fbpx

Black Weekend + Cyber Monday! Wszystkie produkty -30%

blog

Zmiany na maturze 2023 i 2024 w starej formule (2015). Matematyka – podstawa programowa.

Anna Zalewska

Absolwentka matematyki na Politechnice Śląskiej.
Korepetytor z 12-letnim doświadczeniem. Trener i wykładowca na Uniwersytecie Śląskim Maturzystów przy Uniwersytecie Śląskim w Katowicach. Certyfikowany nauczyciel MathRiders.
Mieszka w Chorzowie. Jest ratownikiem wodnym i członkiem Zarządu Oddziału Miejskiego WOPR. Lubi piec ciasta, ciasteczka, torty i przygotowywać różne słodkości.


W roku szkolnym 2022/23 oraz roku szkolnym 2023/24, podobnie jak w poprzednich latach, podstawa programowa obowiązująca na egzaminie maturalnym została pomniejszona o pewne treści. Z powodu pandemii koronawirusa COVID-19 oraz nietypowej sytuacji, jaką była nauka zdalna przez długi okres czasu, Ministerstwo Edukacji i Nauki wyszło na przeciw uczniom i dnia 10 czerwca 2022 r. wydało rozporządzenie dokonujące pewnych zmian w egzaminie oraz w wymogach programowych do tego egzaminu obowiązującego PRZED reformą edukacji, a więc dla uczniów, którzy ukończyli gimnazjum oraz 3- lub 4-letnią szkołę średnią. Treść rozporządzenia można znaleźć TUTAJ.

      

Prezentację CKE na ten temat można znaleźć tutaj:

Egzamin maturalny w roku 2023 i 2024 – ZMIANY w formule 2015 i formule 2023

       

W przypadku egzaminu maturalnego 2023 oraz 2024 w starej formule 2015 wszelkie materiały dostępne na stronach CKE należy analizować wraz z aneksem opisującym zmiany zawarte w wyżej opisanym rozporządzeniu.

Aneks do egzaminu maturalnego z matematyki, poziom podstawowy i rozszerzony.

       

Poniżej prezentujemy podsumowanie najważniejszych zmian na poziomie podstawowym oraz poziomie rozszerzonym, a także pełną podstawę programową (obowiązującą ogólnie PRZED nową reformą) z zaznaczonymi treściami, które zostały usunięte dla uczniów zdających egzamin maturalny w starej formule 2015 w latach szkolnych 2022/23 oraz 2023/24.

       

       

NAJWAŻNIEJSZE ZMIANY na poziomie podstawowym (STARA FORMUŁA 2015):

👉👉 Za rozwiązanie zadań można uzyskać maksymalnie 46 punktów, w tym: 29 pkt – zadania zamknięte; 17 pkt – zadania otwarte.

👉👉 Liczba zadań otwartych: (w latach 2015-2020: 9)

👉👉 Czas trwania: 170 minut (nowa formuła: 180 min).

👉👉 Brak pewnych treści w podstawie programowej, w tym:
      👉  brak zastosowania potęg w zagadnieniach związanych z innymi dziedzinami wiedzy, np. fizyką, chemią, informatyką;
      👉  brak błędu bezwzględnego i błędu względnego przybliżenia;
      👉  brak równań 3-go stopnia z wykorzystaniem definicji pierwiastka typu  ;
      👉  brak wartości najmniejszej i wartości największą funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym;
      👉  brak funkcji homograficznej postaci   ;
      👉  brak funkcji wykładniczej;
      👉  brak znajdowania wartości funkcji trygonometrycznej dla zadanego kąta za pomocą tablic lub kalkulatora oraz znajdowania kąta, dla którego dana wartość jest osiągana za pomocą tablic lub kalkulatora;
      👉  brak własności okręgów stycznych;
      👉  brak podobieństwa trójkątów w zadaniach z kontekstem praktycznym;
      👉  brak kątów w ostrosłupach (między odcinkami, między odcinkami i płaszczyznami, między ścianami);
      👉  brak w graniastosłupach kątów między ścianami;
      👉  brak brył obrotowych (walec, stożek, kula);
      👉  brak określania, jaką figurą jest dany przekrój prostopadłościanu płaszczyzną;
      👉  brak średniej ważonej i odchylenia standardowego;

       

       

NAJWAŻNIEJSZE ZMIANY na poziomie rozszerzonym (STARA FORMUŁA 2015):

👉👉 Obowiązek przystąpienia do egzaminu z jednego przedmiotu na poziomie rozszerzonym; bez progu zaliczenia.

👉👉 Zdający, którzy posiadają dyplom zawodowy albo dyplom potwierdzający kwalifikacje zawodowe, mogą „zastąpić” tym dyplomem obowiązek przystąpienia do egzaminu z jednego przedmiotu dodatkowego na poziomie rozszerzonym.

👉👉 Przeprowadzany na podstawie wymagań egzaminacyjnych, zawierających ograniczony zakres wymagań podstawy programowej.

👉👉 Usunięcie pewnych treści z poziomu rozszerzonego, w tym:
      👉  brak równań wielomianowych (np. dwukwadratowych) dających się łatwo sprowadzić do równań kwadratowych;
      👉  brak wykresów i zastosowania praktycznego funkcji logarytmicznej;
      👉  brak ciągów rekurencyjnych;
      👉  brak nierówności trygonometrycznych;
      👉  brak jednokładności wykorzystywanej do znajdowania obrazów niektórych figur geometrycznych;
      👉  brak nierówności liniowych z dwiema niewiadomymi oraz układów takich nierówności;
      👉  brak równania prostej w postaci ogólnej;
      👉  brak określania, jaką figurą jest dany przekrój sfery lub ostrosłupa płaszczyzną;
      👉  brak bardziej złożonych sytuacji kombinatorycznych;
      👉  brak definicji fizycznej pochodnej i jej interpretacji.

       

       

Co zostało usunięte z wymagań na maturę z matematyki 2021 i 2022?

Poniżej wykaz szczegółowych wymagań edukacyjnych z matematyki obowiązujących na egzaminie maturalnym w latach 2023 i 2024 w “starej” formule 2015.

Zmiany, jakie nastąpiły w “nowej” formule 2023 możesz znaleźć TUTAJ.

       

Na czerwono wyszczególniono treści, które NIE obowiązują na danym poziomie na maturze w roku 2023 i roku 2024.

       


Treści nauczania – wymagania szczegółowe

I.  Liczby rzeczywiste.

Zakres podstawowy. Uczeń:

      1.  przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego okresowego, z użyciem symboli pierwiastków, potęg);
      2.  oblicza wartości wyrażeń arytmetycznych (wymiernych);
      3.  posługuje się w obliczeniach pierwiastkami dowolnego stopnia i stosuje prawa działań na pierwiastkach;
      4.  oblicza potęgi o wykładnikach wymiernych i stosuje prawa działań na potęgach o wykładnikach wymiernych;
      5.  wykorzystuje podstawowe własności potęg (również w zagadnieniach związanych z innymi dziedzinami wiedzy, np. fizyką, chemią, informatyką);
      6.  wykorzystuje definicję logarytmu i stosuje w obliczeniach wzory na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi o wykładniku naturalnym;
      7.  oblicza błąd bezwzględny i błąd względny przybliżenia;
      8.  posługuje się pojęciem przedziału liczbowego, zaznacza przedziały na osi liczbowej;
      9.  wykonuje obliczenia procentowe, oblicza podatki, zysk z lokat (również złożonych na procent składany i na okres krótszy niż rok).

Zakres rozszerzony. Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:

      1.  wykorzystuje pojęcie wartości bezwzględnej i jej interpretację geometryczną, zaznacza na osi liczbowej zbiory opisane za pomocą równań i nierówności typu: open vertical bar x minus a close vertical bar equals bopen vertical bar x minus a close vertical bar less than b , open vertical bar x minus a close vertical bar greater or equal than b ;
      2.  stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu.

       

II.  Wyrażenia algebraiczne.

Zakres podstawowy. Uczeń:

      1.  używa wzorów skróconego mnożenia na  open parentheses a space plus-or-minus space b close parentheses squared oraz a squared minus b squared

Zakres rozszerzony. Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:

      1.  używa wzorów skróconego mnożenia na open parentheses a plus-or-minus b close parentheses cubed oraz a cubed plus-or-minus b cubed ;
      2.  dzieli wielomiany przez dwumian a x plus b ;
      3.  rozkłada wielomian na czynniki, stosując wzory skróconego mnożenia lub wyłączając wspólny czynnik przed nawias;
      4.  dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany;
      5.  wyznacza dziedzinę prostego wyrażenia wymiernego z jedną zmienną, w którym w mianowniku występują tylko wyrażenia dające się łatwo sprowadzić do iloczynu wielomianów liniowych i kwadratowych;
      6.  dodaje, odejmuje, mnoży i dzieli wyrażenia wymierne; rozszerza i (w łatwych przykładach) skraca wyrażenia wymierne.

       

III.  Równania i nierówności.

Zakres podstawowy. Uczeń:

      1.  sprawdza, czy dana liczba rzeczywista jest rozwiązaniem równania lub nierówności;
      2.  wykorzystuje interpretację geometryczną układu równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi;
      3.  rozwiązuje nierówności pierwszego stopnia z jedną niewiadomą;
      4.  rozwiązuje równania kwadratowe z jedną niewiadomą;
      5.  rozwiązuje nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą;
      6.  korzysta z definicji pierwiastka do rozwiązywania równań typu x cubed equals negative 8 ;
      7.  korzysta z własności iloczynu przy rozwiązywaniu równań typu x open parentheses x plus 1 close parentheses open parentheses x minus 7 close parentheses equals 0 ;
      8.  rozwiązuje proste równania wymierne, prowadzące do równań liniowych lub kwadratowych, np. fraction numerator x plus 1 over denominator x plus 3 end fraction equals 2 space comma space space fraction numerator x plus 1 over denominator x end fraction equals 2 x .

Zakres rozszerzony. Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:

      1.  stosuje wzory Viete’a;
      2.  rozwiązuje równania i nierówności liniowe i kwadratowe z parametrem;
      3.  rozwiązuje układy równań, prowadzące do równań kwadratowych;
      4.  stosuje twierdzenie o reszcie z dzielenia wielomianu przez dwumian x minus a ;
      5.  stosuje twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych;
      6.  rozwiązuje równania wielomianowe dające się łatwo sprowadzić do równań kwadratowych;
      7.  rozwiązuje łatwe nierówności wielomianowe;
      8.  rozwiązuje proste nierówności wymierne typu: fraction numerator x plus 1 over denominator x plus 3 end fraction greater than 2fraction numerator x plus 3 over denominator x squared minus 16 end fraction less than fraction numerator 2 x over denominator x squared minus 4 x end fractionfraction numerator 3 x minus 2 over denominator 4 x minus 7 end fraction less or equal than fraction numerator 1 minus 3 x over denominator 5 minus 4 x end fraction;
      9.  rozwiązuje równania i nierówności z wartością bezwzględną, o poziomie trudności nie wyższym, niż: open vertical bar open vertical bar x plus 1 close vertical bar minus 2 close vertical bar equals 3open vertical bar x plus 3 close vertical bar plus open vertical bar x minus 5 close vertical bar greater than 12 .

       

IV.  Funkcje.

Zakres podstawowy. Uczeń:

      1.  określa funkcje za pomocą wzoru, tabeli, wykresu, opisu słownego;
      2.  oblicza ze wzoru wartość funkcji dla danego argumentu. Posługuje się poznanymi metodami rozwiązywania równań do obliczenia, dla jakiego argumentu funkcja przyjmuje daną wartość;
      3.  odczytuje z wykresu własności funkcji (dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, maksymalne przedziały, w których funkcja maleje, rośnie, ma stały znak; punkty, w których funkcja przyjmuje w podanym przedziale wartość największą lub najmniejszą);
      4.  na podstawie wykresu funkcji  y equals f open parentheses x close parentheses  szkicuje wykresy funkcji y equals f open parentheses x plus a close parentheses space comma space space y equals f open parentheses x close parentheses plus a space comma space space y equals negative f open parentheses x close parentheses space comma space space y equals f open parentheses negative x close parentheses;
      5.  rysuje wykres funkcji liniowej, korzystając z jej wzoru;
      6.  wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o funkcji lub o jej wykresie;
      7.  interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej;
      8.  szkicuje wykres funkcji kwadratowej, korzystając z jej wzoru;
      9.  wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie pewnych informacji o tej funkcji lub o jej wykresie;
      10.  interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej, w postaci ogólnej i w postaci iloczynowej (o ile istnieje);
      11.  wyznacza wartość najmniejszą i wartość największą funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym;
      12.  wykorzystuje własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp. (także osadzonych w kontekście praktycznym);
      13.  szkicuje wykres funkcji  f open parentheses x close parentheses equals a over x dla danego a , korzysta ze wzoru i wykresu tej funkcji do interpretacji zagadnień związanych z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi;
      14.  szkicuje wykresy funkcji wykładniczych dla różnych podstaw;
      15.  posługuje się funkcjami wykładniczymi do opisu zjawisk fizycznych, chemicznych, a także w zagadnieniach osadzonych w kontekście praktycznym.

Zakres rozszerzony. Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:

      1.  na podstawie wykresu funkcji y equals f open parentheses x close parentheses szkicuje wykresy funkcji y equals open vertical bar f open parentheses x close parentheses close vertical bary equals c times f open parentheses x close parentheses , y equals f open parentheses c x close parentheses;
      2.  szkicuje wykresy funkcji logarytmicznych dla różnych podstaw;
      3.  posługuje się funkcjami logarytmicznymi do opisu zjawisk fizycznych, chemicznych, a także w zagadnieniach osadzonych w kontekście praktycznym;
      4.  szkicuje wykres funkcji określonej w różnych przedziałach różnymi wzorami; odczytuje własności takiej funkcji z wykresu.

       

V.  Ciągi.

Zakres podstawowy. Uczeń:

      1.  wyznacza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym;
      2.  bada, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny;
      3.  stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego;
      4.  stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.

Zakres rozszerzony. Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:

      1.  wyznacza wyrazy ciągu określonego wzorem rekurencyjnym;
      2.  oblicza granice ciągów, korzystając z granic ciągów typu 1 over n comma space 1 over n squared oraz z twierdzeń o działaniach na granicach ciągów;
      3.  rozpoznaje szeregi geometryczne zbieżne i oblicza ich sumy.

       

VI.  Trygonometria.

Zakres podstawowy. Uczeń:

      1.  wykorzystuje definicje i wyznacza wartości funkcji sinus, cosinus i tangens kątów o miarach od 0 degree do 180 degree ;
      2.  korzysta z przybliżonych wartości funkcji trygonometrycznych (odczytanych z tablic lub obliczonych za pomocą kalkulatora);
      3.  oblicza miarę kąta ostrego, dla której funkcja trygonometryczna przyjmuje daną wartość (miarę dokładną albo – korzystając z tablic lub kalkulatora – przybliżoną);
      4.  stosuje proste zależności między funkcjami trygonometrycznymi: sin squared alpha plus cos squared alpha equals 1 , tg alpha equals fraction numerator sin alpha over denominator cos alpha end fraction oraz sin open parentheses 90 degree minus alpha close parentheses equals cos alpha ;
      5.  znając wartość jednej z funkcji: sinus lub cosinus, wyznacza wartości pozostałych funkcji tego samego kąta ostrego.

Zakres rozszerzony. Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:

      1.  stosuje miarę łukową, zamienia miarę łukową kąta na stopniową i odwrotnie;
      2.  wykorzystuje definicje i wyznacza wartości funkcji sinus, cosinus i tangens dowolnego kąta o mierze wyrażonej w stopniach lub radianach (przez sprowadzenie do przypadku kąta ostrego);
      3.  wykorzystuje okresowość funkcji trygonometrycznych;
      4.  posługuje się wykresami funkcji trygonometrycznych (np. gdy rozwiązuje nierówności typu sin space x greater than acos space x less or equal than atg space x greater than a );
      5.  stosuje wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów, sumę i różnicę sinusów i cosinusów kątów;
6.  rozwiązuje równania i nierówności trygonometryczne typu sin space 2 x equals 1 halfsin space 2 x plus cos space x space equals 1sin space x plus cos space x equals 1cos space 2 x less than 1 half .

       

VII.  Planimetria.

Zakres podstawowy. Uczeń:

      1.  stosuje zależności między kątem środkowym i kątem wpisanym;
      2.  korzysta z własności stycznej do okręgu i własności okręgów stycznych;
      3.  rozpoznaje trójkąty podobne i wykorzystuje (także w kontekstach praktycznych) cechy podobieństwa trójkątów;
      4.  korzysta z własności funkcji trygonometrycznych w łatwych obliczeniach geometrycznych, w tym ze wzoru na pole trójkąta ostrokątnego o danych dwóch bokach i kącie między nimi.

Zakres rozszerzony. Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:

      1.  stosuje twierdzenia charakteryzujące czworokąty wpisane w okrąg i czworokąty opisane na okręgu;
      2.  stosuje twierdzenie Talesa i twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa do obliczania długości odcinków i ustalania równoległości prostych;
      3.  znajduje obrazy niektórych figur geometrycznych w jednokładności (odcinka, trójkąta, czworokąta itp.);
      4.  rozpoznaje figury podobne i jednokładne; wykorzystuje (także w kontekstach praktycznych) ich własności;
      5.  znajduje związki miarowe w figurach płaskich z zastosowaniem twierdzenia sinusów i twierdzenia cosinusów.

       

VIII.  Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej.

Zakres podstawowy. Uczeń:

      1.  wyznacza równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty (w postaci kierunkowej lub ogólnej);
      2.  bada równoległość i prostopadłość prostych na podstawie ich równań kierunkowych;
      3.  wyznacza równanie prostej, która jest równoległa lub prostopadła do prostej danej w postaci kierunkowej i przechodzi przez dany punkt;
      4.  oblicza współrzędne punktu przecięcia dwóch prostych;
      5.  wyznacza współrzędne środka odcinka;
      6.  oblicza odległość dwóch punktów;
      7.  znajduje obrazy niektórych figur geometrycznych (punktu, prostej, odcinka, okręgu, trójkąta itp.) w symetrii osiowej względem osi układu współrzędnych i symetrii środkowej względem początku układu.

Zakres rozszerzony. Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:

      1.  interpretuje graficznie nierówność liniową z dwiema niewiadomymi oraz układy takich nierówności;
      2.  bada równoległość i prostopadłość prostych na podstawie ich równań ogólnych;
      3.  wyznacza równanie prostej, która jest równoległa lub prostopadła do prostej danej w postaci ogólnej i przechodzi przez dany punkt;
      4.  oblicza odległość punktu od prostej;
      5.  posługuje się równaniem okręgu open parentheses x minus a close parentheses squared plus open parentheses y minus b close parentheses squared equals r squared oraz opisuje koła za pomocą nierówności;
      6.  wyznacza punkty wspólne prostej i okręgu;
      7.  oblicza współrzędne oraz długość wektora; dodaje i odejmuje wektory oraz mnoży je przez liczbę. Interpretuje geometrycznie działania na wektorach;
      8.  stosuje wektory do opisu przesunięcia wykresu funkcji.

       

IX.  Stereometria.

Zakres podstawowy. Uczeń:

      1.  rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi, itp.), oblicza miary tych kątów;
      2.  rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąt między odcinkami i płaszczyznami (między krawędziami i ścianami, przekątnymi i ścianami), oblicza miary tych kątów;
      3.  rozpoznaje w walcach i w stożkach kąt między odcinkami oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka, kąt między tworzącą a podstawą), oblicza miary tych kątów;
      4.  rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między ścianami;
      5.  określa, jaką figurą jest dany przekrój prostopadłościanu płaszczyzną;
      6.  stosuje trygonometrię do obliczeń długości odcinków, miar kątów, pól powierzchni i objętości;

Zakres rozszerzony. Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:

      1.  określa, jaką figurą jest dany przekrój sfery płaszczyzną;
      2.  określa, jaką figurą jest dany przekrój graniastosłupa lub ostrosłupa płaszczyzną.

 

X.  Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka.

Zakres podstawowy. Uczeń:

      1.  oblicza średnią ważoną i odchylenie standardowe zestawu danych (także w przypadku danych odpowiednio pogrupowanych), interpretuje te parametry dla danych empirycznych;
      2.  zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych, niewymagających użycia wzorów kombinatorycznych, stosuje regułę mnożenia i regułę dodawania;
      3.  oblicza prawdopodobieństwa w prostych sytuacjach, stosując klasyczną definicję prawdopodobieństwa.

Zakres rozszerzony. Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:

      1.  wykorzystuje wzory na liczbę permutacji, kombinacji, wariacji i wariacji z powtórzeniami do zliczania obiektów w bardziej złożonych sytuacjach kombinatorycznych;
      2.  oblicza prawdopodobieństwo warunkowe;
3.  korzysta z twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym.

 

XIII.  Rachunek różniczkowy.

Zakres rozszerzony. Uczeń:

      1.  oblicza granice funkcji (i granice jednostronne), korzystając z twierdzeń o działaniach na granicach i z własności funkcji ciągłych;
      2.  oblicza pochodne funkcji wymiernych;
      3.  korzysta z geometrycznej i fizycznej interpretacji pochodnej;
      4.  korzysta z własności pochodnej do wyznaczenia przedziałów monotoniczności funkcji;
      5.  znajduje ekstrema funkcji wielomianowych i wymiernych;
      6.  stosuje pochodne do rozwiązywania zagadnień optymalizacyjnych.

       


Źródło:

https://cke.gov.pl/images/_EGZAMIN_MATURALNY_OD_2015/Podstawa_programowa/Tom_6_Edukacja_matematyczna_i_techniczna.pdf , s.41-49

https://cke.gov.pl/images/_EGZAMIN_MATURALNY_OD_2015/Informatory/2023/Aneks_2023_2024_matematyka_EM_F15.pdf , s.6-10

Jedna z wielu opinii o naszych Kursach...

Śmieszne pieniądze za porządny kurs, a wielu wykładowców tłumaczy bez pasji i nawet na konsultacjach im się nie chce dodatkowo tłumaczyć, a tutaj mogę kilka razy tego samego słuchać jak potrzebuje.

Szukasz korepetycji z matematyki na poziomie studiów lub szkoły średniej? A może potrzebujesz kursu, który przygotuje Cię do matury?

Jesteśmy ekipą eTrapez. Uczymy matematyki w sposób jasny, prosty i bardzo dokładny - trafimy nawet do najbardziej opornego na wiedzę.

Stworzyliśmy tłumaczone zrozumiałym językiem Kursy video do pobrania na komputer, tablet czy telefon. Włączasz nagranie, oglądasz i słuchasz, jak na korepetycjach. O dowolnej porze dnia i nocy.

blog

Zmiany na maturze 2023 i 2024 w nowej formule. Matematyka – podstawa programowa.

Anna Zalewska

Absolwentka matematyki na Politechnice Śląskiej.
Korepetytor z 12-letnim doświadczeniem. Trener i wykładowca na Uniwersytecie Śląskim Maturzystów przy Uniwersytecie Śląskim w Katowicach. Certyfikowany nauczyciel MathRiders.
Mieszka w Chorzowie. Jest ratownikiem wodnym i członkiem Zarządu Oddziału Miejskiego WOPR. Lubi piec ciasta, ciasteczka, torty i przygotowywać różne słodkości.


W roku szkolnym 2022/23 oraz roku szkolnym 2023/24, podobnie jak w poprzednich latach, podstawa programowa obowiązująca na egzaminie maturalnym została pomniejszona o pewne treści. Z powodu pandemii koronawirusa COVID-19 oraz nietypowej sytuacji, jaką była nauka zdalna przez długi okres czasu, Ministerstwo Edukacji i Nauki wyszło na przeciw uczniom i dnia 10 czerwca 2022 r. wydało rozporządzenie dokonujące pewnych zmian w egzaminie oraz w wymogach programowych do tego egzaminu obowiązującego po reformie edukacji, a więc dla uczniów, którzy ukończyli 8-letnią szkołę podstawową oraz 4- lub 5-letnią szkołę średnią. Treść rozporządzenia można znaleźć TUTAJ.

Prezentację CKE na ten temat można znaleźć tutaj:

Egzamin maturalny w roku 2023 i 2024 – ZMIANY w formule 2015 i formule 2023

      

W przypadku egzaminu maturalnego 2023 oraz 2024 wszelkie materiały dostępne na stronach CKE należy analizować wraz z aneksami opisującymi zmiany zawarte w wyżej opisanym rozporządzeniu.

Aneks do egzaminu maturalnego z matematyki, poziom podstawowy.

Aneks do egzaminu maturalnego z matematyki, poziom rozszerzony. 

       

Poniżej prezentujemy podsumowanie najważniejszych zmian na poziomie podstawowym oraz poziomie rozszerzonym, a także pełną podstawę programową (obowiązującą ogólnie po reformie) z zaznaczonymi treściami, które zostały usunięte dla uczniów zdających egzamin maturalny po reformie w latach szkolnych 2022/23 oraz 2023/24.

       

NAJWAŻNIEJSZE ZMIANY na poziomie podstawowym (NOWA FORMUŁA 2023):

👉👉 Za rozwiązanie zadań można uzyskać maksymalnie 46 punktów, w tym: 29 pkt – zadania zamknięte; 17 pkt – zadania otwarte.

👉👉 Liczba zadań otwartych: 7-13

👉👉 Brak pewnych treści w podstawie programowej, w tym:
      👉  ograniczenie zakresu treści przy dowodach algebraicznych;
      👉  brak wzorów skróconego mnożenia z potęgą 3 oraz potęgą n;
      👉  brak znajdowania pierwiastków całkowitych wielomianu o współczynnikach całkowitych;
      👉  brak dzielenia wielomianu jednej zmiennej    przez dwumian postaci   ;
      👉  brak równań dwukwadratowych;
      👉  brak układów równań postaci    lub   ;
      👉  brak funkcji homograficznej postaci   ;
      👉  brak ciągów określonych rekurencyjnie;
      👉  brak znajdowania wartości funkcji trygonometrycznej dla zadanego kąta za pomocą tablic lub kalkulatora oraz znajdowania kąta, dla którego dana wartość jest osiągana za pomocą tablic lub kalkulatora;
      👉  brak twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa;
      👉  brak zadania z dowodem geometrycznym;
      👉  brak równania prostej w postaci ogólnej;
      👉  brak znajdowania punktów wspólnych prostej i okręgu oraz prostej i paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej;
      👉  brak posługiwania się pojęciem kąta dwuściennego między półpłaszczyznami;
      👉  brak rozpoznawania kątów między ścianami;
      👉  brak brył obrotowych;
      👉  brak określania, jaką figurą jest dany przekrój prostopadłościanu płaszczyzną;
      👉  brak posługiwania się skalą centylową;
      👉  brak wyznaczania wartości oczekiwanej.

      

NAJWAŻNIEJSZE ZMIANY na poziomie rozszerzonym (NOWA FORMUŁA 2023):

👉👉 Obowiązek przystąpienia do egzaminu z jednego przedmiotu na poziomie rozszerzonym; bez progu zaliczenia. Obowiązek uzyskania co najmniej 30% punktów z jednego z wybranych przedmiotów dodatkowych – od 2025 r.

👉👉 Zdający, którzy posiadają dyplom zawodowy albo dyplom potwierdzający kwalifikacje zawodowe, mogą „zastąpić” tym dyplomem obowiązek przystąpienia do egzaminu z jednego przedmiotu dodatkowego na poziomie rozszerzonym.

👉👉 Przeprowadzany na podstawie wymagań egzaminacyjnych, zawierających ograniczony zakres wymagań podstawy programowej.

👉👉 Część treści zostało przeniesionych z poziomu podstawowego na poziom rozszerzony:
      👉  trudniejsze własności przy dowodach algebraicznych;
      👉  dzielenie wielomianu jednej zmiennej    przez dwumian postaci   ;
      👉  wzory skróconego mnożenia z potęgą 3;
      👉  rozwiązywanie metodą podstawiania układy równań, z których jedno jest liniowe, a drugie kwadratowe, postaci    lub ;
      👉  twierdzenie sinusów wraz z jego zastosowaniem;
      👉  twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa;
      👉  dowody geometryczne;
      👉 równanie prostej w postaci ogólnej;
      👉 znajdowanie punktów wspólnych prostej i okręgu oraz prostej i paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej;
      👉 pojęcie kąta dwuściennego między półpłaszczyznami;
      👉 rozpoznawanie w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między ścianami, oblicza miary tych kątów;
      👉 określanie, jaką figurą jest dany przekrój prostopadłościanu płaszczyzną.

👉👉 Część treści zostało usuniętych z poziomu rozszerzonego:
      👉 brak podstawowych własności trójkąta Pascala oraz własności współczynnika dwumianowego (symbolu Newtona);
      👉 brak wzorów skróconego mnożenia z potęgą n;
      👉 brak złożenia funkcji;
      👉 brak dowodzenia monotoniczności funkcji zadanej wzorem;
      👉 brak twierdzenia o trzech ciągach;
👉 brak równania okręgu w postaci ogólnej;
      👉 brak znajdowania punktów wspólnych dwóch okręgów;
      👉 brak wykonywania działań na wektorach;
      👉 brak wzoru Bayesa;
      👉 brak własności Darboux;
      👉 brak definicji pochodnej i jej interpretacji.

       

Na czerwono wyszczególniono treści, które NIE obowiązują na danym poziomie na maturze w roku 2023 i roku 2024.

Na zielono wyszczególniono treści, które zostały PRZESUNIĘTE z poziomu podstawowego do poziomu rozszerzonego na maturze w roku 2023 i roku 2024.

       


Treści nauczania – wymagania szczegółowe

      

I.  Liczby rzeczywiste.

Zakres podstawowy. Uczeń:

      1.  wykonuje działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych;
      2.  przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia nie trudniejsze niż:
          a) dowód podzielności przez 24 iloczynu czterech kolejnych liczb naturalnych,
          b) dowód własności: jeśli liczba przy dzieleniu przez 5 daje resztę 3, to jej trzecia potęga przy dzieleniu przez 5 daje resztę 2;
      3.  stosuje własności pierwiastków dowolnego stopnia, w tym pierwiastków stopnia nieparzystego z liczb ujemnych;
      4.  stosuje związek pierwiastkowania z potęgowaniem oraz prawa działań na potęgach i pierwiastkach;
      5.  stosuje własności monotoniczności potęgowania, w szczególności własności: jeśli    oraz    , to  , zaś gdy     i     , to  ;
      6.  posługuje się pojęciem przedziału liczbowego, zaznacza przedziały na osi liczbowej;
      7.  stosuje interpretację geometryczną i algebraiczną wartości bezwzględnej, rozwiązuje równania i nierówności typu:  ;
      8.  wykorzystuje własności potęgowania i pierwiastkowania w sytuacjach praktycznych, w tym do obliczania procentów składanych z kapitalizacją roczną, zysków z lokat i kosztów kredytów;
      9.  stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem, posługuje się wzorami na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi.

Zakres rozszerzony. Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:

      1.  stosuje wzór na zamianę podstawy logarytmu;
      2.  przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt
z dzielenia nie trudniejsze niż dowód własności: jeśli liczba przy dzieleniu przez 5
daje resztę 3, to jej trzecia potęga przy dzieleniu przez 5 daje resztę 2. (przeniesione z poziomu podstawowego)

       

II.  Wyrażenia algebraiczne.

Zakres podstawowy. Uczeń:

      1.  stosuje wzory skróconego mnożenia na:  , , , , ,  ;
      2.  dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany jednej i wielu zmiennych;
      3.  wyłącza poza nawias jednomian z sumy algebraicznej;
      4.  rozkłada wielomiany na czynniki metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias oraz metodą grupowania wyrazów, w przypadkach nie trudniejszych niż rozkład wielomianu  ;
      5.  znajduje pierwiastki całkowite wielomianu o współczynnikach całkowitych;
      6.  dzieli wielomian jednej zmiennej    przez dwumian postaci   ;
      7.  mnoży i dzieli wyrażenia wymierne;
      8.  dodaje i odejmuje wyrażenia wymierne, w przypadkach nie trudniejszych niż:  ,   ,   .

Zakres rozszerzony. Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:

      1.  znajduje pierwiastki całkowite i wymierne wielomianu o współczynnikach całkowitych;
      2.  dzieli wielomian jednej zmiennej    przez dwumian postaci   ; (przeniesione z poziomu podstawowego)
      3.  stosuje podstawowe własności trójkąta Pascala oraz następujące własności współczynnika dwumianowego (symbolu Newtona):    ,   ,   ,  ;
      4.  korzysta ze wzorów na:  , (przeniesione z poziomu podstawowego) ,  .

       

III.  Równania i nierówności.

Zakres podstawowy. Uczeń:

      1.  przekształca równania i nierówności w sposób równoważny;
      2.  interpretuje równania i nierówności sprzeczne oraz tożsamościowe;
      3.  rozwiązuje nierówności liniowe z jedną niewiadomą;
      4.  rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe;
      5.  rozwiązuje równania wielomianowe, które dają się doprowadzić do równania kwadratowego, w szczególności równania dwukwadratowe;
      6.  rozwiązuje równania wielomianowe postaci    dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej lub takich, które dają się doprowadzić do postaci iloczynowej metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias lub metodą grupowania;
      7.  rozwiązuje równania wymierne postaci  , gdzie wielomiany    i    są zapisane w postaci iloczynowej.

Zakres rozszerzony. Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:

      1.  rozwiązuje nierówności wielomianowe typu:    dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej lub takich, które dają się doprowadzić do postaci iloczynowej metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias lub metodą grupowania;
      2.  rozwiązuje równania i nierówności wymierne nie trudniejsze niż   ;
      3.  stosuje wzory Viète’a dla równań kwadratowych;
      4.  rozwiązuje równania i nierówności z wartością bezwzględną, o stopniu trudności nie większym niż:   ;
      5.  analizuje równania i nierówności liniowe z parametrami oraz równania i nierówności kwadratowe z parametrami, w szczególności wyznacza liczbę rozwiązań w zależności od parametrów, podaje warunki, przy których rozwiązania mają żądaną własność, i wyznacza rozwiązania w zależności od parametrów.

       

IV.  Układy równań.

Zakres podstawowy. Uczeń:

      1.  rozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi, podaje interpretację geometryczną układów oznaczonych, nieoznaczonych i sprzecznych;
      2.  stosuje układy równań do rozwiązywania zadań tekstowych;
      3.  rozwiązuje metodą podstawiania układy równań, z których jedno jest liniowe, a drugie kwadratowe, postaci    lub   .

Zakres rozszerzony. Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:

      1.  rozwiązuje metodą podstawiania układy równań, z których jedno jest liniowe, a drugie kwadratowe, postaci    lub   ; (przeniesione z poziomu podstawowego)
      2.  rozwiązuje układy równań kwadratowych postaci   .

       

V.  Funkcje.

Zakres podstawowy. Uczeń:

      1.  określa funkcje jako jednoznaczne przyporządkowanie za pomocą opisu słownego, tabeli, wykresu, wzoru (także różnymi wzorami na różnych przedziałach);
      2.  oblicza wartość funkcji zadanej wzorem algebraicznym;
      3.  odczytuje i interpretuje wartości funkcji określonych za pomocą tabel, wykresów, wzorów itp., również w sytuacjach wielokrotnego użycia tego samego źródła informacji lub kilku źródeł jednocześnie;
      4.  odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe (nie mniejsze) lub mniejsze (nie większe) od danej liczby, największe i najmniejsze wartości funkcji (o ile istnieją) w danym przedziale domkniętym oraz argumenty, dla których wartości największe i najmniejsze są przez funkcję przyjmowane;
      5.  interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej;
      6.  wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o jej wykresie lub o jej własnościach;
      7.  szkicuje wykres funkcji kwadratowej zadanej wzorem;
      8.  interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej (jeśli istnieje);
      9.  wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jej wykresie;
      10.  wyznacza największą i najmniejszą wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym;
      11.  wykorzystuje własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp., także osadzonych w kontekście praktycznym;
      12.  na podstawie wykresu funkcji  y equals f open parentheses x close parentheses  szkicuje wykresy funkcji   ;
      13.  posługuje się funkcją   , w tym jej wykresem, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi, również w zastosowaniach praktycznych;
      14.  posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną, w tym ich wykresami, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi.

Zakres rozszerzony. Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:

      1.  na podstawie wykresu funkcji  y equals f open parentheses x close parentheses  rysuje wykres funkcji   ;
      2.  posługuje się złożeniami funkcji;
      3.  dowodzi monotoniczności funkcji zadanej wzorem, jak w przykładzie: wykaż, że funkcja    jest monotoniczna w przedziale   .

       

VI.  Ciągi.

Zakres podstawowy. Uczeń:

      1.  oblicza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym;
      2.  oblicza początkowe wyrazy ciągów określonych rekurencyjnie, jak w przykładach:
          a)   ,
          b)   .

      3.  w prostych przypadkach bada, czy ciąg jest rosnący, czy malejący;
      4.  sprawdza, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny;
      5.  stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego;
      6.  stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego;
      7.  wykorzystuje własności ciągów, w tym arytmetycznych i geometrycznych, do rozwiązywania zadań, również osadzonych w kontekście praktycznym.

Zakres rozszerzony. Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:

      1.  oblicza granice ciągów, korzystając z granic ciągów typu   oraz twierdzeń o granicach sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu ciągów zbieżnych, a także twierdzenia o trzech ciągach;
      2.  rozpoznaje zbieżne szeregi geometryczne i oblicza ich sumę.

       

VII.  Trygonometria.

Zakres podstawowy. Uczeń:

      1.  wykorzystuje definicje funkcji: sinus, cosinus i tangens dla kątów od 0° do 180° , w szczególności wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30°, 45°, 60°;
      2.  znajduje przybliżone wartości funkcji trygonometrycznych, korzystając z tablic lub kalkulatora;
      3.  znajduje za pomocą tablic lub kalkulatora przybliżoną wartość kąta, jeśli dana jest wartość funkcji trygonometrycznej;
      4.  korzysta z wzorów   ;
      5.  stosuje twierdzenia sinusów i cosinusów oraz wzór na pole trójkąta   ;
      6.  oblicza kąty trójkąta i długości jego boków przy odpowiednich danych (rozwiązuje trójkąty m.in. z wykorzystaniem twierdzenia cosinusów).

Zakres rozszerzony. Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:

      1.  stosuje miarę łukową, zamienia miarę łukową kąta na stopniową i odwrotnie;
      2.  posługuje się wykresami funkcji trygonometrycznych: sinus, cosinus, tangens;
      3.  wykorzystuje okresowość funkcji trygonometrycznych;
      4.  stosuje wzory redukcyjne dla funkcji trygonometrycznych;
      5.  korzysta z wzorów na sinus, cosinus i tangens sumy i różnicy kątów, a także na funkcje trygonometryczne kątów podwojonych;
      6.  rozwiązuje równania i nierówności trygonometryczne o stopniu trudności nie większym niż w przykładach:   .
      7.  stosuje twierdzenie sinusów; (przeniesione z poziomu podstawowego)
      8.  oblicza kąty trójkąta i długości jego boków przy odpowiednich danych (m.in. z wykorzystaniem twierdzenia sinusów). (przeniesione z poziomu podstawowego)

       

VIII.  Planimetria.

Zakres podstawowy. Uczeń:

      1.  wyznacza promienie i średnice okręgów, długości cięciw okręgów oraz odcinków stycznych, w tym z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa;
      2.  rozpoznaje trójkąty ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne przy danych długościach boków (m.in. stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i twierdzenie cosinusów); stosuje twierdzenie: w trójkącie naprzeciw większego kąta wewnętrznego leży dłuższy bok;
      3.  rozpoznaje wielokąty foremne i korzysta z ich podstawowych własności;
      4.  korzysta z własności kątów i przekątnych w prostokątach, równoległobokach, rombach i trapezach;
      5.  stosuje własności kątów wpisanych i środkowych;
      6.  stosuje wzory na pole wycinka koła i długość łuku okręgu;
      7.  stosuje twierdzenia: Talesa, odwrotne do twierdzenia Talesa, o dwusiecznej kąta oraz o kącie między styczną a cięciwą;
      8.  korzysta z cech podobieństwa trójkątów;
      9.  wykorzystuje zależności między obwodami oraz między polami figur podobnych;
      10.  wskazuje podstawowe punkty szczególne w trójkącie: środek okręgu wpisanego w trójkąt, środek okręgu opisanego na trójkącie, ortocentrum, środek ciężkości oraz korzysta z ich własności;
      11.  stosuje funkcje trygonometryczne do wyznaczania długości odcinków w figurach płaskich oraz obliczania pól figur;
      12.  przeprowadza dowody geometryczne.

Zakres rozszerzony. Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:

      1.  stosuje własności czworokątów wpisanych w okrąg i opisanych na okręgu.
      2.  stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa; (przeniesione z poziomu podstawowego)
      
3.  przeprowadza dowody geometryczne. (przeniesione z poziomu podstawowego)

       

IX.  Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej.

Zakres podstawowy. Uczeń:

      1.  rozpoznaje wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie na podstawie ich równań, w tym znajduje wspólny punkt dwóch prostych, jeśli taki istnieje;
      2.  posługuje się równaniami prostych na płaszczyźnie, w postaci kierunkowej i ogólnej, w tym wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach (takich jak na przykład przechodzenie przez dwa dane punkty, znany współczynnik kierunkowy, równoległość lub prostopadłość do innej prostej, styczność do okręgu);
      3.  oblicza odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych;
      4.  posługuje się równaniem okręgu   ;
      5.  oblicza odległość punktu od prostej;
      6.  znajduje punkty wspólne prostej i okręgu oraz prostej i paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej;
      7.  wyznacza obrazy okręgów i wielokątów w symetriach osiowych względem osi układu współrzędnych, symetrii środkowej (o środku w początku układu współrzędnych).

Zakres rozszerzony. Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:

      1.  posługuje się równaniem prostej w postaci ogólnej na płaszczyźnie, w tym wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach (takich jak na przykład przechodzenie przez dwa dane punkty, równoległość lub prostopadłość do innej prostej, styczność do okręgu); (przeniesione z poziomu podstawowego)
      2.  stosuje równanie okręgu w postaci ogólnej;
      3.  znajduje punkty wspólne dwóch okręgów;
      4.  zna pojęcie wektora i oblicza jego współrzędne oraz długość, dodaje wektory i mnoży wektor przez liczbę, oba te działania wykonuje zarówno analitycznie, jak i geometrycznie.
      5.  znajduje punkty wspólne prostej i okręgu oraz prostej i paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej. (przeniesione z poziomu podstawowego)

       

X.  Stereometria.

Zakres podstawowy. Uczeń:

      1.  rozpoznaje wzajemne położenie prostych w przestrzeni, w szczególności proste prostopadłe nieprzecinające się;
      2.  posługuje się pojęciem kąta między prostą a płaszczyzną oraz pojęciem kąta dwuściennego między półpłaszczyznami;
      3.  rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi) oraz kąty między ścianami, oblicza miary tych kątów;
      4.  rozpoznaje w walcach i w stożkach kąt między odcinkami oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka, kąt między tworzącą a podstawą), oblicza miary tych kątów;
      5.  określa, jaką figurą jest dany przekrój prostopadłościanu płaszczyzną;
      6.  oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka i kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii i poznanych twierdzeń;
      7.  wykorzystuje zależność między objętościami brył podobnych.

Zakres rozszerzony. Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:

      1.  zna i stosuje twierdzenie o prostej prostopadłej do płaszczyzny i o trzech prostopadłych;
      2.  posługuje się pojęciem kąta dwuściennego między półpłaszczyznami; (przeniesione z poziomu podstawowego)
      3.  rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między ścianami, oblicza miary tych kątów; (przeniesione z poziomu podstawowego)
      4.  określa, jaką figurą jest dany przekrój prostopadłościanu płaszczyzną; (przeniesione z poziomu podstawowego)
      5.  wyznacza przekroje sześcianu i ostrosłupów prawidłowych oraz oblicza ich pola, także z wykorzystaniem trygonometrii.

       

XI.  Kombinatoryka.

Zakres podstawowy. Uczeń:

      1.  zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych;
      2.  zlicza obiekty, stosując reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) dla dowolnej liczby czynności w sytuacjach nie trudniejszych niż:
          a) obliczenie, ile jest czterocyfrowych nieparzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 1 i dokładnie jedna cyfra 2,
          b) obliczenie, ile jest czterocyfrowych parzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 0 i dokładnie jedna cyfra 1.

Zakres rozszerzony. Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:

      1.  oblicza liczbę możliwych sytuacji, spełniających określone kryteria, z wykorzystaniem reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) oraz wzorów na liczbę: permutacji, kombinacji i wariacji, również w przypadkach wymagających rozważenia złożonego modelu zliczania elementów;
      2.  stosuje współczynnik dwumianowy (symbol Newtona) i jego własności przy rozwiązywaniu problemów kombinatorycznych.

       

XII.  Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka.

Zakres podstawowy. Uczeń:

      1.  oblicza prawdopodobieństwo w modelu klasycznym;
      2.  stosuje skalę centylową;
      3.  oblicza średnią arytmetyczną i średnią ważoną, znajduje medianę i dominantę;
      4.  oblicza odchylenie standardowe zestawu danych (także w przypadku danych odpowiednio pogrupowanych), interpretuje ten parametr dla danych empirycznych;
      5.  oblicza wartość oczekiwaną, np. przy ustalaniu wysokości wygranej w prostych grach losowych i loteriach.

Zakres rozszerzony. Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:

      1.  oblicza prawdopodobieństwo warunkowe i stosuje wzór Bayesa, stosuje twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym;
      2.  stosuje schemat Bernoulliego.

       

XIII.  Optymalizacja i rachunek różniczkowy.

Zakres podstawowy. Uczeń:

      1.  rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.

Zakres rozszerzony. Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:

      1.  oblicza granice funkcji (w tym jednostronne);
      2.  stosuje własność Darboux do uzasadniania istnienia miejsca zerowego funkcji i znajdowania przybliżonej wartości miejsca zerowego;
      3.  stosuje definicję pochodnej funkcji, podaje interpretację geometryczną i fizyczną pochodnej;
      4.  oblicza pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym oraz oblicza pochodną, korzystając z twierdzeń o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu i funkcji złożonej;
      5.  stosuje pochodną do badania monotoniczności funkcji;
      6.  rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej.

       


       

Źródło:

https://cke.gov.pl/images/_EGZAMIN_MATURALNY_OD_2023/podstawa_programowa/Wymagania_egzaminacyjne_2023_2024.pdf

Jedna z wielu opinii o naszych Kursach...

Wszystkie poruszone zagadnienia zostały BARDZO przejrzyście wytłumaczone. Myślę, że dla znacznej większości studentów kurs powinien być wystarczający. (Dla tych, dla których te 7 lekcji nie wyczerpie tematu, na pewno kurs będzie dobrą bazą do dalszej nauki). Polecam!

Wojciech Trojak

Szukasz korepetycji z matematyki na poziomie studiów lub szkoły średniej? A może potrzebujesz kursu, który przygotuje Cię do matury?

Jesteśmy ekipą eTrapez. Uczymy matematyki w sposób jasny, prosty i bardzo dokładny - trafimy nawet do najbardziej opornego na wiedzę.

Stworzyliśmy tłumaczone zrozumiałym językiem Kursy video do pobrania na komputer, tablet czy telefon. Włączasz nagranie, oglądasz i słuchasz, jak na korepetycjach. O dowolnej porze dnia i nocy.

blog

Matura próbna CKE wrzesień 2022. Test diagnostyczny z poziomu podstawowego. Matematyka. Nowa formuła 2023.

Anna Zalewska

Absolwentka matematyki na Politechnice Śląskiej.
Korepetytor z 12-letnim doświadczeniem. Trener i wykładowca na Uniwersytecie Śląskim Maturzystów przy Uniwersytecie Śląskim w Katowicach. Certyfikowany nauczyciel MathRiders.
Mieszka w Chorzowie. Jest ratownikiem wodnym i członkiem Zarządu Oddziału Miejskiego WOPR. Lubi piec ciasta, ciasteczka, torty i przygotowywać różne słodkości.


Pod koniec września CKE przygotowało tegorocznym maturzystom testy diagnostyczne ze zdawanych na maturze przedmiotów obowiązkowych. Pojawił się również arkusz podstawowy z matematyki.

Jak wyglądała ta próbna matura? Zapraszam do obejrzenia pełnych rozwiązań. Zajrzyjcie koniecznie na koniec tego wpisu. Znajdziecie tam wszystkie odpowiedzi w formie graficznej. 🙂

Co się zmieniło w porównaniu ze “starymi” maturami? Oprócz zmian w postawie programowej pojawiły się nowe typy zadań. Nie ma tylko zadań zamkniętych a, b, c, d i zadań otwartych. Pojawiły się zadania “zamknięte” typu prawda/fałsz, zadania z wyborem dwóch odpowiedzi (a nie tylko jednej), zadania z wyborem odpowiedzi i jej uzasadnienia, oraz tzw. wiązka zadań, czyli kilka poleceń do jednego zadania, zarówno otwartych jak i zamkniętych. Tych było wyjątkowo dużo na tej maturze.

Do zdobycia było 46 punktów.

Zapraszam oczywiście do rozwiązań wcześniejszych matur, z CKE (majowych, dodatkowych z czerwca oraz poprawkowych), a także matur próbnych z Operonu i Nowej Ery. Są świetną formą nauki także dla osób zdających nową formułę. Znajdziecie je wszystkie na naszym kanale na YouTube.

SPIS TREŚCI:
0:00 – Wstęp
4:31 – Zadanie 1 zamknięte – 1p (potęgi: potęga ujemna)
7:28 – Zadanie 2 zamknięte – 1p (logarytmy: odejmowanie dwóch logarytmów)
11:20 – Zadanie 3 zamknięte – 1p (kombinatoryka: ile jest liczb czterocyfrowych nieparzystych podzielnych przez 25)
13:49 – Zadanie 4 zamknięte – 1p (wyrażenie wymierne, sprowadzenie do jednego ułamka)
16:32 – Zadanie 5 zamknięte – 2p (wzory skróconego mnożenia)
21:54 – Zadanie 6 otwarte – 3p (równanie stopnia trzeciego)
25:17 – Zadanie 7 zamknięte – 1p (równanie wymierne, pierwiastki, dziedzina ułamka)
29:07 – Zadanie 8 zamknięte – 1p (nierówność z wartością bezwzględną, oś liczbowa)
33:58 – Zadanie 9 zamknięte – 1p (zadanie z treścią, układ równań)
37:18 – Zadanie 10 wiązka zadań – 1+1+1p (funkcja: zbiór wartości, wartości ujemne, miejsca zerowe)
45:58 – Zadanie 11 zamknięte – 1p (równanie okręgu, długość odcinka)
49:52 – Zadanie 12 wiązka zadań – 1+2p (funkcja liniowa: głębokość basenu, wartość w punkcie, wzór funkcji)
58:07 – Zadanie 13 wiązka zadań – 1+1p (funkcja kwadratowa: współrzędne wierzchołka, zbiór wartości)
1:01:59 – Zadanie 14 wiązka zadań – 1+1p (ciąg geometryczny: wyraz a50, suma trzech wyrazów)
1:08:46 – Zadanie 15 zamknięte – 1p (funkcja liniowa: punkt należy do prostej, współrzędna b)
1:10:01 – Zadanie 16 wiązka zadań – 1+1+1p (ciąg arytmetyczny: monotoniczność, wyraz większy od 25, suma)
1:24:17 – Zadanie 17 zamknięte – 1p (wzajemne położenie prostych, proste prostopadłe)
1:29:05 – Zadanie 18 zamknięte – 1p (trygonometria: wartość wyrażenia, jedynka trygonometryczna)
1:31:33 – Zadanie 19 zamknięte – 1p (prawdopodobieństwo: losowanie kul)
1:33:35 – Zadanie 20 zamknięte – 1p (kąty w okręgu: kąt wpisany i środkowy, kąty w trójkącie równoramiennym)
1:36:23 – Zadanie 21 otwarte – 2p (twierdzenie cosinusów)
1:39:23 – Zadanie 22 zamknięte – 1p (twierdzenie o dwusiecznej kąta)
1:42:28 – Zadanie 23 otwarte – 4p (optymalizacja: funkcja kwadratowa, produkcja wiatraków, koszt, przychód, zysk największy)
1:46:58 – Zadanie 24 wiązka zadań – 1+1+1p (średnia arytmetyczna, mediana, procenty)
1:56:07 – Zadanie 25 otwarte – 3p (ostrosłup prawidłowy trójkątny: podane krawędzie, wysokość)
2:01:01 – Zadanie 26 otwarte – 2p (dowód algebraiczny: wykaż, że wyrażenie jest podzielne przez 5 z resztą 3)
2:03:33 – Uwagi końcowe


Kurs MATURA PODSTAWOWA stanowi kompleksowe przygotowanie do matury podstawowej zarówno w “starej” formule 2015, jak i “nowej” formule 2023.

Sprawdź:
►Formuła 2023 oraz 2015: Kurs Matura Podstawowa

Ten Kurs Maturalny to taka solidna powtórka przed maturą. Każda lekcja to nagranie z 40 zadaniami z danego działu. Zadania te są ułożone zgodnie ze schematami pojawiającymi się w arkuszach, więc sumienne przerobienie kursu na pewno pomoże lepiej poczuć się w temacie i oswoi z typowymi zadaniami.

Do każdej lekcji dołączony jest plik z zadaniami domowymi, więc z każdego działu mamy 40 zadań na nagraniu + 40 analogicznych do samodzielnego przerobienia.

Na nagraniu wszystko tłumaczone jest od podstaw, tak żeby zrozumieć, zobaczyć różne przykłady. Do tego często mówię o tym, jak sobie pomóc, jeśli jednak zadanko nie podeszło i trzeba trochę pokombinować, użyć jakichś trików i własności, żeby nawet bez obliczeń zaznaczyć w zadaniu zamkniętym prawidłową odpowiedź.

Wszystkie nagrania z poziomu podstawowego w formule 2015 mają łącznie blisko 42h, w formule 2023 mają ponad 44h.  Kurs jest więc pełen wiedzy, która na maturze się przyda albo wręcz jest niezbędna. Na pewno dużo pomoże w przygotowaniach do matury. 🙂

Zachęcamy do zajrzenia na nasz kanał i do playlisty z omówionymi Arkuszami maturalnymi (CKE, Operon, Nowa Era).


Kurs MATURA ROZSZERZONA stanowi kompleksowe przygotowanie do matury rozszerzonej zarówno w “starej” formule 2015, jak i “nowej” formule 2023.

Sprawdź:
►Formuła 2023 oraz 2015: Kurs Matura Rozszerzona


Kursem, który tłumaczy wszystko „co i jak”, czyli tak podręcznikowo, od deski do deski, jest KURS FUNKCJE Szkoła Średnia oraz KURS PLANIMETRIA. Planujemy w przyszłości takie podręcznikowe Kursy zrobić z wszystkich działów.

Kurs Funkcje omawia dokładnie wszystkie zagadnienia podstawowe funkcji (m.in. dziedzina, zbiór wartości, miejsca zerowe itp.), przesunięcia funkcji, funkcja liniowa, funkcja kwadratowa, wykładnicza, logarytmiczna oraz wymierna.

► Kurs Funkcje Szkoła Średnia (poziom podstawowy i rozszerzony, wszystkie tematy kompleksowo omówione).

Zapraszamy także do drugiego tematycznego Kursu Planimetria – omawiającego WSZYSTKIE zagadnienia na poziomie podstawowym jak i rozszerzonym. Przedstawione są tutaj szczegółowo: pojęcia wstępne, wektory, trójkąty, czworokąty, wielokąty, koła i okręgi oraz zadania z dowodami w planimetrii.

► Kurs Planimetria: Wprowadzenie, Trójkąty i Czworokąty

► Kurs Planimetria: Wielokąty, Okręgi i Dowody

 


Zapraszam również do obejrzenia rozwiązań w formie graficznej:

Jedna z wielu opinii o naszych Kursach...

Nigdy nie spotkałem się z tak łopatologicznym (i skutecznym) tłumaczeniem Królowy Nauk. Nie jeden z moich towarzyszy niedoli na polibudzie chwalił te kursy (każdy, który z nich skorzystał). Nie jeden uważa, że za ects powinno się Panu Krystianowi postawić pomnik na kampusie. Kursy ogląda się z wielką przyjemnością gdyż po kilku porażkach nauki z pomocą dydaktyczną z ćwiczeń i wykładów człowiek tracił wiarę w siebie. Jednak po każdej minucie z e-trapezem odzyskuje się wiarę w siebie gdyż wszystko staje się jasne. Polecam!

Szukasz korepetycji z matematyki na poziomie studiów lub szkoły średniej? A może potrzebujesz kursu, który przygotuje Cię do matury?

Jesteśmy ekipą eTrapez. Uczymy matematyki w sposób jasny, prosty i bardzo dokładny - trafimy nawet do najbardziej opornego na wiedzę.

Stworzyliśmy tłumaczone zrozumiałym językiem Kursy video do pobrania na komputer, tablet czy telefon. Włączasz nagranie, oglądasz i słuchasz, jak na korepetycjach. O dowolnej porze dnia i nocy.

blog

Matura 2023 ARKUSZ POKAZOWY marzec 2022 (poziom podstawowy). CKE matematyka – nowa formuła

Anna Zalewska

Absolwentka matematyki na Politechnice Śląskiej.
Korepetytor z 12-letnim doświadczeniem. Trener i wykładowca na Uniwersytecie Śląskim Maturzystów przy Uniwersytecie Śląskim w Katowicach. Certyfikowany nauczyciel MathRiders.
Mieszka w Chorzowie. Jest ratownikiem wodnym i członkiem Zarządu Oddziału Miejskiego WOPR. Lubi piec ciasta, ciasteczka, torty i przygotowywać różne słodkości.


W tym roku szkolnym absolwenci liceum podejdą po raz pierwszy do matury w nowej formule 2023 (uczniowie kończący technikum podchodzą po raz ostatni jeszcze do “starej” formuły).

Centralna Komisja Egzaminacyjna przygotowała w marcu 2022 roku przykładowe arkusze maturalne, zarówno na poziomie podstawowym, jak i rozszerzonym.

Poniżej znajdziesz omówione zadania krok po kroku z arkusza PODSTAWOWEGO. Zapraszam również do obejrzenia rozwiązań w formie graficznej, zamieszczonej na końcu wpisu. 🙂

Co się zmieniło w porównaniu z poprzednimi maturami? Oprócz zmian w postawie programowej pojawiły się nowe typy zadań. Nie ma tylko zadań zamkniętych a, b, c, d i zadań otwartych. Pojawiły się zadania “zamknięte” typu prawda/fałsz, zadania z wyborem dwóch odpowiedzi (a nie tylko jednej), zadania z wyborem odpowiedzi i jej uzasadnienia, oraz tzw. wiązka zadań, czyli kilka poleceń do jednego zadania, zarówno otwartych jak i zamkniętych.

Zapraszam oczywiście do rozwiązań wcześniejszych matur, z CKE (majowych, dodatkowych z czerwca oraz poprawkowych), a także matur próbnych z Operonu i Nowej Ery. Są świetną formą nauki także dla osób zdających nową formułę. Znajdziecie je wszystkie na naszym kanale na YouTube.

SPIS TREŚCI:

0:00 – Wstęp
7:09 – Zadanie 1 zamknięte – 1p (potęgi: działania na potęgach)
9:38 – Zadanie 2 zamknięte – 1p (logarytmy: odejmowanie dwóch logarytmów)
13:17 – Zadanie 3 zamknięte – 1p (kombinatoryka: ile jest liczb trzycyfrowych bez cyfry 2)
15:03 – Zadanie 4 zamknięte – 1p (wzory skróconego mnożenia)
18:46 – Zadanie 5 zamknięte – 2p (kąty przyległe i wierzchołkowe, układ równań)
26:12 – Zadanie 6 zamknięte – 1p (wielomiany: pierwiastek wielomianu)
27:49 – Zadanie 7 zamknięte – 1p (równanie wymierne, pierwiastki, dziedzina ułamka)
33:31 – Zadanie 8 zamknięte – 1p (nierówność z wartością bezwzględną, oś liczbowa)
38:52 – Zadanie 9 otwarte – 2p (dowód algebraiczny: wykaż, że wyrażenie jest podzielne przez 8)
45:45 – Zadanie 10 wiązka zadań – 1+1+3p (funkcja kwadratowa: przesunięcie wykresu, nierówność kwadratowa, wzór w postaci kanonicznej)
55:26 – Zadanie 11 zamknięte – 1p (funkcja liniowa: znaki współczynników)
57:36 – Zadanie 12 zamknięte – 1p (funkcja: wzór funkcji z opisu słownego)
1:02:31 – Zadanie 13 wiązka zadań – 1+3p (funkcja wykładnicza: zadanie z treścią, wykres, suma ciągu geometrycznego)
1:18:25 – Zadanie 14 zamknięte – 1p (lokata w banku, procent składany)
1:21:04 – Zadanie 15 prawda/fałsz – 1p (ciąg arytmetyczny, trzy pierwsze wyrazy)
1:24:57 – Zadanie 16 prawda/fałsz – 1p (twierdzenie cosinusów)
1:31:22 – Zadanie 17 zamknięte – 1p (równanie okręgu)
1:33:04 – Zadanie 18 otwarte – 1p (trójkąty podobne, długość boku)
1:36:59 – Zadanie 19 zamknięte – 2p (proste równoległe, proste prostopadłe)
1:40:00 – Zadanie 20 zamknięte – 1p (długość odcinka: kwadrat, dwa przeciwległe wierzchołki, długość przekątnej)
1:43:16 – Zadanie 21 zamknięte – 1p (kąty w okręgu: kąt między średnicą a cięciwą, kąty w trójkącie prostokątnym)
1:47:35 – Zadanie 22 zamknięte – 1p (trygonometria: tangens kąta, podane wyrażenie, jedynka trygonometryczna)
1:49:33 – Zadanie 23 z uzasadnieniem – 1p (trójkąty podobne, skala podobieństwa)
1:52:56 – Zadanie 24 zamknięte – 1p (katy w okręgu: twierdzenie o odcinkach stycznych, styczna)
1:55:38 – Zadanie 25 zamknięte – 1p (graniastosłup: podana powierzchnia boczna, długość krawędzi podstawy)
1:58:24 – Zadanie 26 zamknięte – 1p (ostrosłupy podobne, skala podobieństwa, objętość)
2:01:48 – Zadanie 27 zamknięte – 1p (graniastosłup: kąt między przekątną ściany bocznej a ścianą boczną)
2:07:34 – Zadanie 28 otwarte – 3p (prawdopodobieństwo: losowanie liczby czterocyfrowej, suma cyfr równa trzy)
2:12:55 – Zadanie 29 otwarte – 4p (optymalizacja: funkcja kwadratowa, równoległobok, bok x, podany obwód i kąt ostry, dziedzina i pole)
2:21:59 – Zadanie 30 wiązka zadań – 1+1p (mediana, dominanta)
2:27:57 – Uwagi końcowe


Kurs MATURA PODSTAWOWA stanowi kompleksowe przygotowanie do matury podstawowej zarówno w “starej” formule 2015, jak i “nowej” formule 2023.

Sprawdź:
►Formuła 2023 oraz 2015: Kurs Matura Podstawowa

Ten Kurs Maturalny to taka solidna powtórka przed maturą. Każda lekcja to nagranie z 40 zadaniami z danego działu. Zadania te są ułożone zgodnie ze schematami pojawiającymi się w arkuszach, więc sumienne przerobienie kursu na pewno pomoże lepiej poczuć się w temacie i oswoi z typowymi zadaniami.

Do każdej lekcji dołączony jest plik z zadaniami domowymi, więc z każdego działu mamy 40 zadań na nagraniu + 40 analogicznych do samodzielnego przerobienia.

Na nagraniu wszystko tłumaczone jest od podstaw, tak żeby zrozumieć, zobaczyć różne przykłady. Do tego często mówię o tym, jak sobie pomóc, jeśli jednak zadanko nie podeszło i trzeba trochę pokombinować, użyć jakichś trików i własności, żeby nawet bez obliczeń zaznaczyć w zadaniu zamkniętym prawidłową odpowiedź.

Wszystkie nagrania z poziomu podstawowego w formule 2015 mają łącznie blisko 42h, w formule 2023 mają ponad 44h.  Kurs jest więc pełen wiedzy, która na maturze się przyda albo wręcz jest niezbędna. Na pewno dużo pomoże w przygotowaniach do matury. 🙂

Zachęcamy do zajrzenia na nasz kanał i do playlisty z omówionymi Arkuszami maturalnymi (CKE, Operon, Nowa Era).


Kurs MATURA ROZSZERZONA stanowi kompleksowe przygotowanie do matury rozszerzonej zarówno w “starej” formule 2015, jak i “nowej” formule 2023.

Sprawdź:
►Formuła 2023 oraz 2015: Kurs Matura Rozszerzona


Kursem, który tłumaczy wszystko „co i jak”, czyli tak podręcznikowo, od deski do deski, jest KURS FUNKCJE Szkoła Średnia oraz KURS PLANIMETRIA. Planujemy w przyszłości takie podręcznikowe Kursy zrobić z wszystkich działów.

Kurs Funkcje omawia dokładnie wszystkie zagadnienia podstawowe funkcji (m.in. dziedzina, zbiór wartości, miejsca zerowe itp.), przesunięcia funkcji, funkcja liniowa, funkcja kwadratowa, wykładnicza, logarytmiczna oraz wymierna.

► Kurs Funkcje Szkoła Średnia (poziom podstawowy i rozszerzony, wszystkie tematy kompleksowo omówione).

Zapraszamy także do drugiego tematycznego Kursu Planimetria – omawiającego WSZYSTKIE zagadnienia na poziomie podstawowym jak i rozszerzonym. Przedstawione są tutaj szczegółowo: pojęcia wstępne, wektory, trójkąty, czworokąty, wielokąty, koła i okręgi oraz zadania z dowodami w planimetrii.

► Kurs Planimetria: Wprowadzenie, Trójkąty i Czworokąty

► Kurs Planimetria: Wielokąty, Okręgi i Dowody

 


Zapraszam również do obejrzenia rozwiązań w formie graficznej:

Jedna z wielu opinii o naszych Kursach...

Świetny kurs, zagadnienia wytłumaczone w bardzo przystępny sposób. Niech o jego jakości świadczy fakt, że po jednorazowym wysłuchaniu i zrobieniu wszystkich zadań zdałam statystykę, z której miałam już dwa razy warunek.

Ewelina

Szukasz korepetycji z matematyki na poziomie studiów lub szkoły średniej? A może potrzebujesz kursu, który przygotuje Cię do matury?

Jesteśmy ekipą eTrapez. Uczymy matematyki w sposób jasny, prosty i bardzo dokładny - trafimy nawet do najbardziej opornego na wiedzę.

Stworzyliśmy tłumaczone zrozumiałym językiem Kursy video do pobrania na komputer, tablet czy telefon. Włączasz nagranie, oglądasz i słuchasz, jak na korepetycjach. O dowolnej porze dnia i nocy.