Wykazywanie, że sinx nie osiąga granicy przy x dążącym do nieskończoności
Krystian Karczyński
Założyciel i szef serwisu eTrapez.
Magister matematyki Politechniki Poznańskiej. Korepetytor matematyki z wieloletnim stażem. Twórca pierwszych Kursów eTrapez, które zdobyły ogromną popularność wśród studentów w całej Polsce.
Mieszka w Szczecinie. Lubi spacery po lesie, plażowanie i kajaki.
Mamy granicę funkcji:
Intuicyjnie czujemy, że powyższa granica nie istnieje. x-sy są coraz większe i większe, a wartości sinusa “majtają się” cały czas pomiędzy -1 a 1.
Formalny dowód
Jak jednak formalnie to wykazać i udowodnić?
Z definicji granicy funkcji przy x dążącym do nieskończoności wiemy, że granica istnieje, jeśli dla każdego ciągu argumentów funkcji rozbiegającego w
Żeby pokazać więc, że taka granica nie istnieje wystarczy wziąć dwa byle jakie ciągi argumentów rozbiegające w
Wiemy, że funkcja sinus jest okresowa, mogą to być więc na przykład ciągi:
Oczywiście oba ciągi rozbiegają w nieskończoność przy
Teraz spójrzmy na odpowiadające tym ciągom ciągi wartości funkcji
Oczywiście pierwszy ten ciąg zbiega do 0, a drugi ciąg zbiega do 1.
To wystarczy, żeby udowodnić, że granica funkcji:
nie istnieje.
Szukasz korepetycji z matematyki na poziomie studiów lub szkoły średniej? A może potrzebujesz kursu, który przygotuje Cię do matury?
Jesteśmy ekipą eTrapez. Uczymy matematyki w sposób jasny, prosty i bardzo dokładny - trafimy nawet do najbardziej opornego na wiedzę.
Stworzyliśmy tłumaczone zrozumiałym językiem Kursy video do pobrania na komputer, tablet czy telefon. Włączasz nagranie, oglądasz i słuchasz, jak na korepetycjach. O dowolnej porze dnia i nocy.
Jedno trzeba przyznać, jakby takich ćwiczeniowców i wykładowców jak p. Karczyńskiego miała każda uczelnia, to Polska byłaby u szczytu rozwoju cywilizacji. Niestety realia takie że jedyne co podszkoliłem do tej pory na matmie to kaligrafie.. Polecam gorąco i dziękuję że poświęcił Pan czas dla takich jak my !! : D
czy ktos pomoze zbadac zbieznosc calki okreslonej na przedziale od zera do nieskonczonosci i funkcji podcalkowej xsinxdx
Jak należało by to zrobić dla sinx^3?
Napisałam pi/2 dlatego, że stwierdziłam że nie moge zastosować wzoru na limn->- sinx/x =1
dlatego że w tym wzorrze lim dąży do 0 a w rozwiązywanym preze mnie przykładzie lim n dąży do nieskończoności.
Wobec tego zrobiłam małą szaloną twórczość 😀 i sinx/sinx razy sin , potem poskracałam wyszło mi sin 1 a z tabelki finkcji trygonometrycznych napisałam że sin1 =pi/2
Miałam ten przykład dzisiaj na kolosie i mam szczere wątpliwości czy nie napisałam głupot :/
Proszę mi pomóc – jaka miało być prawidłowe rozwiazanie?
Witam, prawidłowe rozwiązanie to 0🙂
Oczywiście, nie można zastosować wzoru \underset{x\to 0}{\mathop{lim }}\frac{sin x}{x}=1, bo x nie dąży do zera.
To trzeba ruszyć twierdzeniem o trzech funkcjach, które omawiam w tym poście . To jest taki jakby odpowiednik twierdzenia o trzech ciągach.
sinx jest zawsze mniejsze lub równe od 1 i większe lub równe od -1, zatem na pewno:
\frac{-1}{x}\le \frac{sin x}{x}\le \frac{1}{x}
Teraz liczę granice z funkcji ograniczających z dołu i z góry i pokazuję, że są równe sobie:
\underset{x\to \infty }{\mathop{lim }}\frac{1}{x}=0
\underset{x\to \infty }{\mathop{lim }}\frac{-1}{x}=0
Zatem, na mocy twierdzenia o trzech funkcjach, wynika stąd, że: \underset{x\to \infty }{\mathop{lim }}\frac{sin x}{x}=0
No zajebiście wytłumaczone tutaj, tak samo zrobiłem te zadanie ;P
A w takim razie mam pytanie. Jeśli mam
lim n-> nieskończoności z sinx/x to jaki będzie wynik tej granicy? Mnie wysżło pi/2 ale mam wątpliwości czy to tak ma być ….
Nie ‘wziąść’ tylko ‘wziąć’, jako humanista czuje się zobowiązany zwrócić Panu uwagę.
Dziękuję. Humanistyczny głos jest bardzo potrzebny na tym blogu 🙂