Замінювання Ейлера третього роду – Підсумок
Krystian Karczyński
Засновник та керівник сервісу eTrapez.
Магістр математики Познанської Політехніки (Польща). Репетитор з математики з багаторічним досвідом. Творець перших Курсів eTrapez, які здобули величезну популярність серед студентів у всій Польщі.
Живе у Щецині (Польща). Любить прогулянки лісом, відпочинок на пляжі та каякінг.
Підстановки Ейлера I, II, III типів – Більше не потрібно
У попередніх постах я показав, як використовувати підстановки Ейлера у інтегралах типу:
- Підстановки Ейлера I типу (коли a>0)
- Підстановки Ейлера II типу (коли c>0)
У цьому пості ми розглянемо третій і останній тип підстановок Ейлера, які ми можемо використовувати, коли у інтегралі:
квадратний тричлен
Але перед тим як перейти до справи, зауважимо, що ці три випадки:
- I тип, коли a>0
- II тип, коли c>0
- III тип, коли є два різні корені
дозволяють нам розв’язати будь-який інтеграл типу:
Насправді навіть лише I і III типи достатні.
Чому?
Випадок, коли
Але що робити, коли a<0 (не підходить до I типу) і квадратний тричлен має один або взагалі не має коренів (не підходить до III типу)?
Тоді його графік виглядав би так (пам’ятаємо з середньої школи – гілки вниз):
або, якщо взагалі не мав би коренів, так:
Який з цього висновок? Що в обох випадках квадратний тричлен приймав би негативні значення (за винятком, щонайбільше одного пункту), а я нагадую, що ми рахуємо інтеграл:
Тобто, у підінтегральній функції квадратний тричлен знаходиться під коренем, а корінь не може бути знайдений з негативних значень (звісно, ми граємо з дійсними числами). Тобто, область визначення такої функції була б щонайбільше одним пунктом, тобто взагалі без сенсу, і такого прикладу ми точно не отримаємо. Хіба що професор буде дійсно дуже втомлений при складанні прикладів на іспиті.
Отже, випадок, коли a<0 і квадратний тричлен
До справи, отже, беремося за III тип підстановок Ейлера.
Підстановки Ейлера III типу
Маємо інтеграл:
де
де
Підстановка, яку ми тут використовуємо, це:
Підносимо обидві сторони цієї підстановки до квадрату, квадратний тричлен зліва записуємо у вигляді добутку (знаємо, що можна), ділимо обидві сторони на
На кінці підставляємо все до вихідного інтегралу і отримуємо – зазвичай клопіткий – раціональний інтеграл.
До роботи.
Приклад
Наше
Рахуємо спочатку
Застосовуємо підстановку Ейлера III типу:
Підносимо обидві сторони до квадрату:
Квадратний тричлен зліва записуємо у вигляді добутку (пам’ятати про
Ділимо обидві сторони на
Визначаємо
Маємо
Повертаючись до нашої першої підстановки, маємо, що:
Вставляємо визначене
Маємо цілком акуратно визначене
Отже, ми визначили:
, все за допомогою змінної
Спрощуємо:
Згідно з передбаченнями, ми отримуємо дійсно складний раціональний інтеграл, який я не буду рахувати.
На завершення варто ще зауважити, що…
Примітка щодо підстановок Ейлера
Маючи інтеграл:
де:
- I тип, коли a>0
- II тип, коли c>0
- III тип, коли є два різні корені
очевидно, що часто можна буде його розв’язувати однією з двох підстановок Ейлера, або навіть будь-якою з них (коли a>0, c>0 і одночасно
Жодних проблем, хоча з огляду на простоту обчислень я рекомендував би спочатку використовувати I тип, якщо це не вийде, то II, а якщо це також не вийде, то нарешті III.
Ось і все про використання підстановок Ейлера, сподіваюся, це стане вам у нагоді під час навчання, і як завжди, запрошую до коментарів під постом.
Шукаєте репетитора з математики для університетського рівня або школи? А може вам потрібен курс, який підготує вас до вступних іспитів?
Ми - команда eTrapez. Ми вчимо математику ясно, просто і дуже детально - дістанемося навіть до найбільш відсторонених від знань.
Ми створили курси відео зрозумілою мовою для завантаження на комп'ютер, планшет або телефон. Вмикайте запис, дивіться і слухайте, як на репетиторстві. У будь-який час дня та ночі.