Доведення того, що sin(x) не досягає межі при x, що прямує до нескінченності

Krystian Karczyński

Засновник та керівник сервісу eTrapez.

Магістр математики Познанської Політехніки (Польща). Репетитор з математики з багаторічним досвідом. Творець перших Курсів eTrapez, які здобули величезну популярність серед студентів у всій Польщі.

Живе у Щецині (Польща). Любить прогулянки лісом, відпочинок на пляжі та каякінг.

Маємо межу функції:

Інтуїтивно ми відчуваємо, що зазначена межа не існує. Значення x стають все більшими і більшими, а значення синуса “коливаються” весь час між -1 і 1.

Формальний доказ

Але як це формально довести?

З визначення межі функції при x, що прямує до нескінченності ми знаємо, що межа існує, якщо для кожної послідовності аргументів функції, що прямують до , відповідна їм послідовність значень функції збігається до одного і того ж числа (тоді це число і є межею).

Щоб показати, що така межа не існує, достатньо взяти дві будь-які послідовності аргументів, що прямують до і показати, що відповідні послідовності значень збігаються до двох різних чисел.

Ми знаємо, що функція синуса є періодичною, тому це можуть бути, наприклад, послідовності:

Очевидно, що обидві послідовності прямують до нескінченності при .

Тепер подивимося на відповідні цим послідовностям послідовності значень функції :

Очевидно, що перша послідовність збігається до 0, а друга – до 1.

Цього достатньо, щоб довести, що межа функції:

не існує.