Całki Oznaczone – Obliczanie z Definicji, Całkowalność Funkcji Ciągłej

Całki Oznaczone Wykład 2

Temat: Całkowalność dowolnej funkcji ciągłej

Streszczenie

Na poprzednim Wykładzie zdefiniowałem całkę oznaczoną jako pewną sumę. Przypomnij sobie tą definicję i zastanów się, czy liczenie całek oznaczonych przy jej pomocy jest:

a) Łatwe

b) Trudne

Definicja całki oznaczonej

Obrazek powyżej dla przypomnienia, a definicja szła tak:

Mamy funkcje ciągłą określoną na przedziale . Jej całką oznaczoną na tym przedziale nazywamy sumę:

  ,

gdzie  to długości przedziałów, na które podzielony jest odcinek , a punkty  to punkty wewnątrz tych przedziałów.

Przy czym (i to jest bardzo ważne “przy czym”):

• długości wszystkich przedziałów muszą dążyć do 0 wraz ze wzrostem n
• ta suma musi być taka sama dla byle jak obranych przedziałów
• ta suma musi być taka sama dla byle jak obranych punktów    wewnątrz przedziałów 

Zwróć uwagę na te dwa ostatnie warunki. Powiedzmy, że chcemy obliczyć – korzystając z definicji – prościutką całkę:

Na wykresie ta całka to było by pole zaznaczone poniżej:

Aby obliczyć to pole z definicji, bez użycia dodatkowy twierdzeń, NIE wystarczyło by na przykład podzielić odcinek   na    RÓWNYCH odcinków (każdy miałby długość: ):

NIE WYSTARCZY teraz obranie punktów    na przykład równo w środku tych przedziałów:

NIE WYSTARCZY obliczyć tak otrzymaną sumę całkową (czyli geometrycznie rzecz biorąc zsumować pola tych prostokątów):

  (odcinek o długości 1 dzielmy na  równych części)

Moja suma będzie więc równa:

Korzystając ze wzoru na sumę kwadratów n kolejnych liczby nieparzystych (jest coś takiego):

No ale to wszystko NIE WYSTARCZY (mimo, że oczywiście wynik jest dobry i to pole jest faktycznie równe ), aby policzyć z definicji całkę:

Dlaczego?

Przecież:

1. Podzieliłem odcinek na ‘n’ równych odcinków
2. Wybrałem pośrodku każdego takiego odcinka punkt 
3. Obliczyłem sumę długości tych odcinków przemnożonych przez wartość funkcji w punktach (czyli pola prostokątów)
4. Ta suma wyszła skończona (), a długości ‘n’ równych odcinków były nieskończenie małe przy ‘n’ dążącym do nieskończoności

Dlaczego więc nie mogę więc (jeszcze) stwierdzić, że:

?

Ano niestety dlatego, że w samej definicji całki oznaczonej jest warunek, że owszem, suma całkowa ma być zbieżna (i jest), ale oprócz tego jest tam napisane, że ma być zbieżna do jednej i tej samej liczby dla dowolnego podziału przedziału   i dla dowolnego wyboru punktów .

Ja natomiast jedyne co zrobiłem, to wykazałem, że suma jest zbieżna do dla jednego, wybranego przeze mnie podziału odcinkami (był to akurat podział na równe części) i dla jednego, wybranego przeze mnie sposobu obrania punktów (wybrałem sobie równo pośrodku przedziałów ).

Nie oznacza to jednak jeszcze, że:

Aby to wykazać (na gruncie samej, samiusieńkiej definicji) musiałbym jakoś pokazać, że dla wszystkich sposobów podziału odcinka przedziałami i dla wszystkich możliwych wyborów punktów pośrednich , zawsze i we wszystkich przypadkach suma całkowa równa jest .

Czy znasz już odpowiedź na pytanie testowe z początku wykładu:

czy liczenie całek oznaczonych przy jej pomocy jest:

a) Łatwe

b) Trudne

?

Oczywiście nie będę nawet próbować dobierać się do tak określonego samobójczego zadania. Potrzebuję czegoś więcej, dodatkowej artylerii. Będzie nią nowe twierdzenie (czyli z bólem serca wykraczam już poza samą, czystą definicję).

Twierdzenie o całkowalności funkcji ciągłej

Każda funkcja ciągła w przedziale    jest w tym przedziale całkowalna.

Twierdzenie proste jak konstrukcja cepa, prawda? Ale co właściwie z niego wynika i w czym może mi pomóc w obliczeniu z definicji całki:

 ?

Zapiszę je może innymi słowami i samo mi to wyjdzie:

Jeżeli funkcja jest ciągła w przedziale , to dla dowolnego podziału odcinka   przedziałami i dla dowolnego wyboru punktów pośrednich jej suma całkowa zbiega do tej samej liczby.

Prawda? Bo taki jest właśnie sens słowa “całkowalna”. A logicznym wnioskiem z powyższego twierdzenia jest:

• Jeżeli funkcja jest ciągła na przedziale
• Jeżeli znalazłem taki jeden z możliwych podziałów przedziałami i punktami , dla którego suma całkowa zbiega do pewnej liczby,

to:

Zgodnie z twierdzeniem o całkowalności funkcji ciągłej dla każdego innego podziału każda “inna” suma całkowa będzie zbiegać do tej samej liczby (bo jeśli jest ciągła, to dla dowolnego zbiega do tej samej)!

Czyli – mając funkcję ciągłą – możesz obliczyć jej sumę całkową dla dowolnego wybranego przez Ciebie podziału (np. podziału na równe odcinki i punktach pośrednich pośrodku), powołać się na twierdzenie o całkowalności funkcji ciągłej i wyznaczyć w ten sposób (w końcu) całkę oznaczoną z definicji.

Wracając więc do mojego przykładu na całkę:

Wszystko było w porządku i wszystkie obliczenia były ważne, na końcu jednak trzeba by jeszcze dopisać:

Zgodnie z twierdzeniem o całkowalności funkcji ciągłej (funkcja   jest oczywiście funkcją ciągłą na przedziale ), z tego, że suma całkowa dla wybranego przeze mnie podziału na i wyszła równa wynika, że dla dowolnego innego podziału też jest ona równa , a więc:

Dowód twierdzenia o całkowalności funkcji ciągłej odłożę sobie na inny raz.

Teraz pokażę Ci dwa inne przykłady na obliczanie całki oznaczonej z definicji.

Przykład 2

Oblicz z definicji: .

Dzielę odcinek na n równych części i punkty obieram równo na początku każdego przedziału :

Mam więc dla funkcji  :

Moja suma całkowa będzie więc równa:

Korzystam ze wzoru na sumę sześcianów kolejnych liczb naturalnych (), zmodyfikowanego, bo wyrazów mam n-1:

Funkcja jest funkcją ciągłą na przedziale .

Zgodnie z twierdzeniem o całkowalności funkcji ciągłej:

Przykład 3

Oblicz z definicji: .

Dzielę odcinek na n równych części i punkty obieram na końcu każdego przedziału :

Mam więc dla funkcji :

Moja suma całkowa będzie więc równa:

Jest ona oczywiście ciężka, ale pomocny będzie wzór (można wykazać go indukcyjnie):

Po skorzystaniu z tego wzoru, będę miał:

Zatem, zgodnie z twierdzeniem o całkowalności funkcji ciągłej:

KONIEC

Pisząc tego posta korzystałem z…

1. “Rachunek różniczkowy i całkowy. Tom II.” G.M. Fichtenholz. Wyd. 1966.

Kliknij, aby przypomnieć sobie definicję całki oznaczonej (poprzedni Wykład) <–

Kliknij, aby przejść do sum całkowych, które pomogą w dowodzie twierdzenia o całkowalności funkcji ciągłej (następny Wykład) –>

Kliknij tutaj, aby powrócić na stronę z wykładami o całkach oznaczonych