Całki Oznaczone – Obliczanie z Definicji, Całkowalność Funkcji Ciągłej

Całki Oznaczone Wykład 2

Temat: Całkowalność dowolnej funkcji ciągłej

Streszczenie

Na poprzednim Wykładzie zdefiniowałem całkę oznaczoną jako pewną sumę. Przypomnij sobie tą definicję i zastanów się, czy liczenie całek oznaczonych przy jej pomocy jest:

a) Łatwe

b) Trudne

Definicja całki oznaczonej

Obrazek powyżej dla przypomnienia, a definicja szła tak:

Mamy funkcje ciągłą określoną na przedziale . Jej całką oznaczoną na tym przedziale nazywamy sumę:

, gdzie ${Delta}x_n$ to długości przedziałów, na które podzielony jest odcinek , a punkty ${xi}_n$ to punkty wewnątrz tych przedziałów.

Przy czym (i to jest bardzo ważne “przy czym”):

długości wszystkich przedziałów ${Delta}x_n$ muszą dążyć do 0 wraz ze wzrostem n
ta suma musi być taka sama dla byle jak obranych przedziałów ${Delta}x_n$
ta suma musi być taka sama dla byle jak obranych punktów ${xi}_n$ wewnątrz przedziałów ${xi}_n$

Zwróć uwagę na te dwa ostatnie warunki. Powiedzmy, że chcemy obliczyć – korzystając z definicji – prościutką całkę:

$int{0}{1}{x^2{dx}}$

Na wykresie ta całka to było by pole zaznaczone poniżej:

Aby obliczyć to pole z definicji, bez użycia dodatkowy twierdzeń, NIE wystarczyło by na przykład podzielić odcinek na RÓWNYCH odcinków (każdy miałby długość: ):

NIE WYSTARCZY teraz obranie punktów ${xi}_k$ na przykład równo w środku tych przedziałów:

NIE WYSTARCZY obliczyć tak otrzymaną sumę całkową (czyli geometrycznie rzecz biorąc zsumować pola tych prostokątów):

${Delta}x_1={Delta}x_2={Delta}x_3=...={Delta}x_{n-1}={Delta}x_n=1/n$ (odcinek o długości 1 dzielmy na równych części)

${xi}_1={1/n}/2=1/{2n}$ , czyli: $f({xi}_1)=(1/{2n})^2$ (bo )

${xi}_2=1/n+{1/n}/2=3/{2n}$ , czyli: $f({xi}_2)=(3/{2n})^2$

${xi}_3=1/n+1/n+{1/n}/2=5/{2n}$ , czyli: $f({xi}_2)=(5/{2n})^2$

…

${xi}_{n}={2n-1}/{2n}$ , czyli: $f({xi}_n)=({2n-1}/{2n})^2$

Moja suma będzie więc równa:

Korzystając ze wzoru na sumę kwadratów n kolejnych liczby nieparzystych (jest coś takiego):

No ale to wszystko NIE WYSTARCZY (mimo, że oczywiście wynik jest dobry i to pole jest faktycznie równe ), aby policzyć z definicji całkę:

$int{0}{1}{x^2{dx}}$

Dlaczego?

Przecież:

Podzieliłem odcinek na ‘n’ równych odcinków
Wybrałem pośrodku każdego takiego odcinka punkt ${xi}_k$
Obliczyłem sumę długości tych odcinków przemnożonych przez wartość funkcji w punktach ${xi}_k$ (czyli pola prostokątów)
Ta suma wyszła skończona (), a długości ‘n’ równych odcinków były nieskończenie małe przy ‘n’ dążącym do nieskończoności

Dlaczego więc nie mogę więc (jeszcze) stwierdzić, że:

$int{0}{1}{x^2{dx}}=1/3$

Ano niestety dlatego, że w samej definicji całki oznaczonej jest warunek, że owszem, suma całkowa ma być zbieżna (i jest), ale oprócz tego jest tam napisane, że ma być zbieżna do jednej i tej samej liczby dla dowolnego podziału przedziału i dla dowolnego wyboru punktów ${xi}_k$ .

Ja natomiast jedyne co zrobiłem, to wykazałem, że suma jest zbieżna do dla jednego, wybranego przeze mnie podziału odcinkami ${Delta}x_k$ (był to akurat podział na równe części) i dla jednego, wybranego przeze mnie sposobu obrania punktów ${xi}_k$ (wybrałem sobie równo pośrodku przedziałów ${Delta}x_k$ ).

Nie oznacza to jednak jeszcze, że:

$int{0}{1}{x^2{dx}}=1/3$

Aby to wykazać (na gruncie samej, samiusieńkiej definicji) musiałbym jakoś pokazać, że dla wszystkich sposobów podziału odcinka przedziałami ${Delta}x_k$ i dla wszystkich możliwych wyborów punktów pośrednich ${xi}_k$ , zawsze i we wszystkich przypadkach suma całkowa równa jest .

Czy znasz już odpowiedź na pytanie testowe z początku wykładu:

czy liczenie całek oznaczonych przy jej pomocy jest:

a) Łatwe

b) Trudne

Oczywiście nie będę nawet próbować dobierać się do tak określonego samobójczego zadania. Potrzebuję czegoś więcej, dodatkowej artylerii. Będzie nią nowe twierdzenie (czyli z bólem serca wykraczam już poza samą, czystą definicję).

Twierdzenie o całkowalności funkcji ciągłej

Każda funkcja ciągła w przedziale jest w tym przedziale całkowalna.

Twierdzenie proste jak konstrukcja cepa, prawda? Ale co właściwie z niego wynika i w czym może mi pomóc w obliczeniu z definicji całki:

$int{0}{1}{x^2{dx}}$ ?

Zapiszę je może innymi słowami i samo mi to wyjdzie:

Jeżeli funkcja jest ciągła w przedziale , to dla dowolnego podziału odcinka przedziałami ${Delta}x_k$ i dla dowolnego wyboru punktów pośrednich ${xi}_k$ jej suma całkowa zbiega do tej samej liczby.

Prawda? Bo taki jest właśnie sens słowa “całkowalna”. A logicznym wnioskiem z powyższego twierdzenia jest:

Jeżeli funkcja jest ciągła na przedziale
Jeżeli znalazłem taki jeden z możliwych podziałów przedziałami ${Delta}x_k$ i punktami ${xi}_k$ , dla którego suma całkowa zbiega do pewnej liczby,

to:

Zgodnie z twierdzeniem o całkowalności funkcji ciągłej dla każdego innego podziału każda “inna” suma całkowa będzie zbiegać do tej samej liczby (bo jeśli jest ciągła, to dla dowolnego zbiega do tej samej)!

Czyli – mając funkcję ciągłą – możesz obliczyć jej sumę całkową dla dowolnego wybranego przez Ciebie podziału (np. podziału na równe odcinki i punktach pośrednich pośrodku), powołać się na twierdzenie o całkowalności funkcji ciągłej i wyznaczyć w ten sposób (w końcu) całkę oznaczoną z definicji.

Wracając więc do mojego przykładu na całkę:

$int{0}{1}{x^2{dx}}$

Wszystko było w porządku i wszystkie obliczenia były ważne, na końcu jednak trzeba by jeszcze dopisać:

Zgodnie z twierdzeniem o całkowalności funkcji ciągłej (funkcja jest oczywiście funkcją ciągłą na przedziale ), z tego, że suma całkowa dla wybranego przeze mnie podziału na ${Delta}x_k$ i ${xi}_k$ wyszła równa wynika, że dla dowolnego innego podziału też jest ona równa , a więc:

$int{0}{1}{x^2{dx}}=1/3$

Dowód twierdzenia o całkowalności funkcji ciągłej odłożę sobie na inny raz.

Teraz pokażę Ci dwa inne przykłady na obliczanie całki oznaczonej z definicji.

Przykład 2

Oblicz z definicji: $int{0}{1}{x^3dx}$ .

Dzielę odcinek na n równych części i punkty ${xi}_k$ obieram równo na początku każdego przedziału ${Delta}x_k$ :

Mam więc dla funkcji :

${Delta}x_1=1/n$ , oraz $f({xi}_1)=0^3=0$

${Delta}x_2=1/n$ , oraz $f({xi}_2)=(1/n)^3$

${Delta}x_3=1/n$ , oraz $f({xi}_3)=(2/n)^3$

…

${Delta}x_n=1/n$ , oraz $f({xi}_n)=({n-1}/n)^3$

Moja suma całkowa będzie więc równa:

Korzystam ze wzoru na sumę sześcianów kolejnych liczb naturalnych ( $1^3+2^3+3^3+...+n^3=({n(n+1)}/2)^2$ ), zmodyfikowanego, bo wyrazów mam n-1:

Funkcja jest funkcją ciągłą na przedziale .

Zgodnie z twierdzeniem o całkowalności funkcji ciągłej:

$int{0}{1}{x^3dx}=1/4$

Przykład 3

Oblicz z definicji: .

Dzielę odcinek na n równych części i punkty ${xi}_k$ obieram na końcu każdego przedziału ${Delta}x_k$ :

Mam więc dla funkcji :

${Delta}x_1={{pi}/2}/n$ , oraz $f({xi}_1)=sin{{pi}/2}/n$

${Delta}x_2={{pi}/2}/n$ , oraz $f({xi}_2)=sin(2*{{{pi}/2}/n})$

${Delta}x_3={{pi}/2}/n$ , oraz $f({xi}_3)=sin(3*{{{pi}/2}/n})$

…

${Delta}x_n={{pi}/2}/n$ , oraz $f({xi}_3)=sin(n*{{{pi}/2}/n})$

Moja suma całkowa będzie więc równa:

Jest ona oczywiście ciężka, ale pomocny będzie wzór (można wykazać go indukcyjnie):

Po skorzystaniu z tego wzoru, będę miał:

Zatem, zgodnie z twierdzeniem o całkowalności funkcji ciągłej:

KONIEC

Pisząc tego posta korzystałem z…

1. “Rachunek różniczkowy i całkowy. Tom II.” G.M. Fichtenholz. Wyd. 1966.

Kliknij, aby przypomnieć sobie definicję całki oznaczonej (poprzedni Wykład) <–

Kliknij, aby przejść do sum całkowych, które pomogą w dowodzie twierdzenia o całkowalności funkcji ciągłej (następny Wykład) –>

Kliknij tutaj, aby powrócić na stronę z wykładami o całkach oznaczonych

Cookie	Duration	Description
_ce.cch	session	No description
_ce.s	1 year	No description
_koko_analytics_pages_viewed	6 hours	No description available.
cebsp	session	No description
DEVICE_INFO	5 months 27 days	No description

Najpopularniejsze Kursy w maju

Zobacz darmowe lekcje

Całki Oznaczone – Obliczanie z Definicji, Całkowalność Funkcji Ciągłej

Całki Oznaczone Wykład 2

Temat: Całkowalność dowolnej funkcji ciągłej

Streszczenie

Twierdzenie o całkowalności funkcji ciągłej

Przykład 2

Przykład 3

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi