(Майже) Тригонометрична Форма Комплексного Числа

Krystian Karczyński

Засновник та керівник сервісу eTrapez.

Магістр математики Познанської Політехніки (Польща). Репетитор з математики з багаторічним досвідом. Творець перших Курсів eTrapez, які здобули величезну популярність серед студентів у всій Польщі.

Живе у Щецині (Польща). Любить прогулянки лісом, відпочинок на пляжі та каякінг.

Розв’язуючи задачі з комплексними числами, треба мати на увазі, що комплексне число в тригонометричній формі виглядає так:

І тільки так. Ні більше, ні менше.

Отже, потрібно звернути увагу на:

Коли комплексне число є, а коли не є в тригонометричній формі?

1. Число: Є числом у тригонометричній формі, в якій модуль числа дорівнює 1 (), бо очевидно:
   
2. Число: НЕ є числом у тригонометричній формі, бо перед уявною одиницею ‘i’, помноженою на синус, стоїть мінус, а повинен бути плюс.
   Щоб перетворити це число на тригонометричну форму, потрібно скористатися тригонометричними формулами:
   
   Використовуючи ці формули, ми можемо перетворити:
   
   Функції синуса і косинуса є -періодичними, отже їх значення такі ж, як . Більше про це я написав у: цьому дописі.
   Отже, в кінці ми маємо:
   
   …а це вже є число в тригонометричній формі.
3. Число: НЕ є числом у тригонометричній формі, бо перед уявною одиницею ‘i’, помноженою на синус, стоїть мінус, а повинен бути плюс, а також перед косинусом стоїть мінус, а повинен бути плюс.
   Щоб перетворити це комплексне число на тригонометричну форму, потрібно винести мінус перед дужками:
   
   Замінити збоку число на тригонометричну форму (це ми вже вміємо…):
   
   Отже, у нас є множення двох чисел у тригонометричній формі:
   
   А множимо числа в тригонометричній формі, множачи їх модулі і додаючи аргументи (для цього є формула), отже, маємо:
   
   Це вже є число в тригонометричній формі.
4. Число: НЕ Є комплексним числом у тригонометричній формі, тому що перед косинусом стоїть мінус, а повинен бути плюс.
   Щоб перетворити це комплексне число в тригонометричну форму, потрібно винести мінус перед дужками:
   
   Число -1 потрібно перетворити в тригонометричну форму (ми це зробили в пункті 3), аналогічно потрібно перетворити число в тригонометричну форму (ми це зробили в пункті 2).
   Отримуємо:
   
   Використовуючи формулу для множення тригонометричних функцій:
   
   І використовуючи періодичність функцій синуса і косинуса:
   
5. Число: НЕ Є комплексним числом у тригонометричній формі, бо перед косинусом стоїть уявна одиниця ‘i’ (яка не повинна там бути), а перед синусом немає уявної одиниці ‘i’.
   Потрібно скористатися тригонометричними формулами, відомими зі школи:
   
   Отже, маємо:
   
   І це вже Є комплексне число у тригонометричній формі.
6. Число: НЕ Є комплексним числом у тригонометричній формі.
   Потрібно замінити синус на косинус так, як ми це зробили в пункті 5, а потім розв’язати як у пункті 4.
7. Число: НЕ Є комплексним числом у тригонометричній формі.
   Потрібно замінити синус на косинус так, як ми це зробили в пункті 5, а потім розв’язати як у пункті 2.
8. Число: НЕ Є комплексним числом у тригонометричній формі.
   Потрібно замінити синус на косинус так, як ми це зробили в пункті 5, а потім розв’язати як у пункті 3.

Удачі! 🙂