blog

Całki nieoznaczone wymierne – wielomian trzeciego stopnia w mianowniku

Krystian Karczyński

Założyciel i szef serwisu eTrapez.

Magister matematyki Politechniki Poznańskiej. Korepetytor matematyki z wieloletnim stażem. Twórca Kursów eTrapez, które zdobyły ogromną popularność wśród studentów w całej Polsce.

Mieszka koło Szczecina. Lubi spacery po lesie, plażowanie i piłkę nożną.


W całkach nieoznaczonych wymiernych, jak wiemy, często należy rozłożyć mianownik funkcji podcałkowej na czynniki i rozłożyć dalej na ułamki proste.

Samo rozłożenie na czynniki jednak może być często kłopotliwe.

Typowe sytuacje

Z prostymi sytuacjami typu:

int{}{}{{dx}/{x^2+3x-4}}

int{}{}{x/{x^2-4}dx}

Damy sobie radę:

int{}{}{{dx}/{x^2+3x-4}}=int{}{}{{dx}/{(x+4)(x-1)}}

int{}{}{x/{x^2-4}dx}=int{}{}{x/{(x+2)(x-2)}dx}

Jeśli w mianowniku będzie wielomian trzeciego stopnia odpowiednio “ustawiony” również damy jeszcze radę:

int{}{}{{x-1}/{x^3-8}dx}=int{}{}{{x-1}/{(x-2)(x^2+2x+4)}dx}

int{}{}{{dx}/{x^3+4x^2-x}}=int{}{}{{dx}/{x(x^2+2x-1)}}

Mianownik z nieprzyjaznym wielomianem trzeciego stopnia

Problem zaczyna się wtedy, kiedy w mianowniku jest wielomian trzeciego stopnia bardziej “nieprzyjazny” do rozkładu, na przykład:

int{}{}{{dx}/{x^3+4x^2-2x-8}}

Głęboki wdech.

Opanowujemy panikę.

Takie rzeczy (rozłożenie tego typu wielomianu na czynniki) robiło się już w szkole średniej i to na poziomie podstawowym.

Wystarczy sprytna sztuczka:

x^3+4x^2-2x-8=x^2(x+4)-2(x+4)=(x+4)(x^2-2)=(x+4)(x-sqrt{2})(x+sqrt{2})

Pamiętamy? Na pewno tak…

Możemy więc rozłożyć wielomian w mianowniku:

int{}{}{{dx}/{x^3+4x^2-2x-8}}=int{}{}{{dx}/{(x+4)(x-sqrt{2})(x+sqrt{2})}}

I dalej dziarsko rozkładać na trzy ułamki proste, jak nam reguły każą.

Jeszcze trudniejszy rozkład na czynniki

A co z taką sytuacją? Pamiętamy ze średniej (to już raczej zakres rozszerzony)?

int{}{}{{dx}/{x^3+x-2}}

Tu było trochę gorzej. Środkowy składnik trzeba było rozbić na dwa:

x^3+x-2=x^3-x+2x-2

I dalej już po staremu:

x^3+2x-x-2=x(x^2-1)+2(x-1)=x(x-1)(x+1)+2(x-1)=

~=(x-1)(x(x+1)+2)=(x-1)(x^2+x+2)

Czyli całkę należy zapisać:

int{}{}{{dx}/{x^3+x-2}}=int{}{}{{dx}/{(x-1)(x^2+x+2)}}

I liczyć spokojnie dalej.

Metody rozkładu mianownika na czynniki w całkach wymiernych

Ogólnie pamiętaj w całkach wymiernych, że jeśli przyjdzie do rozkładu na czynniki wielomianu wszystkie chwyty ze szkoły średniej są dozwolone, a mogą to być jeszcze na przykład:

  • rozkład niektórych wielomianów 4-go stopnia przez podstawienie pomocnicze x^2=t
  • szukanie “na ślepo” pierwiastka i dzielenie wielomianu, żeby obniżyć jego stopnień

Oczywiście gadamy już teraz tylko o trudniejszych całkach nieoznaczonych wymiernych, których w wielu (większości?) uczelni nawet się nie wprowadza!

Jedna z wielu opinii o naszych Kursach...

Jestem zadowolony z kursu. Logika zaliczona. Do łba przez prawie miesiąc nic nie nie wchodziło a tu raptem w trakcie kursu doznałem olśnienia. Dodam, iż dokonałem jego zakupu dwa dni przed ogłoszeniem wyroku i to wystarczyło, aby go odroczyć – mam nadzieję, że na zawsze. Teraz studiuję pozostałe kursy i patrzę jasno w przyszłość. Polecam go każdemu a w szczególności tym koleżankom i kolegom, którzy uważają, że wszystko jest stracone.

Szukasz korepetycji z matematyki na poziomie studiów lub szkoły średniej? A może potrzebujesz kursu, który przygotuje Cię do matury?

Jesteśmy ekipą eTrapez. Uczymy matematyki w sposób jasny, prosty i bardzo dokładny - trafimy nawet do najbardziej opornego na wiedzę.

Stworzyliśmy tłumaczone zrozumiałym językiem Kursy video do pobrania na komputer, tablet czy telefon. Włączasz nagranie, oglądasz i słuchasz, jak na korepetycjach. O dowolnej porze dnia i nocy.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *

Twój komentarz będzie dostępny publicznie na naszej stronie razem z powyższym podpisem. Adres email nie będzie dostępny publicznie. Komentarz możesz zmienić, lub usunąć w każdej chwili. Dane osobowe zawarte w komentarzu i podpisie traktujemy zgodnie z naszą polityką prywatności.

  1. Izabela pisze:

    A gdy mam całkę 1/(x^3-4x^2+5-2) ? To jak rozłożyć ten mianownik?

    1. Joanna Grochowska pisze:

      Chodzi o rozłożenie mianownika: \displaystyle {{x}^{3}}-4{{x}^{{^{2}}}}+5x-2?

      Jest to równanie 3-go stopnia, nie widzę tu zastosowania żadnego wzoru skróconego mnożenia wprost, więc chcę sprowadzić to równanie do stopnia 2-go (a potem zastosować deltę).

      Wykorzystam do tego tzw SCHEMAT HORNERA

      Na początku muszę znaleźć jeden z pierwiastków tego wielomianu.
      Najpierw wypisuje możliwe liczby jakie mogą być pierwiastkami (są to dzielniki wyrazu wolnego: \displaystyle \pm 1,\pm 2)
      Następnie sprawdzam dla którego z dzielników wartość wielomianu równa się zero
      (bo x jest pierwiastkiem, gdy f(x)=0 )
      \displaystyle \begin{array}{l}w(-1)={{(-1)}^{3}}-4\cdot {{(-1)}^{{^{2}}}}+5\cdot (-1)-2=-1-4-5-2=-12\ne 0\\w(1)={{1}^{3}}-4\cdot {{1}^{{^{2}}}}+5\cdot 1-2=1-4+5-2=0\end{array}

      Mam więc już pierwsze rozwiązanie równania: x=1.

      Sprowadzam dany wielomian do stopnia o 1 niższy za pomocą schematu Hornera (opisany np tutaj: http://matematyka.pisz.pl/strona/1401.html )

      Po podzieleniu powinniśmy otrzymać wielomian:
      \displaystyle (x-1)({{x}^{2}}-3x+2)

      Wyliczam pierwiastki z równania kwadratowego:
      \displaystyle \begin{array}{l}\Delta ={{b}^{2}}-4ac={{(-3)}^{2}}-4\cdot 1\cdot 2=9-8=1\\\sqrt{\Delta }=1\\{{x}_{1}}=\frac{{-b-\sqrt{\Delta }}}{{2a}}=\frac{{-(-3)-1}}{2}=1\\{{x}_{1}}=\frac{{-b+\sqrt{\Delta }}}{{2a}}=\frac{{-(-3)+1}}{2}=2\end{array}

      Mam więc rozłożony mianownik: \displaystyle {{x}^{3}}-4{{x}^{{^{2}}}}+5x-2=(x-1)(x-1)(x-2)={{(x-1)}^{2}}(x-2)

  2. Kajetan pisze:

    Panie Krystianie! Uratował Pan tyłek wielu studentom.