4\cdot 1\cdot 2=9-8=1\\\sqrt{\Delta }=1\\{{x}_{1}}=\frac{{-b-\sqrt{\Delta }}}{{2a}}=\frac{{-(-3)-1}}{2}=1\\{{x}_{1}}=\frac{{-b+\sqrt{\Delta }}}{{2a}}=\frac{{-(-3)+1}}{2}=2\end{array}

      Mam więc rozłożony mianownik: \displaystyle {{x}^{3}}-4{{x}^{{^{2}}}}+5x-2=(x-1)(x-1)(x-2)={{(x-1)}^{2}}(x-2)