fbpx
blog

Całki nieoznaczone wymierne – wielomian trzeciego stopnia w mianowniku

Krystian Karczyński

Założyciel i szef serwisu eTrapez.

Magister matematyki Politechniki Poznańskiej. Korepetytor matematyki z wieloletnim stażem. Twórca pierwszych Kursów eTrapez, które zdobyły ogromną popularność wśród studentów w całej Polsce.

Mieszka w Szczecinie. Lubi spacery po lesie, plażowanie i kajaki.


W całkach nieoznaczonych wymiernych, jak wiemy, często należy rozłożyć mianownik funkcji podcałkowej na czynniki i rozłożyć dalej na ułamki proste.

Samo rozłożenie na czynniki jednak może być często kłopotliwe.

Typowe sytuacje

Z prostymi sytuacjami typu:

Damy sobie radę:

Jeśli w mianowniku będzie wielomian trzeciego stopnia odpowiednio “ustawiony” również damy jeszcze radę:

Mianownik z nieprzyjaznym wielomianem trzeciego stopnia

Problem zaczyna się wtedy, kiedy w mianowniku jest wielomian trzeciego stopnia bardziej “nieprzyjazny” do rozkładu, na przykład:

Głęboki wdech.

Opanowujemy panikę.

Takie rzeczy (rozłożenie tego typu wielomianu na czynniki) robiło się już w szkole średniej i to na poziomie podstawowym.

Wystarczy sprytna sztuczka:

Pamiętamy? Na pewno tak…

Możemy więc rozłożyć wielomian w mianowniku:

I dalej dziarsko rozkładać na trzy ułamki proste, jak nam reguły każą.

Jeszcze trudniejszy rozkład na czynniki

A co z taką sytuacją? Pamiętamy ze średniej (to już raczej zakres rozszerzony)?

Tu było trochę gorzej. Środkowy składnik trzeba było rozbić na dwa:

I dalej już po staremu:

Czyli całkę należy zapisać:

I liczyć spokojnie dalej.

Metody rozkładu mianownika na czynniki w całkach wymiernych

Ogólnie pamiętaj w całkach wymiernych, że jeśli przyjdzie do rozkładu na czynniki wielomianu wszystkie chwyty ze szkoły średniej są dozwolone, a mogą to być jeszcze na przykład:

  • rozkład niektórych wielomianów 4-go stopnia przez podstawienie pomocnicze
  • szukanie “na ślepo” pierwiastka i dzielenie wielomianu, żeby obniżyć jego stopnień

Oczywiście gadamy już teraz tylko o trudniejszych całkach nieoznaczonych wymiernych, których w wielu (większości?) uczelni nawet się nie wprowadza!

Bestsellery

Kurs Statystyka

Studia / Autor: mgr Krystian Karczyński

39,00 

Kurs Całki Nieoznaczone

Studia / Autor: mgr Krystian Karczyński

39,00 

Kurs Ekonometria

Studia / Autor: mgr Joanna Grochowska

39,00 

Kurs Mechanika - Statyka

Studia / Autor: mgr inż. Adam Kasprzak

39,00 

Zobacz wszystkie Kursy eTrapez

Szukasz korepetycji z matematyki na poziomie studiów lub szkoły średniej? A może potrzebujesz kursu, który przygotuje Cię do matury?

Jesteśmy ekipą eTrapez. Uczymy matematyki w sposób jasny, prosty i bardzo dokładny - trafimy nawet do najbardziej opornego na wiedzę.

Stworzyliśmy tłumaczone zrozumiałym językiem Kursy video do pobrania na komputer, tablet czy telefon. Włączasz nagranie, oglądasz i słuchasz, jak na korepetycjach. O dowolnej porze dnia i nocy.

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *

Twój komentarz będzie dostępny publicznie na naszej stronie razem z powyższym podpisem. Komentarz możesz zmienić, lub usunąć w każdej chwili. Administratorem danych osobowych podanych w tym formularzu jest eTrapez Usługi Edukacyjne E-Learning Krystian Karczyński. Zasady przetwarzania danych oraz Twoje uprawnienia z tym związane opisane są w Polityce Prywatności.


  1. Izabela pisze:

    A gdy mam całkę 1/(x^3-4x^2+5-2) ? To jak rozłożyć ten mianownik?

    1. Joanna Grochowska pisze:

      Chodzi o rozłożenie mianownika: \displaystyle {{x}^{3}}-4{{x}^{{^{2}}}}+5x-2?

      Jest to równanie 3-go stopnia, nie widzę tu zastosowania żadnego wzoru skróconego mnożenia wprost, więc chcę sprowadzić to równanie do stopnia 2-go (a potem zastosować deltę).

      Wykorzystam do tego tzw SCHEMAT HORNERA

      Na początku muszę znaleźć jeden z pierwiastków tego wielomianu.
      Najpierw wypisuje możliwe liczby jakie mogą być pierwiastkami (są to dzielniki wyrazu wolnego: \displaystyle \pm 1,\pm 2)
      Następnie sprawdzam dla którego z dzielników wartość wielomianu równa się zero
      (bo x jest pierwiastkiem, gdy f(x)=0 )
      \displaystyle \begin{matrix}w(-1)={{(-1)}^{3}}-4\cdot {{(-1)}^{{^{2}}}}+5\cdot (-1)-2=-1-4-5-2=-12\ne 0 \\ w(1)={{1}^{3}}-4\cdot {{1}^{{^{2}}}}+5\cdot 1-2=1-4+5-2=0\end{matrix}

      Mam więc już pierwsze rozwiązanie równania: x=1.

      Sprowadzam dany wielomian do stopnia o 1 niższy za pomocą schematu Hornera (opisany np tutaj: http://matematyka.pisz.pl/strona/1401.html )

      Po podzieleniu powinniśmy otrzymać wielomian:
      \displaystyle (x-1)({{x}^{2}}-3x+2)

      Wyliczam pierwiastki z równania kwadratowego:
      \displaystyle \begin{matrix}\Delta ={{b}^{2}}-4ac={{(-3)}^{2}}-4\cdot 1\cdot 2=9-8=1\sqrt{\Delta }=1 \\ {{x}_{1}}=\frac{{-b-\sqrt{\Delta }}}{{2a}}=\frac{{-(-3)-1}}{2}=1 \\ {{x}_{1}}=\frac{{-b+\sqrt{\Delta }}}{{2a}}=\frac{{-(-3)+1}}{2}=2\end{matrix}

      Mam więc rozłożony mianownik: \displaystyle {{x}^{3}}-4{{x}^{{^{2}}}}+5x-2=(x-1)(x-1)(x-2)={{(x-1)}^{2}}(x-2)

  2. Kajetan pisze:

    Panie Krystianie! Uratował Pan tyłek wielu studentom.