Замінювання Ейлера третього роду – Підсумок

---

Підстановки Ейлера I, II, III типів – Більше не потрібно

У попередніх постах я показав, як використовувати підстановки Ейлера у інтегралах типу:

• Підстановки Ейлера I типу (коли a>0)
• Підстановки Ейлера II типу (коли c>0)

У цьому пості ми розглянемо третій і останній тип підстановок Ейлера, які ми можемо використовувати, коли у інтегралі:

квадратний тричлен , має два різні корені , тобто коли його , тобто коли його можна записати у вигляді добутку: .

Але перед тим як перейти до справи, зауважимо, що ці три випадки:

• I тип, коли a>0
• II тип, коли c>0
• III тип, коли є два різні корені

дозволяють нам розв’язати будь-який інтеграл типу:

Насправді навіть лише I і III типи достатні.

Чому?

Випадок, коли можна оминути, оскільки квадратний тричлен просто перетворюється на лінійну форму , яку ми розв’язуємо простішими підстановками, ніж Ейлера.

Але що робити, коли a<0 (не підходить до I типу) і квадратний тричлен має один або взагалі не має коренів (не підходить до III типу)?

Тоді його графік виглядав би так (пам’ятаємо з середньої школи – гілки вниз):

або, якщо взагалі не мав би коренів, так:

Який з цього висновок? Що в обох випадках квадратний тричлен приймав би негативні значення (за винятком, щонайбільше одного пункту), а я нагадую, що ми рахуємо інтеграл:

Тобто, у підінтегральній функції квадратний тричлен знаходиться під коренем, а корінь не може бути знайдений з негативних значень (звісно, ми граємо з дійсними числами). Тобто, область визначення такої функції була б щонайбільше одним пунктом, тобто взагалі без сенсу, і такого прикладу ми точно не отримаємо. Хіба що професор буде дійсно дуже втомлений при складанні прикладів на іспиті.

Отже, випадок, коли a<0 і квадратний тричлен не має двох коренів, можна оминути, і тепер явно видно, що I і III типи підстановок Ейлера підходять до БУДЬ-ЯКОГО інтегралу типу:

До справи, отже, беремося за III тип підстановок Ейлера.

Підстановки Ейлера III типу

Маємо інтеграл:

,

де має , тобто можна його записати як:

,

де це його корені.

Підстановка, яку ми тут використовуємо, це:

Підносимо обидві сторони цієї підстановки до квадрату, квадратний тричлен зліва записуємо у вигляді добутку (знаємо, що можна), ділимо обидві сторони на і продовжуємо, як у попередніх типах підстановок, визначаючи послідовно:

На кінці підставляємо все до вихідного інтегралу і отримуємо – зазвичай клопіткий – раціональний інтеграл.

До роботи.

Приклад

Наше (тобто a<0, тобто не застосовуємо підстановки I типу), наше (тобто c<0, тобто не застосовуємо підстановки II типу), але наша , тобто можемо застосувати підстановки III типу.

Рахуємо спочатку :

Застосовуємо підстановку Ейлера III типу:

Підносимо обидві сторони до квадрату:

Квадратний тричлен зліва записуємо у вигляді добутку (пам’ятати про тут!!!):

Ділимо обидві сторони на :

Визначаємо :

Маємо визначене за допомогою змінної . Тепер беремося за визначення .

Повертаючись до нашої першої підстановки, маємо, що:

Вставляємо визначене , і маємо:

Маємо цілком акуратно визначене . Тепер вже лише , яке порахуємо, визначаючи похідну з :

Отже, ми визначили:

, все за допомогою змінної . Вставляємо це до інтегралу:

Спрощуємо:

Згідно з передбаченнями, ми отримуємо дійсно складний раціональний інтеграл, який я не буду рахувати.

На завершення варто ще зауважити, що…

Примітка щодо підстановок Ейлера

Маючи інтеграл:

  ,

де:

• I тип, коли a>0
• II тип, коли c>0
• III тип, коли є два різні корені

очевидно, що часто можна буде його розв’язувати однією з двох підстановок Ейлера, або навіть будь-якою з них (коли a>0, c>0 і одночасно ).

Жодних проблем, хоча з огляду на простоту обчислень я рекомендував би спочатку використовувати I тип, якщо це не вийде, то II, а якщо це також не вийде, то нарешті III.

Ось і все про використання підстановок Ейлера, сподіваюся, це стане вам у нагоді під час навчання, і як завжди, запрошую до коментарів під постом.