fbpx

Wakacyjna promocja! Wszystkie produkty -25% po założeniu darmowego konta.

blog

Еліптичні координати (подвійні інтеграли)

Krystian Karczyński

Засновник та керівник сервісу eTrapez.

Магістр математики Познанської Політехніки (Польща). Репетитор з математики з багаторічним досвідом. Творець перших Курсів eTrapez, які здобули величезну популярність серед студентів у всій Польщі.

Живе у Щецині (Польща). Любить прогулянки лісом, відпочинок на пляжі та каякінг.


Бувають у житті такі ситуації, коли областю інтегрування в подвійній інтегралі є еліпс….

Що тоді робити?

Еліптичні координати

Елегантним методом вирішення часто є використання так званих еліптичних координат. Це щось на кшталт полярних координат, механізм дії дуже схожий, лише ви підставляєте різні речі для x та y і якобіан інший. Інтерпретація ‘r’ також інша. Отже, підсумовуючи, якщо ви вмієте переходити до полярних координат (а це зазвичай робиться, коли областю інтегрування є коло), то ви без труднощів зрозумієте еліптичні координати.

Отже, ми маємо інтеграл: і область інтегрування, обмежену еліпсом з центром у початку координат, рівняння якого: . Давайте впевнимось, що справа від рівняння еліпса точно 1, добре? Якщо, наприклад, там 9, можна легко зробити 1, поділивши обидві частини рівняння на 9.

Область інтегрування, що малюється, виглядає так:

Elipsa

Що означають a і b, кожен бачить на рисунку. Потрібно бути уважним, бо якщо в знаменнику рівняння еліпса під є, наприклад, 9, то це означає, що , очевидно чому, правда?

Отже, маючи таку “чисту” ситуацію, переходимо до еліптичних координат, підставляючи:

Значення змінних в еліптичних координатах

Кут означає те ж саме, що і в полярних координатах, а означає інше. У основних задачах з еліпсом, заданим гарним рівнянням , просто припустимо, що змінюється від нуля до одного (у складніших випадках підставте і у рівняння еліпса і обчисліть верхнє обмеження r).

Якобіан

Якобіан в еліптичних координатах дорівнює .

Запам’ятавши якобіан, переходимо до інтегралу в еліптичних координатах:

де змінні та обмежені: у межах від нуля до одного, а залежно від того, говоримо ми про весь еліпс, половину чи, наприклад, чверть – як у полярних координатах.

Просто візьміть і рахуйте.

Приклад

Обчисліть інтеграл , де D – це еліпс з рівнянням: .

Згідно з наведеним вище планом, підставляємо:

Беремо область інтегрування:

І рахуємо інтеграл:

Що вже, звісно, є формальністю 🙂


Шукаєте репетитора з математики для університетського рівня або школи? А може вам потрібен курс, який підготує вас до вступних іспитів?

Ми - команда eTrapez. Ми вчимо математику ясно, просто і дуже детально - дістанемося навіть до найбільш відсторонених від знань.

Ми створили курси відео зрозумілою мовою для завантаження на комп'ютер, планшет або телефон. Вмикайте запис, дивіться і слухайте, як на репетиторстві. У будь-який час дня та ночі.

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *

Ваш коментар буде доступний публічно на нашому сайті разом з вищезазначеним підписом. Ви можете змінити або видалити свій коментар в будь-який час. Адміністратором особистих даних, наданих у цій формі, є eTrapez Usługi Edukacyjne E-Learning Krystian Karczyński. Правила обробки даних та ваші пов'язані з ними права описані в Політиці конфіденційності.