在高中时应该学好的几件事，但没人告诉你 – 第3部分：二次函数

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这篇文章是第三篇，我想让你注意一下在大学数学学习开始时值得复习的事情。快速复习这些会让你的大学生活轻松很多。在之前的文章中，我讨论了以下主题：

绝对值的几何解释

量词

今天轮到二次函数。

二次函数？但是我们好像做了两个月…

二次函数的主题当然非常广泛，我的意思并不是要你拿起高中的课本，从头到尾把整个章节都过一遍。

我们只关注一些重要的细节，细微之处和陷阱。

二次函数与二次方程

二次函数当然是这样的东西：

或者：

其中 是任意数。二次函数的例子是：

等等…

二次函数的概念应该与二次方程的概念区分开，例如：

等等…

这不是同一回事！！！

是二次函数，而 是二次方程。

在大学里经常会因为无法区分函数和方程而出现…

严重错误一

计算例如导数并给出一个函数时：

人们经常会做这样的事情：

…然后继续计算所需的内容。

他们这样做是因为记得可以在方程中这样做：

…在方程中一切正常，可以对两边同时除以 2，右边的 0 除以 2 确实为 0，方程是等价的（有相同的解）。

但是，这个操作不能在函数上进行——必须至少对左边的 y 进行除法等等。仅仅将函数值除以 2 会得到一个不同的函数！

需要复习的函数知识？

并不多。实际上只有两种形式的函数：标准形式和乘积形式。

二次函数的标准形式

我假设我们已经有了二次函数的通用形式：

它的标准形式是：

即：

什么是 a，b 和 这是众所周知的，几乎没有人对此有问题， 也一样。

我们甚至可以注意到，如果我们在标准形式中将 提出来，我们会得到：

…有时可能有用，有时则不然。

如果你学过这个，通过计算顶点坐标（通常是 和 ）并代入公式：

这当然有点绕道，但也不错。

记住 在标准形式公式的开头！

二次函数的乘积形式（将其分解为因子）:

现在回到我们的通用二次函数：

我们常常需要“将其分解为因子”，使用二次函数的乘积形式：

其中 和 我们使用已知和喜欢的公式计算：

在这里你也必须记住 在公式的开头!!!

还要注意，这些 和 并不总是存在（如果 Δ 是负的，则不存在），这意味着函数并不总是可以写成乘积形式，即二次函数并不总是可以分解为因子。

需要复习的二次方程知识？

关于二次方程，我猜情况不是很糟。我们通常可以解决一般方程：

例如：

我们只需要计算：

然后，如果 Δ 是非负的，解方程：

记住，在分母中有 而不仅仅是 2！

我想停下来讲一下特定的方程：

这里会发生很多错误。例如：

严重错误二

究竟是什么错误？数字 2 确实是方程 的解，但完全忽略了这个方程的第二个解，即数字 -2。应该是：

在几何中可以忽略负解（因为距离不能为负）。

方程形式的另一个问题： 是：

严重错误三

这当然是胡说八道，因为 2 的平方不是 -4。实际上，没有什么平方会得到 -4（那些已经学过复数的同学请保持安静）。方程：

…没有任何解。

所以要保持警觉。方程 有两个解，而方程 根本没有解。

我邀请大家冷静地复习到目前为止所说的所有内容，当然也欢迎在评论中提问。