Що робити, коли піднесення до степеня просто не вдається (Комплексні числа)

---

Бувають такі дні, коли просто нічого не виходить.

Також бувають такі приклади з комплексними числами, де нічого не йде. Відомі й зазубрені методи не допомагають.

Візьмемо, наприклад, таке невинне піднесення до степеня:

{( 1+2i )^8}

Йдучи протоптаною в багатьох прикладах стежкою, ти хочеш записати число у тригонометричній формі і потім піднести до восьмого степеня за відповідною формулою.

Тож ти рахуєш модуль:

Рахуєш синус і косинус головного аргументу:

Знаки при косинусі і синусі позитивні, отже кут з першого квадранта, але на цьому твоє щастя закінчується.

На жаль, значення синуса і косинуса: і не знайдеш в таблиці основних тригонометричних значень. Не дивно – кут не є ні 0, ні 30, ні 45, ні 60, ні 90 градусів.

Тобто ПРОБЛЕМА.

Що можна зробити?

Ситуації, коли число, піднесене до степеня, не можна так легко перетворити у тригонометричну форму, можуть трапитися. На жаль.

Але ніхто не сказав, що те саме число ПІДНЕСЕНЕ ДО КВАДРАТА (наприклад) все ще буде “неперетворюваним”.

Отже, спробуймо:

Замість числа: у тригонометричну форму перетворюєш число …

На жаль з таким самим поганим результатом, бо хоча модуль вийде гарний і круглий, значення синуса і косинуса все одно не зможеш прочитати з таблиці.

Що тепер?

Повтори маневр 🙂

А тут, замість того, щоб мучитися з тригонометричною формою, просто піднеси це до квадрата в алгебраїчній формі:

Таким чином, зауваж, не торкаючись фактично тригонометричної форми (бо не вийшло), досить – мабуть все ще безболісно – порахували досить високий степінь комплексного числа:

Звичайно. Це не завжди “спрацьовує”. Але може іноді допомогти, правда? 🙂