Інтеграли

Невизначені раціональні інтеграли – багаточлен третього ступеня в знаменнику

У невизначених раціональних інтегралах, як ми знаємо, часто необхідно розкласти знаменник підінтегральної функції на множники і далі розкласти на прості дроби. Але розклад на множники сам по собі може бути часто проблематичним.

Дельта дорівнює нулю у невизначених раціональних інтегралах

У невизначених раціональних інтегралах часто необхідно розкласти квадратичний тричлен ax^2 + bx + c на множники. Ми робимо це за допомогою формули ax^2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2), яка працює, коли дельта більша за 0. А як виглядає цей двочлен, коли дельта дорівнює 0?

Що в квадраті дорівнює 17? Тобто невизначені інтеграли і формула з арктангенсом

Ми звикли застосовувати формулу з arctan tgx у "чистих" інтегральних ситуаціях. Що робити, якщо є вирази, з яких, здається, немає "гарного" кореня? Відкрийте методи розв’язання невизначених інтегралів з функцією arctan.

Об’єм тіла обертання – задача з підступом

Дізнайтеся, як легко обчислити об'єм тіла обертання, використовуючи просту формулу з початкової школи. Відкрийте метод на прикладі обчислення об'єму кулі, що утворена обертанням кривої навколо осі, без складних інтегралів.

Визначені інтеграли, обчислені відносно змінної y

Визначені інтеграли можна обчислювати відносно змінної x або y, і іноді це навіть доцільно, якщо це зручніше. Це часто відіграє велику роль у застосуваннях інтегралів, таких як: обчислення площ ділянок, довжини дуг, об'єми та площі поверхонь обертових тіл. Часто у нас навіть немає вибору, адже умови завдання визначають, що крива обертається навколо осі OY, а не OX. Як це зробити?

Визначені інтеграли через підстановку – зміна меж інтегрування

Відкрийте, як ефективно змінювати межі інтегрування за допомогою підстановки в завданнях з визначеними інтегралами. Ця стаття детально пояснює процес зміни меж крок за кроком, використовуючи реальні приклади та формули для спрощення розуміння цієї ключової математичної техніки.

Різні результати, правильне рішення у завданнях на невизначені інтеграли – можливо?

Замислюєтеся, чому під час розв'язання невизначених інтегралів ви отримуєте інші результати, ніж ті, що вказані у підручнику? Дізнайтеся, як різні методи інтеграції та додавання константи можуть вплинути на результати та як правильно інтерпретувати ці відмінності.

Звідки я знаю, що підставляти в невизначених інтегралах?

Дізнайтеся, як ефективно використовувати метод підстановки для розв'язання невизначених інтегралів. Ця стаття містить докладні поради та приклади, які допоможуть вам зрозуміти, коли і які підстановки вибрати для спрощення складних інтегралів. Ідеально підходить для студентів математики, які починають свій шлях у інтегруванні, шукаючи практичні поради та рішення.

Підстановки Ейлера першого роду

Підстановки Ейлера в невизначених інтегралах є наступною річчю, яку вводять після раціональних інтегралів, тригонометричних інтегралів та інтегралів з коренями. Це означає, що більшість студентів не матимуть можливості з ними зустрітися, я також не включив їх до свого Курсу Невизначених Інтегралів.

Однак залишається досить велика група студентів на математичних спеціальностях, які повинні стикатися з підстановками Ейлера, і я запрошую цих (а також цікавих) студентів. Я обговорю всі три типи підстановок Ейлера (у цій статті розгляну перший тип) і для кожного надам по одному прикладу.