Комплексні поліноміальні рівняння, що зводяться до квадратних рівнянь

Picture of Krystian Karczyński

Krystian Karczyński

Зведення деяких рівнянь четвертого ступеня до квадратних рівнянь

Багато поліноміальних рівнянь четвертого ступеня можна перетворити на квадратні рівняння за допомогою добре відомого зі школи трюку, описаного тут:

Зведення до квадратного рівняння

Це, звичайно, працює і для поліномів у комплексних числах.

Нагадую, мова йде про маючи рівняння:

{{z}^{4}}+3{{z}^{2}}+2=0

Підставляємо: {{z}^{2}}=t

І отримуємо квадратне рівняння:

{{t}^{2}}+3{t}+2=0

Далі вирішуємо його за допомогою звичайної дельти і так далі, маємо розв’язки , пам’ятаючи про те, що утворюємо з них два наступні рівняння:

або

Розв’язуємо їх і маємо чотири розв’язки: .

Зведення деяких рівнянь вищих ступенів до квадратних рівнянь

Абсолютно нічого не заважає розширити цей метод на рівняння вищих ступенів, ніж 4 (якщо, звичайно, їх можна звести до квадратних шляхом підстановки).

Отже, маємо:

2{{z}^{6}}-5{{z}^{3}}+4=0

Можна також помітити, що це еквівалентно:

2{( {z}^{3})^{2}}-5{{z}^{3}}+4=0

І після підстановки:

Виходимо на квадратне рівняння:

2{{t}^{2}}-5t+4=0

У рівнянні:

{{x}^{10}}-3{{x}^{5}}+1=0

Після підстановки:

Маємо:

{{t}^{2}}-3t+1=0

І так далі, і так далі…

Приклад

Візьмемо рівняння:

z^6+(1-i)z^3-i=0

Підставляємо z^2=t і маємо:

t^2+(1-i)t-i=0

Далі рахуємо:

Рахуємо ці корені відомими методами комплексних чисел (показано, наприклад, у моєму Курсі).

Маємо або

Тобто:

Пам’ятаючи про те, що це ще не розв’язки, бо z^3=t

Тобто маємо розв’язати рівняння:

z^3=-1

А також:

z^3=i

Перетворюємо їх на:

та

І обчислюючи знову відомими методами, маємо три корені з першого рівняння:

А також три корені з другого рівняння:

Розв’язано 🙂

konometria jest dosyć młodą dziedziną wypływającą z ekonomii i matematyki. W praktyce, dzięki modelom ekonometrycznym, możesz „zmierzyć gospodarkę”.Polega to konkretnie na zmierzeniu, jak zachowuje się jedna zmienna w zależności od innych. I na podstawie analizy tego, co było, możesz określać, co będzie się działo w przyszłości.

Wykorzystasz do tego przeróżne obliczenia, testy, schematy. Jedne będą bardzo proste, inne trudniejsze. Jednak najczęściej będzie się liczyło nie to, jak dojdziesz do wyniku, ale jak go zinterpretujesz, odczytasz i jakie wnioski wyciągniesz.

Poniższe Wykłady dotykają najważniejszych pojęć teoretycznych. Jestem przekonana, że pomogę Ci odkrywaniu tego, czym jest ekonometria. I przy okazji uda Ci się zaliczyć ten przedmiot na studiach.

Leave a Reply

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *

Ваш коментар буде доступний публічно на нашому сайті разом з вищезазначеним підписом. Ви можете змінити або видалити свій коментар в будь-який час. Адміністратором особистих даних, наданих у цій формі, є eTrapez Usługi Edukacyjne E-Learning Krystian Karczyński. Правила обробки даних та ваші пов'язані з ними права описані в Політиці конфіденційності.


Kategorie

Wirtualny nauczyciel AI działający w przeglądarce internetowej.