Jak przekształcać liczby zespolone do postaci trygonometrycznej

Krystian Karczyński

Rozwiązując zadania z liczb zespolonych należy mieć na uwadze, że liczba zespolona w postaci trygonometrycznej wygląda tak:

I tylko tak. Nie mniej, nie więcej.

Należy więc zwrócić uwagę na:

Kiedy liczba zespolona jest, a kiedy nie jest w postaci trygonometrycznej?

Liczba: JEST liczbą w postaci trygonometrycznej, w której moduł z liczby równy jest 1 (), bo oczywiście:
Liczba: NIE JEST liczbą zespoloną w postaci trygonometrycznej, bo przed jednostką urojoną 'i’ pomnożoną przez sinus jest minus, a powinien być plus.
Aby przekształcić tą liczbę do postaci trygonometrycznej, należy skorzystać ze wzorów trygonometrycznych:

Korzystając z tych wzorów możemy przekształcić:
Funkcje sinus i cosinus są -okresowe, zatem ich wartość jest taka sama co . Więcej na ten temat napisałem w: tym poście.
Mamy więc na koniec:

…a to już JEST liczba w postaci trygonometrycznej.
Liczba: NIE JEST liczbą zespoloną w postaci trygonometrycznej, bo przed jednostką urojoną 'i’ pomnożoną przez sinus jest minus, a powinien być plus, oraz przed kosinusem jest minus, a powinien być plus.
Aby przekształcić tą liczbę zespoloną do postaci trygonometrycznej, należy wyłączyć minus przed nawias:

Zamienić na boku liczbę na postać trygonometryczną (to już chyba umiemy…):

A więc mamy mnożenie dwóch liczb w postaci trygonometrycznej:
A mnoży się liczby w postaci trygonometrycznej mnożąc ich moduły i dodając argumenty (jest na to wzór), mamy więc:

To już zaś JEST liczba w postaci trygonometrycznej.
Liczba: NIE JEST liczbą zespoloną w postaci trygonometrycznej, bo przed kosinusem jest minus, a powinien być plus.
Aby przekształcić tą liczbę zespoloną do postaci trygonometycznej, należy wyłączyć minus przed nawias:

Liczbę -1 należy zamienić na postać trygonometryczną (robiliśmy to w punkcie 3), tak samo na postać trygonometryczną należy zamienić liczbę (robiliśmy to w 2.).
Otrzymamy:

Czyli wykorzystując wzór na mnożenie funkcji trygonometrycznych:

I wykorzystując okresowość funkcji sinus i kosinus:
Liczba: NIE JEST liczbą zespoloną w postaci trygonometrycznej, bo przed kosinusem jest jednostka urojona 'i’ (a nie powinno jej tam być), a przed sinusem nie ma jednostki urojonej 'i’.
Należy skorzystać ze znanych ze szkoły średniej wzorów trygonometrycznych:

Mamy więc:

A to już JEST liczba zespolona w postaci trygonometrycznej.
Liczba: NIE JEST liczbą zespoloną w postaci trygonometrycznej.
Należy zamienić sinus z cosinusem tak jak zostało to zrobione w 5., a potem rozwiązać tak jak w 4.
Liczba: NIE JEST liczbą zespoloną w postaci trygonometrycznej.
Należy zamienić sinus z cosinusem tak jak zostało to zrobione w 5., a potem rozwiązać tak jak w 2.
Liczba: NIE JEST liczbą zespoloną w postaci trygonometrycznej.
Należy zamienić sinus z cosinusem tak jak zostało to zrobione w 5., a potem rozwiązać tak jak w 3.

Powodzenia! 🙂

konometria jest dosyć młodą dziedziną wypływającą z ekonomii i matematyki. W praktyce, dzięki modelom ekonometrycznym, możesz „zmierzyć gospodarkę”.Polega to konkretnie na zmierzeniu, jak zachowuje się jedna zmienna w zależności od innych. I na podstawie analizy tego, co było, możesz określać, co będzie się działo w przyszłości.

Wykorzystasz do tego przeróżne obliczenia, testy, schematy. Jedne będą bardzo proste, inne trudniejsze. Jednak najczęściej będzie się liczyło nie to, jak dojdziesz do wyniku, ale jak go zinterpretujesz, odczytasz i jakie wnioski wyciągniesz.

Poniższe Wykłady dotykają najważniejszych pojęć teoretycznych. Jestem przekonana, że pomogę Ci odkrywaniu tego, czym jest ekonometria. I przy okazji uda Ci się zaliczyć ten przedmiot na studiach.