Wzory na prawdopodobieństwo
W tym pliku PDF znajdziesz wszystkie potrzebne Ci na studiach wzory do prawdopodobieństwa, gotowe do wydrukowania:
Wzory na prawdopodobieństwo (PDF)
Tablice rozkładu normalnego (PDF)
Dalej poście chciałbym zająć się wyprowadzeniem podstawowych własności i wzorów na prawdopodobieństwo:
Własności prawdopodobieństwa
- P(A) \in <0,1>
- P(\varnothing)=0
- A \subseteq B \Rightarrow P\left(A\right)\le P\left(B\right)
- P\left( A' \right)=1-P\left( A \right)
- A \subseteq B \Rightarrow P\left(B \backslash A \right)=P\left( B \right)-P\left( A \right)
- P\left( A \cup B \right)=P\left( A \right)+P\left( B \right)-P\left( A \cap B \right)
Te własności i wzory wynikają z definicji (zerknij na nią koniecznie, zanim ruszysz dalej), ale nie są w niej podane bezpośrednio. Profesorzy na egzaminach z teorii lubią zadawać zadania na „wyprowadzenie” ich.
Własności prawdopodobieństwa
I. P(A) \in <0,1>
Faktycznie, w definicji prawdopodobieństwa nigdzie nie jest napisane, że musi ono przyjmować wartości mniejsze od 1. Może więc jakoś może przyjąć wartość np. 7 ?
Ano nie może. Jest to jednak dopiero wniosek z definicji. A tutaj krok po kroku, dlaczego nie może:
1. Należy pokazać, że wartości funkcji są większe lub równe od zera i jednocześnie mniejsze lub równe od jeden, czyli:
P\left( A \right)\ge 0 i P\left( A \right)\le 1
2. To, że P\left( A \right)\ge 0 wynika od razu z Aksjomatu 1.
3. Trzeba tylko wykazać, że z aksjomatów wynika, że P\left( A \right)\le 1.
Wiemy, że:
\Omega =A\cup {A}'…czyli, że cały zbiór zdarzeń elementarnych to suma dowolnego zbioru A i jego dopełnienia. Czyli każde zdarzenie elementarne albo należy do A, albo nie należy do A (czyli należy do dopełniania A). Zatem:
P(Ω) =P\left( A\cup {A}' \right)
4. Z Aksjomatu 2 wiem, że P(Ω)=1. Zdarzenia A i A’ są rozłączne (nie mają wspólnych elementów), czyli z Aksjomatu 3 wiem, że P\left( A\cup {A}' \right)=P\left( A \right)+P\left( {{A}'} \right).
Mogę zapisać więc:
1=P\left( A \right)+P\left( {{A}'} \right)
5. Przekształcając mam:
A z tego wniosek, że P\left( A \right) jest zawsze mniejsze lub równe od 1, bo P\left( {{A}'} \right) jest zawsze większe lub równe od 0 (z Aksjomatu 1, który oczywiście dotyczy prawdopodobieństwa każdego zdarzenia, niezależnie od użytej tam literki).
6. Czyli pokazałem, że prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia A nie może być większe od 1 🙂
II. P(\varnothing)=0
W definicji nigdzie nie jest wprost napisane, że prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego musi być równe zero. Ale można pokazać, że to z niej wynika:
- Jeśli do dowolnego zbioru dodamy zbiór pusty otrzymamy ten sam zbiór. Także do zbioru wszystkich zdarzeń Ω. Zatem: \Omega =\Omega \cup \varnothing Czyli:P(Ω)=P(ΩυØ)
- Zdarzenia Ω i Ø są rozłączne (nie mają wspólnych elementów), zatem zgodnie z Aksjomatem 3definicji mogę napisać, że:P(Ω)=P(ΩυØ)=P(Ω)+P(Ø)czyli:P(Ω)=P(Ω)+P(Ø)
- Zgodnie z Aksjomatem 2P(Ω)=1, zatem mam:1 = 1 + P(Ø)
P(Ø)=0
i nie może być inaczej 🙂
III. A \subseteq B \Rightarrow P\left(A\right)\le P\left(B\right)
Tutaj zakładam, że A \subseteq B, czyli mam do czynienia z czymś takim:
1. Teraz zauważam, że zbiór B mogę podzielić na dwa zbiory: zbiór A i to, co jest w B ale nie jest w A, czyli zbiór B \ A:
czyli:
B = A \cup (B\A)
czyli:
P(B)=P(A \cup (B\A))
2. Zbiory A i B\\A są rozłączne, zatem zgodnie z Aksjomatem 3:
P(B)=P(A \cup (B\A))=P(A)+P(B\A)
czyli:
P(A)=P(B)-P(B\A)
3. Stąd wniosek, że P\left( A \right)\le P\left( B \right), bo P\left( B \backslash A \right)\ge 0– zgodnie z Aksjomatem 1 (który dotyczy każdego prawdopodobieństwa, niezależnie od literki).
IV. P\left( A' \right)=1-P\left( A \right)
Działam podobnie, jak wykazując własność I.
1. Wiem, że cały zbiór zdarzeń elementarnych \Omega można podzielić na sumę jakiegoś dowolnego zbioru A i jego dopełnienia A':
\Omega =A\cup {A}'czyli:
P(Ω) =P\left( A\cup {A}' \right)
2. Korzystam z Aksjomatu 2, aby określić, że P(Ω)=1 i z Aksjomatu 3, bo zdarzenia A i A' są rozłączne. Mam więc:
1=P\left( A \right)+P\left( {{A}'} \right)czyli:
P\left( A \right)=1-P\left( {{A}'} \right)co właśnie miałem pokazać.
V. A \subseteq B \Rightarrow P\left(B \backslash A \right)=P\left( B \right)-P\left( A \right)
Działając analogicznie jak przy wykazywaniu własności III dochodzą do momentu, gdzie mam wzór:
P(B)=P(A \cup (B\\A))=P(A)+P(B\\A)
czyli:
P(B)=P(A)+P(B\\A)
stąd:
P(B\\A)=P(B)-P(A)
VI. P\left( A \cup B \right)=P\left( A \right)+P\left( B \right)-P\left( A \cap B \right)
1. Sumę dwóch zbiorów A i B mogę podzielić na trzy zbiory:
A\backslash \left( A\cap B \right)– czyli wszystko, co należy do A i nie należy do ich części wspólnej A\cap B
A\cap B– czyli część wspólną A i B
B\backslash \left( A\cap B \right) – czyli wszystko, co należy do B i nie należy do ich części wspólnej A\cap B
Mam więc:
A\cup B=\left( A\backslash \left( A\cap B \right) \right)\cup \left( A\cap B \right)\cup \left( B\backslash \left( A\cap B \right) \right)czyli:
P\left( A\cup B \right)=P\left( \left( A\backslash \left( A\cap B \right) \right)\cup \left( A\cap B \right)\cup \left( B\backslash \left( A\cap B \right) \right) \right)2. Zdarzenia A\backslash \left( A\cap B \right), \left( A\cap B \right) i \left( B\backslash \left( A\cap B \right) \right) są rozłączne, zatem zgodnie z Aksjomatem 3 mogę zapisać, że:
P\left( A\cup B \right)=P\left( A\backslash \left( A\cap B \right) \right)+P\left( A\cap B \right)+P\left( B\backslash \left( A\cap B \right) \right)3. Zdarzenie A\cap B zawiera się w zdarzeniu A, jak i w zdarzeniu B. Zgodnie z udowodnionym już wyżej wzorem (własnością) numer V mogę zapisać:
P\left( A\cup B \right)=P\left( A \right)-P\left( A\cap B \right)+P\left( A\cap B \right)+P\left( B \right)-P\left( A\cap B \right)4. Porządkując, wychodzę na wzór:
P\left( A\cup B \right)=P\left( A \right)+P\left( B \right)-P\left( A\cap B \right)który właśnie miałem udowodnić.
To już wszystko, jak widać ze stosunkowo „skromnej” w założenia definicji można wyprowadzić wiele ciekawych wzorów i własności.
Napisz mi proszę w komentarzach o swoich pytaniach i wątpliwościach związanych z prawdopodobieństwem i wzorami na nie 🙂
Kliknij tutaj, aby powrócić na główną stronę z materiałami o prawdopodobieństwie
11 Comments
Ania
P (AUB)= P(A) + P(B) oznacza to że zbiory A oraz B są rozłączne, dlaczego?
Daniel
Nie widziałem trzech znajomych z klasy 2190 dni (6 lat), po czym zupełnie przypadkiem, dzien po dniu spotkałem wszystkich -\pierwszego dnia spotkałem Hanię, drugiego dnia (dokładnie w tym samym miejscu) spotkałem Joachima, tego samego dnia spotkałem również Monikę. Jakie jest prawdopodobieństwo takiego zdarzenia? Proszę o pomoc
hubi13
prawdopodobienstwo zachorowania wynosi 0,02,liczba badanych-100. Obliczyc prawdopodobienstwo,ze liczba chorych jest nie mniejsza niz 3
mógłby ktoś rozwiązać?
Ola
dziękuję serdecznie za odpowiedź.
Ola
Spotkałam się na \internecie z własnościami działań na zborach, takimi jak łączność dodawania i mnożenia zbiorów, rozdzielność mnożenia względem dodawania, etc. Czy te same wzory mogą być zastosowane stricte w rachunku prawdopodobieństwa?
Pozdrawiam
Krystian Karczyński
Tak, dokładnie. Na tym polega moc definicji prawdopodobieństwa, że łączy ona probabilistykę z teorią mnogości. Wszystkie prawa, działania i sztuczki na wzorach można stosować również w teorii prawdopodobjeństwa.
Mateusz
To ja raz jeszcze, niech już pan nie szuka informacji o tych ratach, bo udało mi się jakoś to wszystko logicznie poukładać w głowie( znalazłem tak naprawdę 3 wzory na ratę stałą- ściśle ze sobą powiązane, ale pomogły mi wszystko uporządkować), a poza tym i tak teraz takie rzeczy liczą komputery, ale przynajmniej fajnie wiedzieć, jak ten system funkcjonuje. Pozdrawiam!
Krystian Karczyński
Pewnie, że fajnie 🙂
Mateusz
OK, w takim razie czekam z niecierpliwością 😉
Mateusz
W szóstej własności prawdopodobieństwa, w podpunkcie trzecim jest mały błąd literowy:Zdarzenie A iloczyn B zawiera się w zdarzeniu A , jak i w zdarzeniu A. ( powinno być -moim skromnym zdaniem- (…) jak i w zdarzeniu B ). To tyle wypatrzyło moje skromne oko 😉 A tak poza tym przystępnie wytłumaczone- niby to jest wszystko proste, ale właśnie proste rzeczy potrafią nie raz stwarzać duże problemy 🙂 My np. mieliśmy na matematyce w szkole średniej podane wzory : P(A suma B) prim = P(A prim iloczyn
B prim) ; P(A iloczyn B) prim=P(A prim suma B prim) i P(A-B)= P(A)-P(A iloczyn B)=P(A iloczyn B prim) i nauczycielka nam powiedziała, że wie, iż inne nauczycielki nie podają tych wzorów na lekcjach, bo je sobie można wyprowadzić- zgadza się można, ale np. jak człowiek pisze maturę i nigdy nie widział takich równości na oczy to w tym całym stresie jest małe „prawdopodobieństwo 😉 ” , że przekształci to poprawnie. Miałbym też małą prośbę, a mianowicie, czy mógłby pan w równie przystępny sposób wytłumaczyć zagadnienie związane z procentem składanym i równą(stałą) ratą ? W podręczniku Pazdry do drugiej klasy liceum jest na stronie 207 zadanie następującej treści: Bank przyznał panu Kowalskiemu kredyt w wysokości 100 000 zł na zakup mieszkania. Oprocen\towanie kredytu wynosi 8% w skali roku, odsetki kapitalizowane są co kwartał. Pan Kowalski ma spłacać kredyt przez 20 lat, w równych ratach kwartalnych, rozpoczynając spłaty trzy miesiące po przyznaniu kredytu przez bank. W jakiej wysokości będzie spłacał pan Kowalski raty i jaka będzie łączna kwota spłat kredytu? ( Zakładamy, że bank przyznał kredyt w jednej transzy i nie zmieni warunków przez cały okres spłaty kredytu). Wiele czasu poświęciłem, żeby „ogarnąć” to zadanie, gdyż potrzeba tu trochę wiedzy z finansów, np., że mamy różne rodzaje rat: malejące, stałe(równe) i ponoć są też rosnące. Każda rata składa się z części kapitałowej i części odsetkowej. w racie stałej: rata stała= rata kapitałowa*(1+p)^n*m , gdzie n-liczba lat, m-liczba rat w ciągu jednego roku,a p- oprocen\towanie w pojedynczym okresie kapitalizacji, podawane najczęściej w ułamku dziesiętnym. Można z tego wzoru wyprowadzić wzór na część kapitałową czyli część kapitałowa=rata stała/(1+p)^n*m . Następnie są obliczane w zadaniu z tego wzoru ( choć nie ma tego wzoru w podręczniku) kolejne części kapitałowe, operując na samych zmiennych, dodaje się je i otrzymuje kwotę kredytu, a więc 100 000 ( w podręczniku oznaczone jako K ). W rezultacie otrzymujemy gotowy wzór na ratę stałą. Moja prośba- czy mógłby pan zweryfikować tok mojego myślenia i ewentualnie dopowiedzieć rzeczy, jakie pominąłem, albo jakich nie jestem świadom? Z góry dziękuję…
Krystian Karczyński
1. Dzięki, poprawiłem tą literówkę!
2. Dwa pierwsze z Pana wzorów, tzn. P\left[ {{\left( A\cup B \right)}^{\prime }} \right]=P\left( {A}'\cap {B}' \right)i P\left[ {{\left( A\cap B \right)}^{\prime }} \right]=P\left( {A}'\cup {B}' \right)to tzw. „wzory de Morgana” i rzeczywiście często się przydają. Nawet do samych zbiorów, nie tylko do prawdopodobieństwa. Następne dwa też są oczywiście fajne:
P\left( A\backslash B \right)=P\left( A \right)-P\left( A\cap B \right)
P\left( A\backslash B \right)=P\left( A\cap {B}' \right)
3. Z tymi ratami to musiał bym sobie znaleźć gdzieś, jak to się robiło, bo od wielu lat nie nauczam już materiału ze szkoły średniej, no i nie chcę Panu coś źle podpowiedzieć…
Dzięki za komentarz, pozdrawiam!