Кілька речей, які слід добре вивчити у середній школі, але ніхто тобі цього не сказав – частина 3: Квадратична функція

---

Цей пост уже третій поспіль, у якому я хочу звернути вашу увагу на речі, які варто повторити на самому початку вивчення математики в університеті. Швидке повторення цих тем значно полегшить ваше життя в університеті. У попередніх постах я розглянув теми:

Геометрична інтерпретація абсолютної величини

Квантори

Сьогодні черга за квадратичною функцією.

Квадратична функція? Але ми ж це, здається, два місяці робили…

Тема квадратичної функції, звісно, дуже широка, і я зовсім не маю на увазі, що потрібно взяти підручник зі школи і переглянути весь розділ від початку до кінця.

Зосередимося лише на кількох важливих деталях, нюансах і пастках.

Квадратична функція та квадратичне рівняння

Квадратична функція – це, звісно, щось таке:

або:

Де – це будь-які числа. Приклади квадратичних функцій:

тощо…

Поняття квадратичної функції слід відрізняти від поняття квадратичного рівняння, наприклад:

тощо…

Це не те саме!!!!

– це квадратична функція, а – це квадратичне рівняння.

Нерозрізнення функції від рівняння часто призводить до…

Жахлива помилка номер 1

Наприклад, обчислюючи похідні та маючи дану функцію:

Люди часто роблять щось подібне:

…і далі обчислюють, що потрібно.

Вони помиляються, тому що пам’ятають, що можна було робити таке з рівняннями:

…і з рівняннями все добре, можна ділити обидві сторони, 0 праворуч поділене на 2 дійсно дає 0 і рівняння є еквівалентними (мають однакові розв’язки).

Але цей трюк не можна виконувати з функціями – потрібно ж якось поділити також це y зліва і т.д. Проста ділення значення функції на 2 дає іншу функцію!

Що слід повторити з функцій?

Не так багато. Власне, тільки дві форми функцій: канонічна та множинна.

Канонічна форма квадратичної функції

Припускаю, що ми вже маємо загальну форму квадратичної функції:

Її канонічна форма:

Тобто:

Що таке a, b і – це якось так зрозуміло, мало хто має проблему з тим, що .

Можна навіть помітити, що якщо в канонічній формі винести перед дужкою, отримаємо:

…що іноді може бути корисним, а іноді не обов’язково.

Якщо ти навчався цього, обчислюючи координати вершини (зазвичай як і ) і вставляючи у формулу:

то, звичайно, це трохи обхідний шлях, але також добре.

Запам’ятай на початку формули канонічної форми!

Множинна форма квадратичної функції (її розкладання на множники):

Повертаючись тепер до нашої загальної квадратичної функції:

Дуже часто потрібно буде “розкласти її на множники”, використовуючи множинну форму квадратичної функції:

Де і обчислюємо з відомих і улюблених формул:

Тут також потрібно пам’ятати про на початку формули!!!

Зверніть увагу також, що ці і не завжди існують (якщо дельта від’ємна, вони не існують), тобто функцію не завжди можна записати у множинній формі, тобто квадратичну функцію не завжди можна розкласти на множники.

Що слід повторити з квадратичних рівнянь?

З квадратичними рівняннями, я припускаю, справи не так погано. Ми зазвичай справляємося з розв’язанням загального рівняння:

Наприклад:

Ми просто обчислюємо:

А потім, якщо дельта виявилася невід’ємною, розв’язки рівняння:

Пам’ятай, що там внизу у знаменнику є а не просто 2!

Однак я хотів би зупинитися на особливому випадку рівняння:

Тут виникає багато помилок. Наприклад:

Жахлива помилка номер 2

У чому полягає помилка? Число 2 дійсно є розв’язком рівняння , але було повністю пропущено другий розв’язок цього рівняння, а саме число -2. Повинно бути:

Негативні розв’язки можна пропускати тільки в геометрії (тому що відстань не може бути від’ємною).

Ще одна проблема з рівнянням у формі: це:

Жахлива помилка номер 3

Що, звісно, є нісенітницею, оскільки 2 у квадраті не дає -4. Взагалі нічого у квадраті не дає -4 (ті, хто вже вивчав комплексні числа, мовчіть). Рівняння:

…не має розв’язків.

Тому потрібно бути пильним. Рівняння має два розв’язки, а рівняння взагалі не має розв’язків.

Запрошую до спокійного повторення всього, що було сказано до цього часу і, звісно, до питань у коментарях.