![blog](https://blog.etrapez.pl/wp-content/uploads/sites/3/2011/10/czesc-2-Kwantyfikatory.jpg)
Kilka rzeczy, których powinieneś się dobrze nauczyć w średniej, ale nikt Ci tego nie powiedział – część 2 Kwantyfikatory
![](https://blog.etrapez.pl/wp-content/wphb-cache/gravatar/c42/c426df57c11a4502eb4801a4fa1b556fx96.jpg)
Krystian Karczyński
Założyciel i szef serwisu eTrapez.
Magister matematyki Politechniki Poznańskiej. Korepetytor matematyki z wieloletnim stażem. Twórca pierwszych Kursów eTrapez, które zdobyły ogromną popularność wśród studentów w całej Polsce.
Mieszka w Szczecinie. Lubi spacery po lesie, plażowanie i kajaki.
Kwantyfikatory – ale tego to w sumie nawet nie było….
No dobra, nie jestem na 100% pewien czy po regularnych, corocznych cięciach materiału kwantyfikatory w ogóle ostały się w szkole średniej. Nie bardzo też chce mi się nawet sprawdzać, bo po co się denerwować.
Powinny być jeszcze na rozszerzonym profilu. Naprawdę powinny.
No dobra, ale po co to komu?
W większości matematycznych definicji i twierdzeń używa się pojęć takich jak: “każdy” i “istnieje”.
Najczęściej w jakiś bardziej złożonych sekwencjach, na przykład “pomiędzy każdymi dwiema liczbami znajduje się nieskończenie wiele liczb” (to takie trochę półformalne i nieścisłe w sumie), albo: “dla każdej nieujemnej liczby rzeczywistej istnieje dokładnie jeden jej pierwiastek”, albo: “istnieje coś-tam-coś-tam, że dla każdego co-innego-coś-tam istnieje jeszcze-inne-coś-tam-coś-tam” (jest to matematyczna definicja jeszcze-innego-czegoś-tam).
Na studiach dostaniesz całą furę w taki sposób podanych definicji i twierdzeń, podyktowanych na szybko i ciurkiem na wykładzie, albo – co gorsza – napisanych od razu na tablicy w postaci:
Dobrze więc by było (zamiast podnosić rękę i pytać się Pana Profesora, czy macie to “przerysować”), żebyś już na starcie umiał takie formuły prawidłowo przeczytać. Mógłbyś wtedy właściwie przejść już od razu do etapów “wgryzania się” w definicję, kilku obserwacji “jak działa” na konkretnych przykładach itd.
Kwantyfikator ogólny i szczegółowy – poznajmy się bliżej
“każdy”, “dla każdego” – to kwantyfikator ogólny, oznaczany jako: .
“istnieje”, “istnieje takie” – to kwantyfikator szczegółowy, oznaczany jako:
Stosuję i zalecam takie akurat znaczki zapisu kwantyfikatorów, bo się ze sobą na pewno nie pomylą.
Funkcjonują też inne oznaczenia na kwantyfikatory: Λ (“dla każdego”) i V (“istnieje”) – ale tymi się zajmować na będę, bo się każdemu mylą.
Formuły matematyczne zapisywane za pomocą kwantyfikatorów
Najprostsze formuły są postaci:
Na ogół jednak formuły są bardziej skomplikowane, na przykład:
1. Istnieje a
2. a jest liczbą naturalną
Nie ma tu jakiś “sztywnych” językowych reguł na temat jakie musi być każde słówko i czy musi być “istnieje a”, czy też musi być “istnieje takie a”.
Formuły można i najczęściej trzeba, łączyć ze sobą, na przykład:
\underset{x>4}{\mathop{\forall }}\,\underset{n\in\mathbb{N}}{\mathop{\exists }}\,znaczy:
“dla każdego x>4 istnieje takie n należące do liczb naturalnych”
Rozumiemy przez to, że dla każdego x>4 “znajdziemy” jakby n należący do liczb naturalnych, że do każdego takiego x “dobierzemy” odpowiednie n. Kwantyfikatory pozostają ze sobą w logicznym związku, to nie są dwie niezależne formuły zapisane koło siebie.
Co więcej…
Kolejność ma znaczenie
Taką samą formułę jak ostatnia, tylko z zamienioną kolejnością kwantyfikatorów:
\underset{n\in \mathbb{N} }{\mathop{\exists }}\,\underset{x>4}{\mathop{\forall }}\,…przeczytamy już inaczej:
“istnieje takie a będące liczbą naturalną, że dla x większych od 4…”
Rozumiemy, że chodzi o to, że najpierw mamy jakieś n (o którym wiemy, że istnieje) i tylko dla tego ustalonego n zachodzi coś takiego, że dla wszystkich x>4 coś tam się dzieje.
Przykład – dygresja
Klasycznym przykładem jest tutaj definicja jednostajnej i punktowej zbieżności ciąg funkcyjnego, które różnią się tylko… kolejnością kwantyfikatorów (trochę uprościłem te definicje):
Zbieżność punktowa:
Zbieżność jednostajna:
W definicji zbieżności jednostajnej kwantyfikator, który był na początku punktowej wylądował na końcu. Nie wchodząc w szczegóły zmienia to sens całej formuły.
W zbieżności punktowej NAJPIERW (czytamy od lewej) braliśmy jakiegoś dowolnego x, potem odczytując formułę dochodziliśmy do tego, że dla tego ustalonego na początku x odległości pomiędzy wartościami funkcji z ciągu i funkcji “granicznej” maleją w nieskończoność.
W zbieżności funkcji jednostajnej NAJPIERW stwierdzaliśmy, że odległość pomiędzy wartościami odpowiednich funkcji maleje w nieskończoność, a później dochodziliśmy do tego, że tak się dzieje dla dowolnego x-sa.
Zapis definicji, twierdzenia
Umiejąc czytać kwantyfikatory zapis matematycznych definicji i twierdzeń jest już dla nas otwarty. Na przykład:
\underset{x\in\mathbb{R}}{\mathop{\forall }}\,{{x}^{2}}\ge 0Przeczytamy jako: “Dla każdej liczby rzeczywistej x , x do kwadratu jest większe lub równe zero”, albo jakoś ładniej: “Każda liczba x podniesiona do kwadratu jest nieujemna” – zdecydowanie jestem za odczytywaniem definicji i twierdzeń jakimś bardziej barwnym językiem.
Zdanie powyżej jest PRAWDZIWE. Nie ma żadnego problemu, żebyśmy pisali też sobie zdania FAŁSZYWE:
\underset{a>0}{\mathop{\exists }}\,\underset{x>a}{\mathop{\forall }}\,\frac{a}{x}>1Czyli przeczytalibyśmy: “Istnieje taka liczba dodatnia a, że dla każdej liczby x większej od tej a, a podzielone przez ten x jest większe od 1”, co jest oczywiście FAŁSZEM (bo liczba dodatnia podzielona przez większą od niej nigdy nie będzie większa od 1 i nie ma takiej liczby).
A biorąc teraz na warsztat definicję granicy ciągu z poprzedniego postu:
Przeczytamy ją tak (dodając trochę objaśnień):
“Dla dowolnego
Można też użyć jakoś bardziej ludzkiego języka:
“Jakbyśmy sobie nie ustawili małą odległość
Szukasz korepetycji z matematyki na poziomie studiów lub szkoły średniej? A może potrzebujesz kursu, który przygotuje Cię do matury?
Jesteśmy ekipą eTrapez. Uczymy matematyki w sposób jasny, prosty i bardzo dokładny - trafimy nawet do najbardziej opornego na wiedzę.
Stworzyliśmy tłumaczone zrozumiałym językiem Kursy video do pobrania na komputer, tablet czy telefon. Włączasz nagranie, oglądasz i słuchasz, jak na korepetycjach. O dowolnej porze dnia i nocy.
A jakie są inne symbole z matematyki ta taka strzałka np X -> Y lub taka podwójna => albo jakieś dziwne litery z alfabetu… Jak to się nazywa?
Więcej informacji o spójnikach logicznych można znaleźć w lekcji:
https://online.etrapez.pl/lesson/lekcja-2-tabele-i-spojniki-logiczne-przypisywanie-wartosci-zdaniom-zlozonym/
Więcej informacji o kwantyfikatorach można znaleźć w lekcji:
https://online.etrapez.pl/lesson/lekcja-7-kwantyfikatory/
chyba powinnam wysłać Panu kwiaty za zaliczenie ćwiczeń w pierwszym terminie 🙂 po jutrze egzamin, więc zaraz włączam etrapeza ! 😉
Powodzenia!