Rząd macierzy szacowany „na oko”

Krystian Karczyński

Założyciel i szef serwisu eTrapez.

Magister matematyki Politechniki Poznańskiej. Korepetytor matematyki z wieloletnim stażem. Twórca pierwszych Kursów eTrapez, które zdobyły ogromną popularność wśród studentów w całej Polsce.

Mieszka w Szczecinie. Lubi spacery po lesie, plażowanie i kajaki.

Definicja rzędu macierzy i co z niej wynika

Załóżmy, że zdefiniowaliśmy rząd macierzy jako: “liczba liniowo niezależnych wierszy i kolumn w macierzy”. Jakie już “na starcie” właściwości rzędów wynikają z tej definicji?

Po pierwsze, oczywiste jest, że rząd macierzy może być równy: 1, albo 4, albo czasami 0. Ale na pewno nie wyjdzie równy: -4, czy .

No dobra, to wszystko, co z niej wynika?

Ale czy to wszystko, co można wycisnąć? Weźmy na przykład macierz:

Ta macierz ma 3 wiersze i 6 kolumn.

Zadajmy sobie pytanie, jaki może być rząd tej macierzy? Czy może nam wyjść równy 7? Chyba jest jasne, że nie, bo skoro rząd macierzy to “liczba liniowo niezależnych wierszy i kolumn”, nie możę w tym przypadku być równy 7, bo ta macierz nie ma w ogóle ani tyle wierszy, ani tyle kolumn!

A teraz trudniejsze pytanie… Czy rząd może być równy 6? Macierz ma przecież 6 kolumn…

Odpowiedź brzmi: nie. 6 musiało by być “liczbą liniowo niezależnych wierszy i kolumn”.  6 może być liczbą liniowo niezależnych kolumn (bo ich jest 6), ale nie może być liczbą liniowo niezależnych wierszy (bo jest ich tylko 3). A powinno być liczbą liniowo niezależnych “wierszy i kolumn”.

Oczywiste jest więc, że rząd tej macierzy może wyjść maksymalnie 3.

Dochodzimy tu do pożytecznej własności:

Patrząc więc na macierz, od razu można powiedzieć, ile wyniesie jej rząd maksymalnie – co czasami bywa bardzo użyteczne.

Aby policzyć go dokładniej, potrzebujesz już jednak zastosować odpowiednie metody – pokazuję je w moim Kursie poświęconym macierzy na Lekcji 5, zapraszam!