Rząd macierzy

Rząd macierzy Wykład 1

Temat: Rząd macierzy – definicja

Streszczenie

W artykule przedstawię po prostu, co to jest rząd macierzy.

Wstęp – definicja wektora

Zanim przejdziemy sobie do samego pojęcia macierzy, powiemy sobie, czym jest wektor. Z wektorami spotkaliśmy się już w szkole średniej i być może na studiach przy okazji geometrii analitycznej. Tam oznaczały one przesunięcie na płaszczyźnie, np. [2,-4] – był to wektor oznaczający przesunięcie na osi OX o dwie jednostki w prawo, a na osi OY o cztery jednostki w dół. Wektory oznaczało się strzałkami. [3,-2,5] – był to wektor w przestrzeni trójwymiarowej, a jego współrzędne oznaczają przesunięcia po odpowiednich osiach. Również i jego można wyobrazić sobie jako strzałkę.

Rozszerzając jednak pojęcie wektora na więcej współrzędnych otrzymamy macierz jednowierszową, np. [3,0,-1,4,5,10,-2,4,4] – jest to wektor 9-wymiarowy. Nie musi on oznaczać jakiegokolwiek geometrycznego przesunięcia (ruch w 9 wymiarach? – hmmm…), ale na przykład ceny w koszyku inflacyjnym, czy coś takiego.

Zapomnijmy więc o wektorach jako przesunięciach geometrycznych i umówmy się na nową definicję: wektor to macierz jednowierszowa (albo jednokolumnowa – to wszystko jedno).

Definicja wektorów zależnych i niezależnych

Jak już wiemy, co to jest wektor, możemy określić sobie, kiedy dwa (na początku) wektory są od siebie liniowo zależne. Dwa wektory \vec{x}, \vec{y} nazwiemy liniowo zależnymi, gdy istnieje taka liczba, że po przemnożeniu przez tą liczbę jednego z wektorów są one równe, tzn.

Gdzie symbolem \vec{x} oznaczamy wektor, a ten dziwny symbol: \exists to odwrócona literka “e” od angielskiego “exists”, czyli “istnieje”. \underset{k}{\exists} czytamy więc: “istnieje k”.

Przykłady dwóch wektorów zależnych to:

Przykład

\vec{x}=[1,3,5] i \vec{y}=[2,6,10] są liniowo zależne, bo wektor \vec{y} to wektor \vec{x} przemnożony przez 2.

Geometryczną interpretacją zależności liniowej dwóch wektorów dwu albo trzy wymiarowych jest ich kierunek, tzn. wektory zależne liniowo mają ten sam kierunek, a różnią się tylko zwrotem lub długością.

Oczywiście nie ma mowy, żeby na przykład wektory: \vec{x}=[1,2,0,4] i \vec{y}=[-1,-4,0], czyli wektory mające różne wymiary (różną liczbę elementów) były liniowo zależne. Nie znajdziemy przecież takiej stałej, co po przemnożeniu zmienia wymiar macierzy, prawda?

Liniową zależność wektorów można określać jednak dla większej ich liczby. Definiujemy ją wtedy następująco:

Definicja

Wektory \vec{x_1},\vec{x_2},\vec{x_3},...,\vec{x_n} nazywamy wektorami liniowo zależnymi, jeżeli istnieją takie stałe {\alpha}_1,{\alpha}_2,{\alpha}_3,...,{\alpha}_n (z których co najmniej jedna jest różna od zera), że:

Na odwrót powiedzielibyśmy, że dwa wektory są liniowo niezależne, jeżeli NIE istnieją takie stałe {\alpha}_1,{\alpha}_2,{\alpha}_3,...,{\alpha}_n (z których co najmniej jedna jest różna od zera), że:

Geometryczną interpretacją liniowej zależności wektorów trzywymiarowych jest ich “komplanarność”, tzn. należenie do jednej płaszczyźnie. Trójwymiarowe wektory liniowo zależne są komplanarne, tzn. leżą na jednej płaszczyźnie.

Obliczanie liniowej niezależności wektorów

Nietrudno sobie wyobrazić, że zadanie polegające na określeniu tego, czy wektory są liniowo zależne, czy niezależne z definicji jest męczące (a nawet męczące z definicji). Na przykład dla wektorów czterowymiarowych:

Musielibyśmy sprawdzić, czy istnieją takie stałe {\alpha}_1,{\alpha}_2,{\alpha}_3,{\alpha}_4 (takie, że co najmniej jedna z nich różna jest od zera), że:

Czyli (po przemnożeniu wektorów przez stałe):

Co jest równoważne układowi równań:

Teraz trzeba by sprawdzić, czy istnieją jakieś rozwiązania tego układu z wyjątkiem takiego, że wszystkie {\alpha}_1,{\alpha}_2,{\alpha}_3,{\alpha}_4 równe są zero.

Długie, żmudne, niewygodne, prawda?

Rząd macierzy

Tutaj dochodzimy właśnie do tego, czym jest rząd macierzy. Jeżeli wektory poukładamy wierszami (albo kolumnami – wszystko jedno) jeden pod drugim otrzymamy macierzy, prawda? Na przykład dla naszych wektorów z przykładu powyżej była by to:

Zdefiniujmy rząd macierzy:

Definicja

Rząd macierzy to maksymalna liczba liniowo niezależnych wektorów będących wierszami (lub kolumnami) tej macierzy.

Obliczanie rzędu macierzy jest już o wiele, wiele łatwiejsze niż szarpanie z definicji (jak to dokładnie robić, przedstawione jest na przykład w moim Kursie Macierzy). Interpretacja wyniku jest prosta. Jeżeli rząd tej macierzy po obliczeniu równy był by 3, oznacza to, że w tych wektorach są tylko 3 liniowo niezależne od siebie, czyli ta czwórka jako całość jest liniowo zależna.

Tak się jednak składa, że:

Czyli że rząd tej macierzy równy jest cztery. Mamy więc cztery wektory, spośród których 4 są liniowo niezależne. Oczywisty wniosek jest taki, że te wektory są liniowo niezależne.

Kliknij, aby zobaczyć, jak rząd macierzy zastosować do sprawdzania, czy wektory tworzą bazę (następny Wykład) –>

Kliknij, aby powrócić na stronę z Wykładami do macierzy